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2、第二章 個(gè)別保單的理賠額和理賠次數(shù),,第一節(jié) 理賠額的分布,,一、常用名詞,,投保人（,insurer,）,,承保人,,,保險(xiǎn)公司（,insurance,）,,損失事件（,loss event or claim,）,,注意：事故不等于損失事件,,損失額（,loss,）,,理賠事件（,payment event,）,,賠付額，理賠額（,amount paid,）,,注意：損失事件不等于理賠事件，理賠額不等于損失額,,,記號(hào)：,,X,表示投保人實(shí)際損失額（,ground-up loss,）。,,,Y,表示保險(xiǎn)人每次理賠事件的賠付額,(amount paid,per payment,),，簡(jiǎn)稱(chēng)理賠額

3、,;,,Y,*,表示投保人每次損失事件中獲得的實(shí)際索賠額,(amount paid,per loss,),,,,二、常見(jiàn)的部分賠償形式,1,、,免賠額（,deductible,）,,含義：當(dāng)損失額低于某一限額時(shí)不做賠償，這一限額稱(chēng)為免賠額（或自付額），當(dāng)損失額高于免賠額，只賠償高出的部分。,,例如,,免賠額為,50,元,,數(shù)學(xué)形式：,,例,1,：已知某風(fēng)險(xiǎn)標(biāo)的的原始損失額如下：,,,,0,,,1,,,2,,,3,,,4,,,,,0.4,,,0.2,,,0.2,,,0.15,,,0.5,,,,假設(shè)免賠額為,1,，求每次理賠事件的賠付額,Y,,和每次損失事件的賠付額的分布。,,,,0,,,1,,,

4、2,,,3,,,4,,,,,0.4,,,0.2,,,0.2,,,0.15,,,0.05,,,,,0,,,0,,,1,,,2,,,3,,,,,,,,,,,0.2/0.4,,,0.15/0.4,,,0.05/0.4,,,,,0.4,,,0.2,,,0.2,,,0.15,,,0.05,,,,,Y,L,的分布容易計(jì)算，,,,,,Y,P,的分布是在,X,>,d,的條件下，,,X,－,d,的條件分布。記,Y,P,的分布函數(shù)記為,F,YP,(,y,),，,,當(dāng),y,>0,時(shí)為，,,,,,當(dāng),y,＝,0,時(shí)，,,Y,P,的分布密度函數(shù)可以寫(xiě)為,,,2,、保單限額（,Policy limit,）,,含義：每次保

5、險(xiǎn)事故中按保險(xiǎn)單所約定的最高賠償金額。,,例如,:,最高保單限額為,1500,元,,數(shù)學(xué)形式：,,,,,,,請(qǐng)問(wèn),：當(dāng)免賠額和保單限額同時(shí)存在時(shí)，情況會(huì)怎樣？,,例,2,:,設(shè)某醫(yī)療保險(xiǎn)單上規(guī)定了免賠額為,100,,保單限額為,5,000,，,,有三個(gè)投保人看病花費(fèi)分別為,50, 4000,,和,5500,,問(wèn)他們獲得的賠付額各是多少,?,,注意,：如果同時(shí)規(guī)定最高保單限額為,u,，免賠額為,d,，則投保人所能得到的最高賠償金額為,u,。,,,,,,未定義,,解,：設(shè),X,i,表示第,i,個(gè)投保人的損失額,, Y,i,,表示他所獲得的賠付,,,則,,,,,,,所以，由,X1=40, X2=40

