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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,4.5,羅朗級數(shù)及展開方法,4.5.1,羅朗級數(shù),因此，我們可以用它的正冪項(xiàng)級數(shù),(4.5.2),和負(fù)冪項(xiàng)級數(shù),(4.5.3),的斂散性來定義原級數(shù)的斂散性,.,我們規(guī)定：,當(dāng)且僅當(dāng)正冪項(xiàng)級數(shù)和負(fù)冪項(xiàng)級數(shù)都收斂時(shí)，原級數(shù)收斂，并且把原級數(shù)看成是正冪項(xiàng)級數(shù)與負(fù)冪項(xiàng)級數(shù)的和,.,解：,函數(shù),f,(,z,),在圓環(huán)域,i)0|,z,|1;ii)1|,z,|2;,iii)2|,z,|+,內(nèi)是處處解析的,應(yīng)把,f,(,z,),在,這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù),.,x,y,O,1,x,y,O,1,2,x,y,O,2,2),

2、在,1|z|2,內(nèi)：,3)在2|z|+,內(nèi):,例,2,把函數(shù),解,因有,函數(shù)可以在以,z,0,為中心的,(,由奇點(diǎn)隔開的,),不同圓環(huán)域內(nèi)解析,因而在各個不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開式,(,包括泰勒展開式作為它的特例,).,我們不要把這種情形與洛朗展開式的唯一性相混淆,.,所謂洛朗展開式的唯一性,是指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式是唯一的,.,例如在,z,=,i,和,z,=-,i,處展開函數(shù) 為洛朗級數(shù)。,在復(fù)平面內(nèi)有兩個奇點(diǎn),:,z,=0,與,z,=-,i,分別在以,i,為中心的圓周,:|,z,-,i,|=1,與,|,z,-,i,|=2,上,.,因此,f,(,z,),在以,i,為中

3、心的圓環(huán)域,(,包括圓域,),內(nèi)的展開式有三個,:1),在,|,z,-,i,|1,中的泰勒展開式,;2),在,1|,z,-,i,|2,中的洛朗展開式,;3),在,2|,z,-,i,|+,中的洛朗展開式,;,在復(fù)平面內(nèi)有一個奇點(diǎn),:,z,=0,在以,-,i,為中心的圓周,:|,z,+,i,|=1,上,.,因此,f,(,z,),在以,-,i,為中心的圓環(huán)域內(nèi)的展開式有二個,:,1),在,0|,z,+,i,|1,中的洛朗展開式,;2),在,1|,z,+,i,|+,中的洛朗展開式。,O,-,i,i,特別的，當(dāng)洛朗級數(shù)的系數(shù)公式,（即可利用,Laurent,系數(shù)計(jì)算積分）,其中,C,為圓環(huán)域,R,1,|,z,-,z,0,|,R,2,內(nèi)的任何一條簡單閉曲線,f,(,z,),在此圓環(huán)域內(nèi)解析,.,例,解：,例,4,解：,故,c,-,1,=-,2,