2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第21講 幾何概型及隨機模擬教案 新人教版一課標要求：1了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法（包括計算器產(chǎn)生隨機數(shù)來進行模擬）估計概率，初步體會幾何概型的意義；2通過閱讀材料，了解人類認識隨機現(xiàn)象的過程。二命題走向本講內(nèi)容在高考中所占比較輕，縱貫近幾年的高考對概率要求降低，但本講內(nèi)容使新加內(nèi)容，考試涉及的可能性較大。預測07年高考：（1）題目類型多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，；（2）本建考試的重點內(nèi)容幾何概型的求值問題，我們要善于將實際問題轉(zhuǎn)化為概率模型處理。三要點精講1隨機數(shù)的概念隨機數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個范圍內(nèi)任何一個數(shù)的機會是均等的。2隨機數(shù)的產(chǎn)生方法（1）利用函數(shù)計算器可以得到01之間的隨機數(shù)；（2）在Scilab語言中，應用不同的函數(shù)可產(chǎn)生01或ab之間的隨機數(shù)。3幾何概型的概念如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；4幾何概型的概率公式：P（A）=。5幾種常見的幾何概型（1）設線段l是線段L的一部分,向線段L上任投一點.若落在線段l上的點數(shù)與線段L的長度成正比,而與線段l在線段l上的相對位置無關,則點落在線段l上的概率為：P=l的長度/L的長度（2）設平面區(qū)域g是平面區(qū)域G的一部分,向區(qū)域G上任投一點,若落在區(qū)域g上的點數(shù)與區(qū)域g的面積成正比,而與區(qū)域g在區(qū)域G上的相對位置無關,則點落在區(qū)域g上概率為：P=g的面積/G的面積（3）設空間區(qū)域上v是空間區(qū)域V的一部分,向區(qū)域V上任投一點.若落在區(qū)域v上的點數(shù)與區(qū)域v的體積成正比,而與區(qū)域v在區(qū)域v上的相對位置無關,則點落在區(qū)域V上的概率為：P=v的體積/V的體積四典例解析題型1：線長問題例1一個實驗是這樣做的，將一條5米長的繩子隨機地切斷成兩條，事件T表示所切兩段繩子都不短于1米的事件，考慮事件T發(fā)生的概率。分析：類似于古典概型，我們希望先找到基本事件組，既找到其中每一個基本事件。注意到每一個基本事件都與唯一一個斷點一一對應，故引例中的實驗所對應的基本事件組中的基本事件就與線段AB上的點一一對應，若把離繩AB首尾兩端1的點記作M、N，則顯然事件T所對應的基本事件所對應的點在線段MN上。由于在古典概型中事件T的概率為T包含的基本事件個數(shù)/總的基本事件個數(shù)，但這兩個數(shù)字（T包含的基本事件個數(shù)、總的基本事件個數(shù)）在引例1中是無法找到的，不過用線段MN的長除以線段AB的長表示事件T的概率似乎也是合理的。解：P（T）=3/5。例2（磁帶問題）喬和摩進行了一次關于他們前一天夜里進行的活動的談話。然而談話卻被監(jiān)聽錄音機記錄了下來，聯(lián)邦調(diào)查局拿到磁帶并發(fā)現(xiàn)其中有10秒鐘長的一段內(nèi)容包含有他們倆犯罪的信息 然而后來發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被聯(lián)邦調(diào)查局的一名工作人員擦掉了，該工作人員聲稱她完全是無意中按錯了鍵，并從即刻起往后的所有內(nèi)容都被榛掉了試問如果這10秒鐘長的談話記錄開始于磁帶記錄后的半分鐘處，那么含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部偶然擦掉的概率將是多大？解析：將3O分鐘的磁帶表示為長度為3O的線段R，則代表10秒鐘與犯罪活動有關的談話的區(qū)間為 r,如右圖所示，10秒鐘的談話被偶然擦掉部分或全部的事件僅在擦掉開始的時間位于該區(qū)間內(nèi)或始于該區(qū)間左邊的任何點。 因此事件r是始于R線段的左端點且長度為的事件。因此,。0 S 10例3假設車站每隔 10 分鐘發(fā)一班車，隨機到達車站，問等車時間不超過 3 分鐘的概率 ？ 解：以兩班車出發(fā)間隔 ( 0，10 ) 區(qū)間作為樣本空間 S，乘客隨機地到達，即在這個長度是 10 的區(qū)間里任何一個點都是等可能地發(fā)生，因此是幾何概率問題。要使得等車的時間不超過 3 分鐘，即到達的時刻應該是圖中 A 包含的樣本點，p= 0.3 。題型2：面積問題例4投鏢游戲中的靶子由邊長為1米的四方板構成，并將此板分成四個邊長為1/2米的小方塊。實驗是向板中投鏢，事件A表示投中陰影部分為成功，考慮事件A發(fā)生的概率。分析與解答：類似于引例1的解釋，完全可以把此引例中的實驗所對應的基本事件組與大的正方形區(qū)域聯(lián)系在一起，既事件組中的每一個基本事件與大正方形區(qū)域中的每一個點一一對應，則事件A所包含的基本事件就與陰影正方形中的點一一對應，這樣我們用陰影正方形的面積除以大正方形的面積表示事件A的概率是合理的。這一點我們完全可以用引例1的方法驗證其正確性。解析：P（A）=（1/2）2/12=1/4。