6、00, X3=5500,,得,,Y1=0,Y2=4000-100=3900, Y3=5000,例,3,：假設(shè)某險(xiǎn)種的保單規(guī)定免賠額為,100,元，保單限額為,9,00,元。假設(shè)損失服從,Weibull,分布，,,,,,,求理賠額,Y,P,的分布。,,,解,：設(shè),X,表示實(shí)際損失額，,Y,P,表示理賠額，則,,,Y,P,的分布函數(shù)和分布密度分別為,,,未定義,,,當(dāng),y,＝,900,時(shí)，,,,當(dāng)時(shí)，,,,3,、比例分擔(dān),,含義：在保險(xiǎn)單中約定一個(gè)比例常數(shù)，當(dāng)損失事故中的實(shí)際損失額為,X,時(shí)，保險(xiǎn)公司只賠付,a,X,，,,例如，,a,＝,0.8,,,,,當(dāng)免賠額、保單限額和比例分擔(dān)三者同時(shí)存在時(shí),

7、,,未定義,,,三、理賠額的期望,,記號(hào),,,,顯然，,,,設(shè),X,表示損失額，,Y,P,表示每次賠償理賠額，,Y,L,每次損失的賠付額,,免賠額情形：,,,保單限額,,,保單限額、免賠額同時(shí)存在,,,比例分擔(dān)、保單限額、免賠額同時(shí)存在：,,,1,、有限期望函數(shù),,性質(zhì),,1.,,,,2.,對(duì)于非負(fù)隨機(jī)變量,X,,,3,、對(duì)非負(fù)隨機(jī)變量,X,,,,證明：,,,,例,4,：設(shè)某險(xiǎn)種的損失額,X,具有密度函數(shù),,,x,>0,,假定最高理賠額為,u,=4,萬(wàn)元,,,求理賠額的期望是多少,?,,解,：設(shè)理賠額為,Y,，則,,,,由,,,知,,2,、剩余期望函數(shù),,,E,(,X,),，,e,X,(,d,

8、),與,E,(,X,∧,d,),的關(guān)系,,,,E,(,X,)=,E,(,X,∧,d,)+,e,X,(,d,)(1-,F,(,d,)),,例,5,：設(shè)某險(xiǎn)種的損失額,X,具有密度函數(shù),,,假定免賠額等于,0.2,萬(wàn)元,,,求每次損失事件實(shí)際賠付額和每次理賠額事件理賠額,Y,的期望。,,解,,經(jīng)計(jì)算得到,,，且,,,,,,上面的例子可以總結(jié)為下面的定理：,,,,定理,,設(shè),X,表示實(shí)際損失額，,,免賠額為,d,，,,比例分擔(dān)額,a,,,保單覆蓋的最大損失,u,，則每次損失賠付額,Y,L,和賠償?shù)睦碣r額,Y,的期望分別為,,,,證明：保單覆蓋的最大損失,u,，則最高賠償額為,,,可以表示為,,,所以

9、,,,由于,Y,P,是,X>d,條件下，的值，因此,,,四、通貨膨脹效應(yīng),1,、通貨膨脹率已知為,r,,對(duì)損失額的影響,,設(shè),X,表示過(guò)去時(shí)期內(nèi)損失額,, Z,表示現(xiàn)在或未來(lái)時(shí)期內(nèi)的損失額,,,則兩者的關(guān)系為,Z=(1+r)X,。容易計(jì)算得到,,,對(duì)理賠額的影響：,,定理：,設(shè),X,表示實(shí)際損失額,,,免賠額為,d,,保單覆蓋的最大損失,u,和比例分擔(dān)額,a,,,,通貨膨脹率為,r,,,則明年每次損失賠付額為,,,每次理賠的理賠額為,,,,,例,6,,假設(shè)某險(xiǎn)種在,2003,年的實(shí)際損失額服從離散分布,,。保單上規(guī)定每次損失的免賠額為,1500,元。假設(shè)從,2003,年到,2004,年的通貨膨

