第 15 課時(shí)： 1.3.4三角函數(shù)的應(yīng)用（二）【三維目標(biāo)】：一、知識(shí)與技能1. 會(huì)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型 .2. 掌握三角函數(shù)模型應(yīng)用基本步驟：(1) 根據(jù)圖象建立解析式；(2) 根據(jù)解析式作出圖象；(3) 將實(shí)際問(wèn)題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型.3. 能正確分析收集到的數(shù)據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的規(guī)律，能根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，利用模型解釋有關(guān)實(shí)際問(wèn)題，為決策提供依據(jù)。4. 讓學(xué)生體驗(yàn)一些具有周期性變化規(guī)律的實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)“建?！彼枷? 從而培養(yǎng)學(xué)生的建模、分析問(wèn)題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力培養(yǎng)學(xué)生用已有的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；提高學(xué)生利用信息技術(shù)處理一些實(shí)際計(jì)算的能力。二、過(guò)程與方法1. 從實(shí)際的應(yīng)用中體會(huì)數(shù)學(xué)與生活是相關(guān)的，不是完全脫離現(xiàn)實(shí)的，同時(shí)理解三角函數(shù)在描述周期性現(xiàn)象時(shí)的重要作用。2. 講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí)。三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀1. 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，意識(shí)到只要認(rèn)真觀察思考，會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。2. 讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神；3. 培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勤于思考的精神。【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】 ：重點(diǎn)：用三角函數(shù)模型刻畫(huà)潮汐等現(xiàn)象的變化規(guī)律， 用函數(shù)思想解決具有周期變化的實(shí)際問(wèn)題；對(duì)問(wèn)題實(shí)際意義的數(shù)學(xué)解釋，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出三角函數(shù)模型。難點(diǎn)：（ 1）分析、整理、利用信息，從實(shí)際問(wèn)題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，并調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題（ 2）由圖象求解析式時(shí)的確定?！緦W(xué)法與教學(xué)用具】 ：1. 學(xué)法：2. 教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀.【授課類(lèi)型】：新授課【課時(shí)安排】： 1 課時(shí)【教學(xué)流程】：實(shí)例背景，資料數(shù)據(jù)，提出問(wèn)題根據(jù)散點(diǎn)圖形特征，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)擬合求解函數(shù)模型利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題反思解題過(guò)程，總結(jié)解題方法，提煉數(shù)學(xué)思想【教學(xué)思路】：用心愛(ài)心專心- 1 -一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題【復(fù)習(xí)提問(wèn)】： 1. 回顧教材“三角函數(shù)的周期性” ；2. 求函數(shù) yA sin( x)k 的解析式。（ 1） 函數(shù) f ( x) 的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2 倍，再向左平移個(gè)單位所得的曲線是y1 sin x 的圖像，試求 y f ( x) 的解析式 . （ 2） 函數(shù)22y Asin(x),( A 0,0, |)的最小值是 2，其圖象最高點(diǎn)與最低點(diǎn)橫坐標(biāo)差是3 ，2且圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，求函數(shù)解析式 .3. 討論：（ 1）如何由圖觀察得到三角函數(shù)的各系數(shù)？如何確定初相？（特殊點(diǎn)法）（ 2）在現(xiàn)實(shí)生活中，哪些現(xiàn)象具有周期性？（溫度、白晝、振動(dòng)、情緒、智力、體力等）函數(shù) y Asin( x ) 的性質(zhì)問(wèn)題，是三角函數(shù)中的重要問(wèn)題，是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn). 