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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)《三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)》講義 基礎(chǔ)梳理 1．“五點(diǎn)法”描圖 (1)y＝sin x的圖象在[0,2π]上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為 (0,0)　　(π，0)　　(2π，0) (2)y＝cos x的圖象在[0,2π]上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為 (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1) 2.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 函數(shù) 性質(zhì) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 定義域 R R {x|x≠kπ＋，k∈Z} 圖象 值域 [－1,1] [－1,1] R 對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)軸：__ x＝kπ＋(k∈Z)__ _； 對(duì)稱(chēng)中心： _ (kπ，0)(k∈Z)__ _ 對(duì)稱(chēng)軸： x＝kπ(k∈Z)___； 對(duì)稱(chēng)中心： _(kπ＋，0) (k∈Z)__ 對(duì)稱(chēng)中心：_ (k∈Z) __ 周期 2π_ 　2π　 π 單調(diào)性 單調(diào)增區(qū)間_[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)___； 單調(diào)減區(qū)間[2kπ＋，2kπ＋] (k∈Z) __ 單調(diào)增區(qū)間[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) ____； 單調(diào)減區(qū)間[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)______ 單調(diào)增區(qū)間_(kπ－，kπ＋)(k∈Z)___ 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 3.一般地對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期，把所有周期中存在的最小正數(shù)，叫做最小正周期(函數(shù)的周期一般指最小正周期) 對(duì)函數(shù)周期性概念的理解 周期性是函數(shù)的整體性質(zhì)，要求對(duì)于函數(shù)整個(gè)定義域范圍的每一個(gè)x值都滿足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不為零的常數(shù).如果只有個(gè)別的x值滿足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一個(gè)x值不滿足f(x＋T)＝f(x)，都不能說(shuō)T是函數(shù)f(x)的周期. 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為 ， y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為 . 4.求三角函數(shù)值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 關(guān)于正、余弦函數(shù)的有界性 由于正余弦函數(shù)的值域都是[－1,1]，因此對(duì)于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上確界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下確界. (2)形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫(xiě)出函數(shù)的值域；含參數(shù)的最值問(wèn)題，要討論參數(shù)對(duì)最值的影響. (3)換元法：把sin x或cos x看作一個(gè)整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問(wèn)題． 利用換元法求三角函數(shù)最值時(shí)注意三角函數(shù)有界性，如：y＝sin2x－4sin x＋5，令t＝sin x(|t|≤1)，則y＝(t－2)2＋1≥1，解法錯(cuò)誤. 5.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)先把函數(shù)式化成形如y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0)的形式，再根據(jù)基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出x所在的區(qū)間.應(yīng)特別注意，應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)考慮.注意區(qū)分下列兩題的單調(diào)增區(qū)間不同;利用換元法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(要注意x系數(shù)的正負(fù)號(hào)) (1)y＝sin；(2)y＝sin. 熱身練習(xí): 1．函數(shù)y＝cos，x∈R(　　)． A．是奇函數(shù) B．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) C．是偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 2．函數(shù)y＝tan的定義域?yàn)?　　)． A. B. C. D. 3．