10、脹額為,5,％，,2004,年的免賠額保持不變，求,2004,年的每次損失賠付額的期望是多少。比今年相比，增長(zhǎng)率是多少？,,,解,,,今年每次損失的索賠額為,,,,明年每次損失的索賠額為,,增長(zhǎng)率為,8,％,,2,通貨膨脹率是隨機(jī)的,,考慮模型,Y=CX,,隨機(jī)變量,C,和,X,是獨(dú)立的,,,C,>1,，,C,表示隨機(jī)通貨膨脹,,,一般是主觀預(yù)測(cè)得來(lái)，設(shè)其分布函數(shù)為,F,C,(c),,密度為,f,C,(c),。若,X,的分布函數(shù)為,,,滿足,,，則,,,,容易計(jì)算出，明年的損失額的期望和方差為,,,,,這是因?yàn)?例,7,預(yù)測(cè)明年的通貨膨脹率在,2%,到,6%,之間，,,而且低通貨膨脹率的可能性

11、更大。設(shè)損失,X,服從均值為,10,的指數(shù)分布，,,，求明年損失額的期望。,,,,解,：不妨考慮這樣一個(gè)密度函數(shù),,,,其中,,,這個(gè)密度函數(shù)滿足低通貨膨脹率的可能性更大這個(gè)條件。經(jīng)計(jì)算得到,C,的期望和方差為,,,,于是由公式計(jì)算得到,,,,第,2,節(jié) 理賠次數(shù),,主要內(nèi)容,1,、母函數(shù)與矩母函數(shù),,2,、一張保單的理賠次數(shù)分布,,3,、理賠次數(shù)的混合分布,,4,、理賠次數(shù)的復(fù)合分布,,5,、免賠額對(duì)理賠次數(shù)分布的影響,,1,、,N,的母函數(shù)與矩母函數(shù),,設(shè),N,是一個(gè)離散隨機(jī)變量，取值于,0,1,2,,…,,記,,,其母函數(shù)為,矩母函數(shù)為,,母函數(shù)與矩母函數(shù)的關(guān)系,,母,(,矩母,),函數(shù)

12、性質(zhì),,1,、若,N,的母,(,矩母,),函數(shù)存在，那么母,(,矩母,),函數(shù)與分布函數(shù)是相互唯一決定的。,,2,、由母,(,矩母,),函數(shù)可以導(dǎo)出矩的計(jì)算：,,,請(qǐng)問(wèn),,3,、設(shè),N,＝,N,1,+…+N,n,, N,i,相互獨(dú)立，則,,二、一張保單的理賠次數(shù)分布,,,1,、泊松分布,(Poisson),,對(duì)于保險(xiǎn)公司而言，客戶因發(fā)生損失而提出理賠的人數(shù)類(lèi)似于等待服務(wù)現(xiàn)象，因此對(duì)大多數(shù)險(xiǎn)種來(lái)說(shuō)，個(gè)別保單的理賠次數(shù)可用泊松分布來(lái)表示，即在單位時(shí)間內(nèi)個(gè)別保單發(fā)生理賠次數(shù),N,的分布列為：,,,在單位時(shí)間內(nèi)理賠次數(shù),N,的分布列為,,,泊松分布的性質(zhì)：,,（,1,）均值和方差,,,（,2,）母函數(shù)

13、,,,,（,3,）矩母函數(shù),,,,（,4,）可加性,,定理,1,：設(shè),,,是,相互獨(dú)立,的泊松隨機(jī)變量，參數(shù)分別為,,，則,,服從泊松分布，參數(shù)為,,。,,證明：,,,,故,N,服從泊松分布，參數(shù)為,,。,（,5,）可分解性,,假設(shè)損失事故可以分為,m,個(gè)不同類(lèi)型,C,1,,…,C,m,,E,i,表示第,i,類(lèi)事故發(fā)生。,,p,i,表示第,i,類(lèi)事故發(fā)生的概率，,,N,i,表示第,i,類(lèi)事故發(fā)生的次數(shù)，,,N,表示所有事故發(fā)生的次數(shù)。,,,,,定理,2,：若,N,服從參數(shù)為,l,的泊松分布，則,N,1,,N,2,,…,N,n,都是相互獨(dú)立的，且服從泊松分布，參數(shù)分別是,l,p,i,，。,,證明