三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象，因此在解決實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.二、研探新知例 1 （學(xué)生自學(xué)完成教材 P41 例 1）點(diǎn) O 為做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的平衡位置，取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若已知振幅為 3cm，周期為 3s，且物體向右運(yùn)動(dòng)到距平衡位置最遠(yuǎn)處時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí).（ 1）求物體對(duì)平衡位置的位移x (cm) 和時(shí)間 t(s) 之間的函數(shù)關(guān)系；（ 2）求該物體在 t=5s 時(shí)的位置 .（教師進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u(píng)析 . 并回答下列問(wèn)題：根據(jù)物理常識(shí)，應(yīng)選擇怎樣的函數(shù)式模擬物體的運(yùn)動(dòng)；怎樣求 和初相位 ；第二問(wèn)中的“ t=5s 時(shí)的位置”與函數(shù)式有何關(guān)系？）例 2（學(xué)生自學(xué)完成教材 P42例 2）一半徑為 3cm 的水輪如圖 1-3-22 所示，水輪圓心 O 距離水面 2cm ，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)4 圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn) P 從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中 P0 點(diǎn)）開(kāi)始計(jì)算時(shí)間。（ 1）將點(diǎn) P 距離水面的高度 z(cm) 表示為時(shí)間 t( s) 的函數(shù)；（ 2）點(diǎn) P 第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間？例 3 （教材 P42 探究案例）海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般的早潮叫潮, 晚潮叫汐 . 在通常的情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮是返回海洋 . 下面給出了某港口在某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深.時(shí)間0.003.006.009.0012.0015.0018.0021.0024.00水深5.07.55.02.55.07.55.02.55.0（ 1）選用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，并給出在整點(diǎn)時(shí)的近似數(shù)值 .（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4 米，安全條例規(guī)定至少要有1.5 米的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？（3）若船的吃水深度為4 米，安全間隙為1.5 米，該船在2： 00 開(kāi)始卸貨，吃水深度以每小時(shí) 0.3 米的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？【問(wèn)題】：（ 1）選擇怎樣的數(shù)學(xué)模型反映該實(shí)際問(wèn)題？（ 2）圖表中的最大值與三角函數(shù)的哪個(gè)量有關(guān)？用心愛(ài)心專心- 2 -5.5 米（ 3）函數(shù)的周期為多少？（ 4）“吃水深度”對(duì)應(yīng)函數(shù)中的哪個(gè)字母？請(qǐng)同學(xué)們看下面這個(gè)問(wèn)題：【問(wèn)題探究1】：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)，你能夠從中得到一些什么信息？小組合作發(fā)現(xiàn)，代表發(fā)言?？赡芙Y(jié)果：1）水深的最大值是7.5 米，最小值是2.5 米。2）水的深度開(kāi)始由5.0 米增加到7.5 米，后逐漸減少一直減少到2.5 ，又開(kāi)始逐漸變深，增加到 7.5 米后，又開(kāi)始減少。3）水深變化并不是雜亂無(wú)章，而是呈現(xiàn)一種周期性變化規(guī)律。4）學(xué)生活動(dòng)：作圖更加直觀明了這種周期性變化規(guī)律。（研究數(shù)據(jù)的兩種形式）5）教師呈現(xiàn)作圖結(jié)果，學(xué)生小組代表發(fā)言，跟我們前面所學(xué)過(guò)哪個(gè)函數(shù)類(lèi)型非常的類(lèi)似？追問(wèn)為什么類(lèi)似正弦型函數(shù)yAsin(x)b （排除法，關(guān)鍵在于周期性）。（學(xué)生活動(dòng)，求解解析式）得到的是一個(gè)刻畫(huà)水深與時(shí)間關(guān)系的三角函數(shù)模型，為了保證所選函數(shù)的精確性，通常還需要一個(gè)檢驗(yàn)過(guò)程，教師點(diǎn)明：建模過(guò)程選模，求模，驗(yàn)?zāi)＃瑧?yīng)用。有了這個(gè)模型，我們大致可以知道哪些情況？學(xué)生小組合作討論回答，如周期、單調(diào)性、每時(shí)每刻的水深。