函數(shù)y＝sin(2x＋)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程可能是( ) A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 【解析】令2x＋＝kπ＋，則x＝＋(k∈Z) ∴當(dāng)k＝0時(shí)，x＝，選D. 4．y＝sin的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是(　　)． A．(－π，0) B. C. D. 解析　∵y＝sin x的對(duì)稱(chēng)中心為(kπ，0)(k∈Z)，∴令x－＝kπ(k∈Z)，x＝kπ＋(k∈Z)，由k＝－1，x＝－π得y＝sin的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是. 答案　B 5．下列區(qū)間是函數(shù)y＝2|cos x|的單調(diào)遞減區(qū)間的是 (　　) A.(0，π)　　　　　 B. 　 C. D. 6．已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ為實(shí)數(shù)，若f(x)≤|f()|對(duì)任意x∈R恒成立，且f()>f(π)，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( ) A．[kπ－，kπ＋](k∈Z) B．[kπ，kπ＋](k∈Z) C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z) D．[kπ－，kπ](k∈Z) 【解析】當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)≤|f()|恒成立，∴f()＝sin(＋φ)＝1 可得φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－，k∈Z ∵f()＝sin(π＋φ)＝－sinφ>f(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ ∴sinφ<0 ∴φ＝2kπ－ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ 得x∈[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，選C. 7.函數(shù)f(x)＝cosx∈R的最小正周期為_(kāi)__4π_____． 8..y＝2－3cos的最大值為_(kāi)__5_____，此時(shí)x＝_____π＋2kπ，k∈Z _________. 9．函數(shù)y＝(sinx－a)2＋1，當(dāng)sinx＝1時(shí)，y取最大值；當(dāng)sinx＝a時(shí)，y取最小值，則實(shí)數(shù) －1≤a≤0. 10．函數(shù)f(x)＝sin2x＋sinxcosx在區(qū)間[，]上的最大值是 . 【解析】∵f(x)＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋ ＝sin(2x－)＋， 又≤x≤，∴≤2x－≤. ∴當(dāng)2x－＝即x＝時(shí)，f(x)取最大值. 題型一　與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域問(wèn)題 例1　求下列函數(shù)的定義域： (1)y＝lgsin(cos x)； (2)y＝. 解　(1)要使函數(shù)有意義，必須使sin(cos x)>0. ∵－1≤cos x≤1，∴00，ω>0,0<φ<)的部分圖象如圖所示． (1)求f(x)的解析式； (2)設(shè)g(x)＝[f(x－)]2，求函數(shù)g(x)在 x∈[－，]上的最大值，并確定此時(shí)x的值． 【解析】(1)由圖可知A＝2，＝，則＝4 ∴ω＝. 又f(－)＝2sin[(－)＋φ]＝2sin(－＋φ)＝0 ∴sin(φ－)＝0 ∵0<φ<，∴－<φ－<∴φ－＝0，即φ＝ ∴f(x)＝2sin(x＋)． (2)由(1)可得f(x－)＝2sin[(x－)＋]＝2sin(x＋) ∴g(x)＝[f(x－)]2＝4＝2－2cos(3x＋) ∵x∈[－，] ∴－≤3x＋≤， ∴當(dāng)3x＋＝π，即x＝時(shí)，g(x)max＝4. 【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)y＝Asin(ωx＋φ)＋K的圖象求其解析式的問(wèn)題，主要從以下四個(gè)方面來(lái)考慮： ①A的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即A＝； ②K的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即K＝； ③ω的確定：結(jié)合圖象，先求出周期，然后由T＝(ω>0)來(lái)確定ω； ④φ的確定：由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋K最開(kāi)始與x軸的交點(diǎn)(最靠近原點(diǎn))的橫坐標(biāo)為－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)確定φ. 例4若方程sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，求a的取值范圍，并求此時(shí)x1＋x2的值． 【解析】∵sinx＋cosx＝2sin(x＋)，x∈[0,2π]， 作出y＝2sin(x＋)在[0,2π]內(nèi)的圖象如圖． 由圖象可知，當(dāng)1＜a＜2或－2＜a＜1時(shí)， 直線y＝a與y＝2sin(x＋)有兩個(gè)交點(diǎn)， 故a的取值范圍為a∈(－2,1)∪(1,2)． 當(dāng)1＜a＜2時(shí)，x1＋＋x2＋＝π.∴x1＋x2＝. 當(dāng)－2＜a＜1時(shí)，x1＋＋x2＋＝3π，∴x1＋x2＝. 【點(diǎn)評(píng)】利用三角函數(shù)圖象形象直觀，可使有些問(wèn)題得到順利、簡(jiǎn)捷的解決，因此我們必須準(zhǔn)確把握三角函數(shù)“形”的特征． 