例5（CB對講機問題）（CB即CitizenBand市民波段的英文縮寫）兩個CB對講機持有者，莉莉和霍伊都為卡爾貨運公司工作，他們的對講機的接收范圍為25公里，在下午3:0O時莉莉正在基地正東距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛，而霍伊在下午3：00時正在基地正北距基地40公里以內(nèi)的某地向基地行駛，試問在下午3：0O時他們能夠通過對講機交談的概率有多大？解：設x和y分別代表莉莉和霍伊距某地的距離，于是則他倆所有可能的距離的數(shù)據(jù)構成有序點對(x,y),這里x，y都在它們各自的限制范圍內(nèi)，則所有這樣的有序數(shù)對構成的集合即為基本事件組對應的幾何區(qū)域，每一個幾何區(qū)域中的點都代表莉莉和霍伊的一個特定的位置， 他們可以通過對講機交談的事件僅當他們之間的距離不超過25公里時發(fā)生（如右圖）因此構成該事件的點由滿足不等式的數(shù)對組成，此不等式等價于右圖中的方形區(qū)域代表基本事件組，陰影部分代表所求事件，方形區(qū)域的面積為1200平方米公里，而事件的面積為，于是有。例6(意大利餡餅問題)山姆的意大利餡餅屋中設有一個投鏢靶 該靶為正方形板邊長為18厘米，掛于前門附近的墻上，顧客花兩角伍分的硬幣便可投一鏢并可有機會贏得一種意大利餡餅中的一個，投鏢靶中畫有三個同心圓，圓心在靶的中心，當投鏢擊中半徑為1厘米的最內(nèi)層圓域時可得到一個大餡餅；當擊中半徑為1厘米到2厘米之間的環(huán)域時，可得到一個中餡餅；如果擊中半徑為2厘米到3厘米之間的環(huán)域時，可得到一個小餡餅，如果擊中靶上的其他部分，則得不到諂餅，我們假設每一個顧客都能投鏢中靶，并假設每個圓的周邊線沒有寬度，即每個投鏢不會擊中線上，試求一顧客將嬴得：（a）一張大餡餅，（b）一張中餡餅，（c）一張小餡餅，（d）沒得到餡餅的概率解析：我們實驗的樣本空間可由一個邊長為18的正方形表示。右圖表明R和子區(qū)域r1、r2、r3和r,它們分別表示得大餡餅、中餡餅、小餡餅或沒得到餡餅的事件。；。題型3：體積問題例7（1）在400毫升自來水中有一個大腸桿菌,今從中隨機取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察,求發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率。解析：由于取水樣的隨機性,所求事件的概率等于水樣的體積與總體積之比，即2/400=0.005。（2）如果在一個5萬平方公里的海域里有表面積達40平方公里的大陸架貯藏著石油,假如在這海領域里隨意選定一點鉆探,問鉆到石油的概率是多少?解析：由于選點的隨機性,可以認為該海域中各點被選中的可能性是一樣的,因而所求概率自然認為等于貯油海域的面積與整個海域面積之比,即等于40/50000=0.0008。例8在線段0，1上任意投三個點，問由0至三點的三線段，能構成三角形與不能構成三角形這兩個事件中哪一個事件的概率大。解析：設0到三點的三線段長分別為x,y,z，即相應的 z右端點坐標為x,y,z，顯然這三條線 1 C段構成三角形的充要條件是： A D。 在線段0，1上任意投三點x,y,z。與立方體 0 1 y，中的點 1 一一對應，可見所求“構成三角形”的概率，等價于x B邊長為1的立方體T中均勻地擲點，而點落在區(qū)域中的概率；這也就是落在圖中由ADC，ADB，BDC，AOC，AOB，BOC所圍成的區(qū)域G中的概率。由于 ，由此得，能與不能構成三角形兩事件的概率一樣大。題型4：隨機模擬例9隨機地向半圓（為正常數(shù)）內(nèi)擲一點，點落在園內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點與該點的連線與軸的夾角小于的概率. 解析：半圓域如圖0yxyxax 設原點與該點連線與軸夾角小于 由幾何概率的定義 。例10隨機地取兩個正數(shù)和，這兩個數(shù)中的每一個都不超過1，試求與之和不超過1，積不小于0.09的概率. 解析：，不等式確定平面域。則發(fā)生的充要條件為不1yy1y0.90.10yASy等式確定了的子域，故： 例11. 曲線y=-x2+1與x軸、y軸圍成一個區(qū)域A，直線x=1、直線y=1、x軸圍成一個正方形，向正方形中隨機地撒一把芝麻，利用計算機來模擬這個試驗，并統(tǒng)計出落在區(qū)域A內(nèi)的芝麻數(shù)與落在正方形中的芝麻數(shù)。答案：如下表，由計算機產(chǎn)生兩例01之間的隨機數(shù)，它們分別表示隨機點（x,y）的坐標。如果一個點（x,y）滿足y-x2+1，就表示這個點落在區(qū)域A內(nèi)，在下表中最后一列相應地就填上1，否則填0。xy計數(shù)0.5988950.94079400.5122840.11896110.4968410.78441700.1127960.69063410.3596000.37144110.1012600.65051210.9473860.90212700.1176180.30567310.5164650.22290710.5963930.9696950五思維總結1幾何概率是考研大綱上要求的基本內(nèi)容，也是近年來新增考察內(nèi)容之一；2有關幾何概率的題目難度不大，但需要準確理解題意，利用圖形分析問題。本講將著重介紹如何利用圖形解決幾何概率的相關問題；3學好幾何概率對于解決后續(xù)均勻分布的問題有很大幫助。4關于幾何概型：（1）我們是就平面的情形給出幾何概型的，同樣的方法顯然也適用于直線或空間的情形，只需將“面積”相應地改變?yōu)椤伴L度”、“體積”；（2）幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點的試驗，如果一個隨機試驗有無限多個等可能的基本結果，每個基本結果可以用平面(或直線、空間)中的一點來表示，而所有基本結果對應于一個區(qū)域，這時，與試驗有關的問題即可利用幾何概型來解決。