【問(wèn)題探究2】：一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4 米，安全條例規(guī)定至少要有1.5 米的安全間隙（船底與洋底的距離），試問(wèn)：該船何時(shí)能夠進(jìn)入港口？在港口能呆多久？（師生一起分析）用數(shù)學(xué)的眼光看，這里研究的是一個(gè)怎樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題？水深得出 2.5sinx5 4 1.5 ，即 sin x0.2，66（師生齊分析）解三角不等式x0.2的方法sinx6x令 sin0.2 學(xué)生活動(dòng)： 操作計(jì)算器計(jì)算0.2014, x 0.3848 ，結(jié)合電腦呈現(xiàn)圖66象發(fā)現(xiàn)：在 0 ， 24 范圍內(nèi)，方程 sinx的解一共有4 個(gè)，從小到大依次記為：0.26用心愛(ài)心專心- 3 -那么其他三個(gè) 如何求得呢？（學(xué)生思考）得到了4 個(gè)交點(diǎn)的橫坐 后， 合 象 船 什么 港？什么 出港呢？（學(xué)生 ，交流）可能 果：【生 1】 船可以在0 時(shí) 30 分 左右 港，早晨5 時(shí) 30分 左右出港；或者是中午 12 時(shí) 30 分 左右 港，在傍晚17 時(shí) 30 分 左右出港?！旧?2】 船可以在 0 時(shí) 30 分 左右 港，可以 早晨5 時(shí) 30分，中午 12 時(shí) 30 分，或者傍晚 17 時(shí) 30 分左右出港。（學(xué)生 ，最后確定方案 1 安全方案，因 當(dāng) 水深小于安全深度 ， 船盡管沒(méi)有行 ，但是 淺后船身完全可以 入淤泥，即使后來(lái)水位上 ，也很可能船身不再上?。?才整個(gè) 程， 船在 港，在港口停留，到后來(lái)離開(kāi)港口， 船的吃深深度一直沒(méi)有改 ，也就是 船的安全深度一直沒(méi)有改 ，但是 情況往往是 船 物 港，在港口卸 ，在卸 的 程中，由物理學(xué)的知 我 知道，隨著船身自身重量的減小，船身會(huì)上浮， 一來(lái)當(dāng)兩者都在改 的 候，我 又 如何 出港 呢？ 看下面 ：【 探究 3】：在探究 2 條件中，若 船在 2：00 開(kāi)始卸 ，吃水深度以每小 0.3 米的速度減少，那么 船在什么 必 停止卸 ，將船 向 深的水域？（學(xué)生 ）安全即需要： 水深安全水深，即：， 求解方法：用代數(shù)的方法？幾何的角度？（ 作 并呈 ）通 象可以看出，當(dāng)快要到P 刻的 候， 船就要停止卸 ， 向深水區(qū)。那么P點(diǎn)的坐 如何求得呢？（學(xué)生思考， ，交流）求P 點(diǎn)橫坐 即解方程數(shù)形 合，二分法求近似解：由 得點(diǎn) P 點(diǎn)橫坐 在 6 ， 7 ，故我 只需要算出6， 6.5 ， 7三個(gè) 刻的安全水深與 水深的數(shù) 表就可以回答上面的 。時(shí)間 水深安全水深是否安全6 05 米4 3 米安全6 542 米4 1 米 安全7 038 米4 0 米危 船 在6 時(shí) 30 分左右 離港口。（可能有的同學(xué)有些異 ，可以 ）從 個(gè) 可以看出，如果有 候 控制不當(dāng)， 船在卸 的 程中，就會(huì)出 沒(méi)有卸完，不得已要 離港口， 入深水區(qū)，等水位上 后在 回來(lái)。 公司來(lái)用心愛(ài)心專心- 4 -說(shuō)就會(huì)造成才力、物力上的巨大浪費(fèi)？那該怎么來(lái)做呢？（學(xué)生討論）可以加快卸貨速度，也就是加快安全深度下降速度?！締?wèn)題探究4】：若船的吃水深度為4 米，安全間隙為1.5 米，該船在2： 00 開(kāi)始卸貨，貨物卸空后吃水深度為2 米，為了保證進(jìn)入碼頭后一次性卸空貨物，又能安全駛離碼頭，那么每小時(shí)吃水深度至少要以多少速度減少？- 探究 3 的變式（學(xué)生課后探究）三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維1. 如圖，單擺從某點(diǎn)給一個(gè)作用力后開(kāi)始來(lái)回?cái)[動(dòng)，離開(kāi)平衡位置O的距離 s 厘米和時(shí)間t秒的函數(shù)關(guān)系為s6sin(2t) .6（ 1）單擺擺動(dòng)5 秒時(shí)，離開(kāi)平衡位置多少厘米？（ 2）單擺擺動(dòng)時(shí)，從最右邊到最左邊的距離為多少厘米？（ 3）單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)10 次所需的時(shí)間為多少秒？2. 如圖，某地一天從6 14 時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)yAsin(x)b T / C3020（ 1）求這一天 6 14 時(shí)的最大溫差；10（ 2）寫(xiě)出這段曲線的函數(shù)解析式O6 8 10 12 14 t / h【問(wèn)題的反思】 ：一般地，所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫(huà)這天某個(gè)時(shí)段的溫度變化情況，因此應(yīng)當(dāng)特別注意自變量的變化范圍；與學(xué)生一起探索的各種求法；（這是本題的關(guān)鍵！也是難點(diǎn)?。ㄓ米畲笮≈迭c(diǎn)代入不容易出現(xiàn)錯(cuò)誤）如何根據(jù) yAsin( x ) b 圖像求解析式中的待定參數(shù)A,b; ;?662 等探究其他解法：2 或141402借助三角函數(shù)模型研究的思想方法研究一些較復(fù)雜的三角函數(shù)。四、鞏固深化，反饋矯正1. 某海濱浴場(chǎng)的海浪高度 y（米）是時(shí)間 t （ 0 t 24，單位：小時(shí)）的函數(shù)，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀察，該函數(shù)的圖象可以近似地看成 y Asin( t ) b . 