例4已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M(，－2)． (1)求f(x)的解析式； (2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝g(x)的圖象，求函數(shù)y＝g(x)的解析式，并求滿足g(x)≥且x∈[0，π]的實(shí)數(shù)x的取值范圍． 【解析】(1)由函數(shù)圖象的最低點(diǎn)為M(，－2)，得A＝2， 由x軸上相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，得＝，即T＝π， ∴ω＝＝2.又點(diǎn)M(，－2)在圖象上，得2sin(2＋φ)＝－2， 即sin(＋φ)＝－1， 故＋φ＝2kπ－，k∈Z，∴φ＝2kπ－， 又φ∈(0，)，∴φ＝.綜上可得f(x)＝2sin(2x＋)． (2)將f(x)＝2sin(2x＋)的圖象向右平移個(gè)單位， 得到f1(x)＝2sin[2(x－)＋]，即f1(x)＝2sin2x的圖象， 然后將f1(x)＝2sin2x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到g(x)＝2sin(22x)，即g(x)＝2sin4x. 由得. 則即. 故≤x≤ 或 ≤x≤. 題型四 、三角函數(shù)的奇偶性與周期性及應(yīng)用 例1已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜. (1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值； (2)在(1)的條件下，若函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離等于，求函數(shù)f(x)的解析式；并求最小正實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)． 【解析】(1)由coscosφ－sinsinφ＝0 得cos(＋φ)＝0. ∵|φ|<，∴φ＝. (2)由已知得＝，∴T＝，ω＝3 ∴f(x)＝sin(3x＋)． 設(shè)函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)， 則g(x)＝sin[3(x＋m)＋]＝sin(3x＋3m＋) g(x)是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)3m＋＝kπ＋(k∈Z) 即m＝＋(k∈Z) ∴最小正實(shí)數(shù)m＝. 題型五　三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性 例2　寫(xiě)出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及周期： (1)y＝sin；(2)y＝|tan x|. 解　(1)y＝sin， 它的增區(qū)間是y＝sin的減區(qū)間，它的減區(qū)間是y＝sin的增區(qū)間. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. 故所給函數(shù)的減區(qū)間為，k∈Z； 增區(qū)間為，k∈Z.最小正周期T＝＝π. (2)觀察圖象可知，y＝|tan x|的增區(qū)間是，k∈Z，減區(qū)間是 ，k∈Z.最小正周期：T＝π. 探究提高　(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ) (其中A≠0，ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過(guò)解不等式的方法去解答. 列不等式的原則是：①把“ωx＋φ (ω>0)”視為一個(gè)“整體”；②A>0 (A<0)時(shí)，所列不等式的方向與y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的單調(diào)區(qū)間對(duì)應(yīng)的不等式方向相同(反). (2)對(duì)于y＝Atan(ωx＋φ) (A、ω、φ為常數(shù))，其周期T＝，單調(diào)區(qū)間利用ωx＋φ∈，解出x的取值范圍，即為其單調(diào)區(qū)間. (3)求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象判定. 變式訓(xùn)練2 (1)求函數(shù)y＝sin＋cos的周期、單調(diào)區(qū)間及最大、最小值； (2)已知函數(shù)f(x)＝4cos xsin－1. ①求f(x)的最小正周期； ②求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值. 解: y＝sin＋cos (1)周期為T(mén)= 　 函數(shù)的遞增區(qū)間為 (k∈Z)； 函數(shù)的遞減區(qū)間為(k∈Z) ymax＝2； ymin＝－2 (2) f(x)＝4cos xsin－1 , 最大值為2；最小值為－1 題型六、三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與單調(diào)性及應(yīng)用 例2已知向量＝(sin2x－1，cosx)， ＝(1,2cosx)，設(shè)函數(shù)f(x)＝，x∈R. (1)求函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． 【解析】(1)f(x)＝mn＝sin2x－1＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋) ∴對(duì)稱(chēng)軸方程為：2x＋＝kπ＋，即x＝＋(k∈Z)． (2)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ得－＋kπ≤x≤kπ＋ ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－，kπ＋](k∈Z)． 