14、,：給定,N=n,，,N,i,|n,服從二項(xiàng)分布,B(1,p,i,),，,N,1,,,…,,N,n,服從多項(xiàng)分布,,,因此,,其中,n,＝,n,1,+n,2,+…+n,n,,因此，,,的聯(lián)合分布等于,N,i,分布的乘積，,N,i,是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。,,例,1,：設(shè),N,表示損失事故發(fā)生的次數(shù)，,X,表示損失額，服從泊松分布，,l,=10,，,X,～,U[0, 20],。問(wèn)損失額超過(guò),5,的事故發(fā)生次數(shù)的概率分布。,,,,,解,：令,E,表示事件“損失額超過(guò),5,”,,,,,所以損失額超過(guò),5,的次數(shù)服從參數(shù)為,10×0.75=7.5,的泊松分布。,,例,2,：假設(shè)某險(xiǎn)種的個(gè)體保單損失,X,

15、的分布為,,,,,,又假設(shè)個(gè)體保單在一年內(nèi)發(fā)生的損失事件的次數(shù),N,服從泊松分布，,l,＝,200,。,N,i,表示損失額為,i,的損失事件的次數(shù)。,,,,（,1,）,,求,,的分布。,,,（,2,）假設(shè)免賠額為,1,，求個(gè)體保單在一年內(nèi)發(fā)生的理賠事件次數(shù)的分布。,,,解,：由于,,，且,N,服從泊松分布，由定理知，,N,i,相互獨(dú)立且服從泊松分布。,,參數(shù),l,i,等于,,,計(jì)算得到,,,,,,,（,2,）留作課堂練習(xí),,2,、其他常見(jiàn)的理賠次數(shù)分布,,（,1,）負(fù)二項(xiàng)分布,,其中：,,,負(fù)二項(xiàng)分布的性質(zhì),,（,1,）當(dāng),r,＝,1,，負(fù)二項(xiàng)分布退化為幾何分布,,,,（,2,）母函數(shù),,,,

16、注意：我們這里的負(fù)二項(xiàng)是廣義的負(fù)二項(xiàng)分布，,,r,可以為非整數(shù)。,將,,化簡(jiǎn)得到,,,（,3,）均值和方差,,,,,（,2,）二項(xiàng)分布,,,性質(zhì),,,（,1,）母函數(shù)與矩母函數(shù),,,（,2,）均值與方差,,,,,請(qǐng)問(wèn)：如何從觀察數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單區(qū)別,,負(fù)二項(xiàng)分布、二項(xiàng)分布和泊松分布,例,3,：設(shè)有,100,個(gè),40,歲的投保人投保生命險(xiǎn)，,q,表示一個(gè)投保人明年死亡的概率，問(wèn)明年死亡人數(shù)的分布是什么？,,3,、,(a, b, 0),分布族,,上述,3,種分布都可以用,(a, b, 0),分布來(lái)表示,,,定義,：設(shè)隨機(jī)變量,N,的分布列滿足,,,,,,則稱(chēng)分布族為,(a, b, 0),分布族,,,,注：

17、泊松分布，二項(xiàng)分布，負(fù)二項(xiàng)分布是（,a,b,0),分布族,,泊松分布：,,,負(fù)二項(xiàng)分布,,,,,,,因此，,,當(dāng),r,＝,1,時(shí)，負(fù)二項(xiàng)分布是幾何分布，,,,二項(xiàng)分布,,,,,,,例,4,：設(shè),N,是一隨機(jī)變量，令,,，如果,,,,,問(wèn),N,的分布是什么？,,解：由,,知，,N,服從二項(xiàng)式分布,,,,,練習(xí),：設(shè),X,的分布屬于,(a,b,0),,分布族,，已知,,,求,,,三、理賠次數(shù)的混合分布,背景：,,從保單中隨意抽取一份保單，求該保單的理賠次數(shù)分布。,,同質(zhì)性,：指所有的保單相互獨(dú)立，且都有相同的風(fēng)險(xiǎn)水平，即各保單的損失額的分布相同，損失次數(shù)的分布也相同。,,非同質(zhì)性,：保單組合中的每