下表是測(cè)得的某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：t ( 時(shí) )03691215182124用心愛(ài)心專心- 5 -y（米）1.51.00.51.01.51.00.50.991.5依規(guī)定，當(dāng)浪高不低于1 米時(shí)浴場(chǎng)才開(kāi)放，試安排白天內(nèi)開(kāi)放浴場(chǎng)的具體時(shí)間段.2. 某港口水深y（米）是時(shí)間t （0 t 24，單位：小時(shí)）的函數(shù)，記為y= f(t ) ，下面是某日水深數(shù)據(jù)：t （時(shí)）03691215182124y（米） 10.0 13.09.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀察，y=f (t)的曲線可以近似看成= sin+ 的圖象 .yAt b（ i ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出y=f (t) 的近似表達(dá)式；（ ii ）船底離海底 5 米或者5 米以上是安全的， 某船的吃水深度為6.5米（船底離水面距離） ，如果此船在凌晨4 點(diǎn)進(jìn)港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少時(shí)間？教法：從表中讀到一些什么數(shù)據(jù)？ 依次求各系數(shù) 應(yīng)用模型解決問(wèn)題答案：y3sint10（ t ）；13（小時(shí)）.6024.求得模型后，把第（ 2）問(wèn)小結(jié)：讀取與分析表中的數(shù)據(jù)，是一種數(shù)學(xué)思維能力的訓(xùn)練的情景轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的三角不等式，再運(yùn)用整體思想，借助函數(shù)的圖象或者單位圓可以求解 .3. 某商品一年內(nèi)出廠價(jià)格在6 元的基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動(dòng)，已知 3 月份達(dá)到最高價(jià)格 8元，7 月份價(jià)格最低為4 元 .該商品在商店內(nèi)的銷(xiāo)售價(jià)格在8 元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動(dòng)，5 月份銷(xiāo)售價(jià)格最高為10 元， 9 月份銷(xiāo)售價(jià)最低為6 元.（ 1）試建立出廠價(jià)格、銷(xiāo)售價(jià)格的模型，并求出函數(shù)解析式;（ 2）假設(shè)商店每月購(gòu)進(jìn)這種商品m件，且當(dāng)月銷(xiāo)完，試寫(xiě)出該商品的月利潤(rùn)函數(shù).五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)從以上問(wèn)題可以發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)知識(shí)在解決實(shí)際問(wèn)題中有著十分廣泛的應(yīng)用，而待定系數(shù)法是三角函數(shù)中確定函數(shù)解析式最重要的方法 . 三角函數(shù)知識(shí)作為數(shù)學(xué)工具之一，在以后的學(xué)習(xí)中將經(jīng)常有所涉及 . 學(xué)數(shù)學(xué)是為了用數(shù)學(xué)，通過(guò)學(xué)習(xí)我們逐步提高自己分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力 .三角函數(shù)應(yīng)用模型的三種模式：一是給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型，根據(jù)所給模型，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，解決一些實(shí)際問(wèn)題；而是給定呈周期變化的圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型，再解決其他問(wèn)題；三是搜集一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的調(diào)查數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，通過(guò)擬合函數(shù)圖象，求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)模型，進(jìn)一步用函數(shù)模型來(lái)解決問(wèn)題 .回顧整個(gè)探究過(guò)程，經(jīng)歷了第一階段：收集數(shù)據(jù)-畫(huà)散點(diǎn)圖第二階段：根據(jù)圖象特征- 選模、求模、驗(yàn)?zāi)５谌A段：函數(shù)模型應(yīng)用在整個(gè)探究過(guò)程，我們用到數(shù)學(xué)常見(jiàn)的一些思想方法：（ 1）對(duì)實(shí)際問(wèn)題處理過(guò)程是，首先是挖掘其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想；（ 2）在對(duì)一些數(shù)據(jù)處理的過(guò)程用到了估算的思想；（ 3）在用代數(shù)方法處理困難的一些題目的解決中，用到了數(shù)形結(jié)合的思想；（ 4）在方程的求解過(guò)程中，用到了算法中“二分法”思想。六、承上啟下，留下懸念七、板書(shū)設(shè)計(jì)八、課后記：用心愛(ài)心專心- 6 -