【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)： ①若求y＝f(x)的對(duì)稱(chēng)軸，只需令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求出x； 若求y＝f(x)的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，只零令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求出x； ②若求y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間，只需令2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，求出x； 若求y＝f(x)的單調(diào)減區(qū)間，只需令2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，求出x. 題型七　三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與奇偶性 例3　(1)已知f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，函數(shù)y＝f(x＋φ) 的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱(chēng)，則φ的值為_(kāi)_______. (2)如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，那么|φ|的最小值為(　　) A . B. C. D. 　(1)　 (x)＝2sin， y＝f(x＋φ)＝2sin圖象關(guān)于x＝0對(duì)稱(chēng)， 即f(x＋φ)為偶函數(shù)．∴＋φ＝＋kπ，k∈Z， 即φ＝kπ＋，k∈Z，所以當(dāng)k＝0時(shí)，φ＝. (2)A 3cos＝3cos＝3cos ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z， 取k＝0，得|φ|的最小值為.故選 探究提高　若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最大或最小值. 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝0. 如果求f(x)的對(duì)稱(chēng)軸，只需令ωx＋φ＝＋kπ (k∈Z)，求x. 如果求f(x)的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝kπ (k∈Z)即可. 變式訓(xùn)練3 　(1)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋acos x的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是x＝，則函數(shù)g(x)＝asin x＋cos x的最大值是 (　　) A. B. C. D. 由題意得f(0)＝f ，∴a＝－－. ∴a＝－, g(x)＝－sin x＋cos x＝sin， ∴g(x)max＝. (2)若函數(shù)f(x)＝asin ωx＋bcos ωx (0<ω<5，ab≠0)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是x＝，函數(shù)f′(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是，則f(x)的最小正周期是________. 　(1)B　(2)π 由題設(shè)，有＝，即(a＋b)＝，由此得到a＝b. 又，所以aω＝0， 從而tan ＝1，＝kπ＋，k∈Z，即ω＝8k＋2，k∈Z，而0<ω<5，所以ω＝2， 于是f(x)＝a(sin 2x＋cos 2x)＝asin 故f(x)的最小正周期是π. 題型八 三角函數(shù)的值域與最值的求法及應(yīng)用 例3(1)求函數(shù)y＝的值域； (2)求函數(shù)y＝sinxcosx＋sinx＋cosx的最值； (3)若函數(shù)f(x)＝－asincos(π－)的最大值為2，試確定常數(shù)a的值． 【解析】 ＝2sinx(1－sinx)＝2sinx－2sin2x＝－2(sinx－)2＋. ∵1＋sinx≠0，∴－1＜sinx≤1.∴－4＜y≤. 故函數(shù)y＝的值域?yàn)?－4，]． (2)令t＝sinx＋cosx，則sinxcosx＝，且|t|≤. ∴y＝(t2－1)＋t＝(t＋1)2－1， ∴當(dāng)t＝－1時(shí)，ymin＝－1；當(dāng)t＝時(shí)，ymax＝＋. (3)f(x)＝＋asincos＝cosx＋sinx ＝sin(x＋φ)，(其中tanφ＝) 由已知得＝2，解得a＝. 【點(diǎn)評(píng)】求三角函數(shù)的最值問(wèn)題，主要有以下幾種題型及對(duì)應(yīng)解法． (1)y＝asinx＋bcosx型，可引用輔角化為y＝sin(x＋φ)(其中tanφ＝)． (2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x型，可通過(guò)降次整理化為y＝Asin2x＋Bcos2x＋C. (3)y＝asin2x＋bcosx＋c型，可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)． (4)sinxcosx與sinxcosx同時(shí)存在型，可換元轉(zhuǎn)化． (5)y＝(或y＝)型，可用分離常數(shù)法或由|sinx|≤1(或|cosx|≤1)來(lái)解決，也可化為真分式去求解． (6)y＝型，可用斜率公式來(lái)解決． 例4已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋acos2x(a∈R，a為常數(shù))，且是函數(shù)y＝f(x)的一個(gè)零點(diǎn)． (1)求a的值，并求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)當(dāng)x∈[0，]時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值． 