18、個(gè)保單風(fēng)險(xiǎn)水平各不相同。表示其風(fēng)險(xiǎn)水平。,,數(shù)學(xué)模型,,設(shè),Q,是一個(gè)隨機(jī)變量，當(dāng),Q,＝,q,時(shí)，,,,令,,為,Q,的累積分布，,u,(q),為,q,的密度函數(shù)，,則,N,的分布列為,,,,或者,,,N,的分布稱(chēng)為混合分布。,,,,例,5,：某司機(jī)總體被平均分成兩個(gè)類(lèi)型。每個(gè)司機(jī)發(fā)生車(chē)禍的次數(shù)都服從泊松分布。第一種類(lèi)型的司機(jī)的平均發(fā)生車(chē)禍的次數(shù)服從（,0.2,，,1.8,）的均勻分布。第二種類(lèi)型的司機(jī)的平均發(fā)生車(chē)禍的次數(shù)服從（,0.5,，,2.0,）的均勻分布。從這個(gè)總體中隨機(jī)抽取一個(gè)司機(jī)，求他不發(fā)生車(chē)禍的概率。,,解,,,混合分布性質(zhì),,,1.,母函數(shù),,,或者,,,其中,P,N,(z|

19、,q,),表示在,Q,＝,q,條件下，,N,的母函數(shù)。,,2,．均值和方差,,,,,,常見(jiàn)的幾種混合泊松分布,,1,、離散型混合,,對(duì)于規(guī)模較小的保單組合，假設(shè)保單組合由,n,種不同的風(fēng)險(xiǎn)水平構(gòu)成，泊松參數(shù)取值于,,,,，設(shè),,，,,。當(dāng),L,＝,l,k,時(shí)，保單的損失次數(shù)服從參數(shù)為,l,k,的泊松分布。則從保單組合中任意抽取一份保單的分布為,,,,,,,,例,6,：假設(shè)投保車(chē)險(xiǎn)的駕駛員可以分為兩類(lèi)，他們出事的次數(shù)服從泊松分布，其中好的一類(lèi)的泊松參數(shù)為,0.11,，壞的一類(lèi)的泊松參數(shù)為,0.70,，好的駕駛員和壞的駕駛員的比例為,0.94,和,0.06,，則任意一個(gè)駕駛員出事的次數(shù)分布時(shí)多少？

20、,,,解,2,、連續(xù)型的混合,,對(duì)于規(guī)模較大的保單組合，可以假設(shè)其中的泊松參數(shù)服從連續(xù)分布。以,u(,l,),表示的密度函數(shù)，通常稱(chēng)為結(jié)構(gòu)函數(shù)。則從保單組合中隨機(jī)抽取一份保單的損失次數(shù)分布為,,,,,,性質(zhì)：,,,(1),母函數(shù)的表達(dá)式,,,（,2,）結(jié)構(gòu)函數(shù)的唯一性，設(shè),P,1,和,P,2,是兩個(gè)混合泊松分布的母函數(shù)，分別表示為,,,,,,若,P,1,(z)=P,2,(z),，則,u(,q,)=v(,q),。,,,,,例,7,：設(shè),Q,的母函數(shù)為,,,,,,求,N,的分布。,,解,：利用母函數(shù)公式,,,,定理,3,：設(shè)保單組合中每張保單的理賠次數(shù),N,服從泊松分布，但參數(shù),l,是一個(gè)隨機(jī)變量