【解析】(1)由是y＝f(x)的零點(diǎn)得 f()＝sin＋acos2＝0，求解a＝－2， 則f(x)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝sin(2x－)－1， 故f(x)的最小正周期為T(mén)＝＝π. (2)由x∈[0，]得2x－∈[－，]，則－≤sin(2x－)≤1， 因此－2≤sin(2x－)－1≤－1，故當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取最小值－2， 當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取最大值－1. 設(shè)a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2(－x)滿足f(－)＝f(0)，求函數(shù)f(x)在[，]上的最大值和最小值． 【解析】f(x)＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x 由f(－)＝f(0)得－＋＝－1，解得a＝2. ∴f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－) 當(dāng)x∈[，]時(shí)，2x－∈[，]，f(x)為增函數(shù)． 當(dāng)x∈[，]時(shí)，2x－∈[，]，f(x)為減函數(shù)． ∴f(x)在[，]上的最大值為f()＝2 又∵f()＝，f()＝ ∴f(x)在[，]上的最小值為f()＝. 題型九 分類(lèi)討論及方程思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用 例題：已知函數(shù)f(x)＝－2asin＋2a＋b的定義域?yàn)?，函?shù)的最大值為1，最小值為－5，(1)求a和b的值. (2)若 a＞0，設(shè)g(x)＝f 且lg g(x)＞0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間． 點(diǎn)評(píng)　①求出2x＋的范圍，求出sin(2x＋)的值域.②系數(shù)a的正、負(fù)影響著f(x)的值，因而要分a>0，a<0兩類(lèi)討論.③根據(jù)a>0或a<0求f(x)的最值，列方程組求解. 解　(1)∵x∈，∴2x＋∈.∴sin∈， ∴－2asin∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]， 又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1， 因此a＝2，b＝－5. (2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin－1， g(x)＝f ＝－4sin－1＝4sin－1， 又由lg g(x)＞0得g(x)＞1，∴4sin－1＞1， ∴sin＞，∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z， 其中當(dāng)2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z， ∴g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z. 又∵當(dāng)2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z. 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí)一 一、選擇題 1．對(duì)于函數(shù)f(x)＝2sinxcosx，下列選項(xiàng)正確的是( ) A．f(x)在(，)上是遞增的 B．f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) C．f(x)的最小正周期為2π D．f(x)的最大值為2 【解析】f(x)＝sin2x f(x)在(，)上是遞減的，A錯(cuò)； f(x)的最小正周期為π，C錯(cuò)； f(x)的最大值為1，D錯(cuò)；選B. 2．若α、β∈(－，)，那么“α＜β”是“tanα＜tanβ”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 【解析】α、β∈(－，)，tanx在此區(qū)間上單調(diào)遞增． 當(dāng)α＜β時(shí)，tanα＜tanβ；當(dāng)tanα＜tanβ時(shí)，α＜β.故選C. 3．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期為π，將該函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則f(x)的圖象( ) A．關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng) C．關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng) 【解析】由已知得ω＝2，則f(x)＝sin(2x＋φ) 設(shè)平移后的函數(shù)為g(x)，則g(x)＝sin(2x＋＋φ)(|φ|<)且為奇函數(shù) ∴φ＝－，f(x)＝sin(2x－) ∴圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)，選B. 4．已知f(x)＝sinx，x∈R，g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱(chēng)，則在區(qū)間[0,2π]上滿足f(x)≤g(x)的x的取值范圍是( ) A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 【解析】設(shè)(x，y)為g(x)的圖象上任意一點(diǎn)，則其關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(－x，－y)， 由題意知該點(diǎn)必在f(x)的圖象上．∴－y＝sin(－x)， 即g(x)＝－sin(－x)＝－cosx，由已知得sinx≤－cosx?sinx＋cosx ＝sin(x＋)≤0又x∈[0,2π] ∴≤x≤. 5．已知函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋φ)，g(x)＝3cos(ωx＋φ)，若對(duì)任意x∈R，都有f(＋x)＝f(－x)，則g()＝____. 【解析】由f(＋x)＝f(－x)，知y＝f(x)關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)，∴sin(ω＋φ)＝1. ∴g()＝3cos(ω＋φ)＝3＝0. 6．設(shè)函數(shù)f(x)＝2sin(＋)，若對(duì)任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，則|x2－x1|的最小值為_(kāi)___. 【解析】由“f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立”，可得f(x1)、f(x2)分別是f(x)的最小值、最大值． ∴|x2－x1|的最小值為函數(shù)f(x)的半周期，又T＝＝4.∴|x2－x1|min＝2. 7．已知函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)． (1)求f′(x)及函數(shù)y＝f′(x)的最小正周期； (2)當(dāng)x∈[0，]時(shí)，求函數(shù)F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域． 【解析】(1)f′(x)＝cosx－sinx＝－sin(x－) ∴y＝f′(x)的最小正周期為T(mén)＝2π. (2)F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx ＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋sin(2x＋) ∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，] ∴sin(2x＋)∈[－，1]， ∴函數(shù)F(x)的值域?yàn)閇0,1＋]． 8．設(shè)函數(shù)f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)－1，將函數(shù)f(x)的圖象向左平移α個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若0＜α＜，且g(x)是偶函數(shù)，求α的值． 【解析】(1)∵f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1 ＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)， ∴f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)g(x)＝f(x＋α)＝sin[2(x＋α)＋]＝sin(2x＋2α＋)， g(x)是偶函數(shù)，則g(0)＝＝sin(2α＋)， ∴2α＋＝kπ＋，k∈Z.α＝＋(k∈Z)， ∵ 0＜α＜，∴α＝. 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí)二 1.函數(shù)f(x)＝sin圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程可以為 (　　) A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝ 解析　令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝0得該函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸為x＝.本題也可用代入驗(yàn)證法來(lái)解．答案　D 2.y＝sin的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是 (　　) A.(－π，0) B. C. D. 3.函數(shù)y＝3cos(x＋φ)＋2的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)，則φ的可能取值是 (　　) A. B.－ C. D. 二、填空題 4.函數(shù)y＝lg(sin x)＋的定義域?yàn)開(kāi)___(k∈Z)_________. 5.已知函數(shù)f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸完全相同.若x∈[0，]，則f(x)的取值范圍是_______________. 4．函數(shù)f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在上單調(diào)遞增，且在這個(gè)區(qū)間上的最大值是，那么ω等于________． 解析　因?yàn)閒(x)＝2sin ωx(ω＞0)在上單調(diào)遞增，且在這個(gè)區(qū)間上的最大值是，所以2sinω＝，且0＜ω＜，因此ω＝. 答案　 6.關(guān)于函數(shù)f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命題： ①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整數(shù)倍；②y＝f(x)的表達(dá)式可改寫(xiě)為y＝4cos； ③y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；④y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－對(duì)稱(chēng). 其中正確命題的序號(hào)是___________.②③ 解析　函數(shù)f(x)＝4sin的最小正周期T＝π，由相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)間的距離是＝知①錯(cuò)． 利用誘導(dǎo)公式得f(x)＝4cos＝ 4cos＝4cos，知②正確． 由于曲線f(x)與x軸的每個(gè)交點(diǎn)都是它的對(duì)稱(chēng)中心，將x＝－代入得f(x)＝4sin＝4sin 0＝0， 因此點(diǎn)是f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故命題③正確．