21、，隨每張保單變化而變化。若,l,服從伽瑪分布，,,,，,,,,,則,N,服從負(fù)二項(xiàng)分布。,,,,,四、理賠次數(shù)的復(fù)合分布,,問(wèn)題：一次損失事故的發(fā)生可能會(huì)導(dǎo)致多份保單同時(shí)發(fā)生索賠，如何求索賠次數(shù)的分布。,,,例,1,：設(shè)從城市,A,到城市,B,的某航線每個(gè)月有,70,個(gè)航班，假設(shè)每個(gè)航班有,,的可能性取消，假設(shè)每次飛行有,,的概率出事。進(jìn)一步假設(shè)每趟飛機(jī)有,200,個(gè)座位，每次飛行有,,的就座率和,6,個(gè)機(jī)組人員，假設(shè)出事飛機(jī)上的每個(gè)人都死亡，并且都買(mǎi)了保險(xiǎn)。,,,求每個(gè)月此航線的索賠次數(shù)的期望和方差。,.,,,,,解：令,S,表示下個(gè)月此航線的總索賠次數(shù),,N,表示下個(gè)月出行的航班數(shù),,P,

22、表示飛機(jī)上的人員數(shù)，,M,表示乘客數(shù),,,,,D,表示發(fā)生事故的死亡人數(shù)，,,則,。,,,定義：設(shè),M,和,N,分別為兩個(gè)計(jì)數(shù)隨機(jī)變量，,iid,與,M,的分別相同，則,N,的分布稱(chēng)為,,的復(fù)合分布,,,的分布稱(chēng)為第一分布，,M,稱(chēng)為第二分布。,,,,背景：,N,表示單位時(shí)間內(nèi)損失事故的發(fā)生數(shù)，,,M,表示第,i,個(gè)損失事故產(chǎn)生的索賠次數(shù)，,,S,表示單位時(shí)間內(nèi)索賠的總次數(shù)。,,,,,,S,的性質(zhì),,母函數(shù),,,,例,1,：,M,服從泊松分布，,N,服從泊松分布，,,,，,,,例,2,：求例,1,中,S,的母函數(shù)：,,,,,,，,,,,均值和方差,,,,例,1,續(xù)：求例,1,中,S,的期望和方

23、差,,,,,,,,,,,,,注意：當(dāng)免賠額存在時(shí)，理賠次數(shù)不等于損失次數(shù)。,,1,、免賠額存在時(shí),,,X,表示損失，,N,L,表示損失次數(shù)，,d,表示免賠額，,N,P,表示理賠次數(shù),,，,，,,五、,免賠額對(duì)理賠次數(shù)的分布的影響,,,例：設(shè)某損失事件的損失額有幾種可能,,，發(fā)生的概率分別為,,，假設(shè)損失事件的次數(shù)服從,,的負(fù)二項(xiàng)分布，免賠額為,50,，求賠償事件的次數(shù)的分布。,,解,,,,,,N,P,服從負(fù)二項(xiàng)分布,,,,,,,。,命題,1,,命題,1,：假設(shè),N,L,的母函數(shù),,，其中,B(.),是與參數(shù),,無(wú)關(guān)的函數(shù)，則,N,L,和,N,P,的分布類(lèi)型沒(méi)有變化。,,證明：,,,,,,注：所

24、有的,,分布都保持原來(lái)的類(lèi)型。,,,,,,,,,,,,,,2,、免賠額發(fā)生變化時(shí),,設(shè)原來(lái)的免賠額為,d,，現(xiàn)在免賠額調(diào)整為,d*,，請(qǐng)問(wèn)調(diào)整后新理賠次數(shù)發(fā)生了什么變化。,,記,N,d,,表示免賠額為,d,的理賠次數(shù)，,N,d,*,表示理賠額為,d*,的理賠次數(shù)，設(shè),v’,表示在免賠額提高后，以前的索賠事件能夠繼續(xù)獲得賠償?shù)谋壤瑒t,,,令,I=1,表示繼續(xù)獲得賠償，,,表示,I=0,不能繼續(xù)獲得賠償,,,,當(dāng),d,*,>d,時(shí)，若,N,的分布為（,a,b,0,），則,N,d,*,分布類(lèi)型不會(huì)發(fā)生變化，參數(shù)有變化,,當(dāng),d,*,