曲線f(x)的對(duì)稱(chēng)軸必經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，且與y軸平行，而x＝－時(shí)y＝0，點(diǎn)不是最高點(diǎn)也不是最低點(diǎn)，故直線x＝－不是圖象的對(duì)稱(chēng)軸，因此命題④不正確． 答案?、冖? 三、解答題 7.設(shè)函數(shù)f(x)＝sin (－π<φ<0)，y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝. (1)求φ； (2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間. 解　(1)－ (2)由(1)得：f(x)＝sin， 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 因此y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 ，k∈Z. 8.(1)求函數(shù)y＝2sin (－0)在區(qū)間上的最小值是－2，則ω的最小值等于(　　) A. B. C.2 D.3 3.函數(shù)f(x)＝cos 2x＋sin是 (　　) A.非奇非偶函數(shù) B.僅有最小值的奇函數(shù) C.僅有最大值的偶函數(shù) D.有最大值又有最小值的偶函數(shù) 二、填空題 4.設(shè)定義在區(qū)間(0，)上的函數(shù)y＝6cos x的圖象與y＝5tan x的圖象交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為P1，直線PP1與函數(shù)y＝sin x的圖象交于點(diǎn)P2，則線段P1P2的長(zhǎng)為_(kāi)__________. 5.函數(shù)f(x)＝2sin ωx(ω>0)在上單調(diào)遞增，且在這個(gè)區(qū)間上的最大值是，那么ω＝___________. 解析　因?yàn)閒(x)＝2sin ωx(ω＞0)在上單調(diào)遞增，且在這個(gè)區(qū)間上的最大值是，所以2sinω＝，且0＜ω＜，因此ω＝.答案　 6.給出下列命題： ①函數(shù)y＝cos是奇函數(shù)； ②存在實(shí)數(shù)α，使得sin α＋cos α＝； ③若α、β是第一象限角且α<β，則tan α0)的圖象與直線y＝m相切，并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為的等差數(shù)列. (1)求m的值； (2)若點(diǎn)A(x0，y0)是y＝f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)中心，且x0∈，求點(diǎn)A的坐標(biāo). 7.解　(1)f(x)＝(1－cos 2ax)－sin 2ax ＝－(sin 2ax＋cos 2ax)＋ ＝－sin＋. ∵y＝f(x)的圖象與y＝m相切， ∴m為f(x)的最大值或最小值， 即m＝或m＝. (2)∵切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為的等差數(shù)列，∴f(x)的最小正周期為. T＝＝，a>0，∴a＝2， 即f(x)＝－sin＋. 由題意知sin＝0，則4x0＋＝kπ (k∈Z)，∴x0＝－ (k∈Z). 由0≤－≤ (k∈Z)得k＝1或2， 因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為，. 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí)四 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)＝2sin xcos x是(　　)． A．最小正周期為2 π的奇函數(shù) B．最小正周期為2 π的偶函數(shù) C．最小正周期為π的奇函數(shù) D．最小正周期為π的偶函數(shù) 解析　f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x.∴f(x)是最小正周期為π的奇函數(shù)． 答案　C 2．函數(shù)y＝sin2x＋sin x－1的值域?yàn)?　　)． A．[－1,1] B. C. D. 解析　(數(shù)形結(jié)合法)y＝sin2x＋sin x－1，令sin x＝t，則有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，畫(huà)出函數(shù)圖象如圖所示，從圖象可以看出，當(dāng)t＝－及t＝1時(shí)， 函數(shù)取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈. 答案　C 3．若函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則ω＝(　　)． A. B. C．2 D．3 解析　由題意知f(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸為x＝，和它相鄰的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)，則f(x)的周期T＝，從而ω＝. 答案　B 4．函數(shù)f(x)＝(1＋tan x)cos x的最小正周期為(　　)． A．2π B. C．π D. 解析　依題意，得f(x)＝cos x＋sin x＝2sin.故最小正周期為2π. 答案　A 5．下列函數(shù)中，周期為π，且在上為減函數(shù)的是(　　)． A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin D．y＝cos 解析　(篩選法)∵函數(shù)的周期為π.∴排除C、D，∵函數(shù)在上是減函數(shù)，∴排除B. 答案　A 【點(diǎn)評(píng)】 本題采用了篩選法，體現(xiàn)了篩選法的方便、快捷、準(zhǔn)確性，在解選擇題時(shí)應(yīng)注意應(yīng)用. 6．已知函數(shù)f(x)＝sin(x∈R)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　)． A．函數(shù)f(x)的最小正周期為2π B．函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù) C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱(chēng) D．函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 解析　∵y＝sin＝－cos x，∴T＝2π，在上是增函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，為偶函數(shù)． 答案　D 二、 填空題 7.y=－|sin（x+）|的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)__［kπ+，kπ+］（k∈Z）_____. 8.要得到的圖象，可以將函數(shù)y = 3 sin2 x的圖象向左平移___單位. 9.若動(dòng)直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_______. 10函數(shù)f(x)=() 的值域是_____[-1,0]___ __. 11.已知，且在區(qū)間有最小值，無(wú)最大值，則＝__________． 12、給出下面的3個(gè)命題：（1）函數(shù)的最小正周期是；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸.其中正確命題的序號(hào)是 ． 13．若函數(shù)f(x)＝cos ωxcos(ω＞0)的最小正周期為π，則ω的值為_(kāi)_______． 解析　f(x)＝cos ωxcos＝cos ωxsin ωx＝sin 2ωx， ∴T＝＝π.∴ω＝1. 答案　1 14．函數(shù)y＝tan的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是______． 解析　由2x＋＝kπ，k∈Z，得：x＝－，k∈Z， 故交點(diǎn)坐標(biāo)為(k∈Z)． 答案　(k∈Z) 15．已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函數(shù)，則θ的值為_(kāi)_______． 解析　(回顧檢驗(yàn)法)據(jù)已知可得f(x)＝2sin，若函數(shù)為偶函數(shù)，則必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，經(jīng)代入檢驗(yàn)符合題意．答案　 三、解答題 16．已知f(x)＝sin x＋sin. (1)若α∈[0，π]，且sin 2α＝，求f(α)的值； (2)若x∈[0，π]，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． 解　(1)由題設(shè)知f(α)＝sin α＋cos α. ∵sin 2α＝＝2sin αcos α＞0，α∈[0，π]，∴α∈，sin α＋cos α＞0. 由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，得sin α＋cos α＝，∴f(α)＝. (2)由(1)知f(x)＝sin，又0≤x≤π，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 17．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝. (1)求φ； (2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間． 解　(1)令2＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z， 又－π＜φ＜0，則－＜k＜－，k∈Z，∴k＝－1，則φ＝－. (2)由(1)得：f(x)＝sin， 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 因此y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z. 18、設(shè)函數(shù)．（1）求的最小正周期． （2）若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求當(dāng)時(shí)的最大值． 解：（Ⅰ）= = = 故的最小正周期為T(mén) = =8 (Ⅱ)解法一： 在的圖象上任取一點(diǎn)，它關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) . 　　由題設(shè)條件，點(diǎn)在的圖象上，從而 　　　　　　　　　 = = 當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上的最大值為 　　　 　　解法二： 因區(qū)間關(guān)于x = 1的對(duì)稱(chēng)區(qū)間為，且與的圖象關(guān)于 　　x = 1對(duì)稱(chēng)，故在上的最大值為在上的最大值 　　由（Ⅰ）知＝當(dāng)時(shí)， 　　　因此在上的最大值為 . 19、設(shè)函數(shù)，其中向量，，，且的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)． （1）求實(shí)數(shù)的值； （2）求函數(shù)的最小值及此時(shí)值的集合． (3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (4)函數(shù)圖象沿向量平移得到的圖象,求向量。 19、（1） （2） (3) (4) 20、設(shè)函數(shù)，給出下列三個(gè)論斷： ①的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)； ②的周期為； ③的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)． 以其中的兩個(gè)論斷為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題，并對(duì)該命題加以證明． 或，證明略