向量的加法 一． 教學(xué)目標(biāo) 知識目標(biāo)：理解向量加法的含義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩 個(gè)向量的和； 掌握向量加法的交換律與結(jié)合律，并會用它們進(jìn)行向量運(yùn)算． 能力目標(biāo)：經(jīng)歷向量加法概念、法則的建構(gòu)過程，感受和體會將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)概 念的過程和思想，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力． 情感目標(biāo)：經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)描述和刻畫現(xiàn)實(shí)世界的過程，體驗(yàn)探索的樂趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué) 習(xí)熱情．培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、創(chuàng)新的個(gè)性品質(zhì)． 二．重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：向量加法運(yùn)算的意義和法則． 難點(diǎn)：向量加法法則的理解． 三． 教學(xué)方法 采用“啟發(fā)探究”式教學(xué)方法，結(jié)合多媒體輔助教學(xué)． 四．教學(xué)過程 Ⅰ．創(chuàng)設(shè)情境 直觀感知 O A B 用心 愛心 專心 - 1 - O 塔柱 斜拉索 F 1 F 2 梁 斜拉橋示意圖 F 以杭州灣大橋?yàn)檎w背景， 設(shè)計(jì)兩個(gè)問題情 境如下： 問題１： 建橋之前如何從嘉興到達(dá)寧波？建橋之后可以從嘉興直達(dá)寧波，此時(shí)的位移與前面兩次位移的結(jié)果有何關(guān)系？兩次位移的結(jié)果可稱為兩次位移的和，如何用等式來刻畫這三個(gè)位移的關(guān)系？ 問題 2：這是大橋南端的 A 型獨(dú)塔斜拉橋，其中兩根拉索對塔柱的拉力分別為 F1 、 F2 ， 則它們對塔柱的共同作用效果如何？合力 F 可稱為力 F 與 F 的和，如何用等式來刻畫這三個(gè) 1 2 力的關(guān)系？ 力與位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它們的物理屬性，就是數(shù)學(xué)中的向量．它們的和也就可以抽象成向量與向量之間的一種運(yùn)算——向量的加法（引出課題） Ⅱ．抽象概括 形成定義 （一）建立數(shù)學(xué)模型 若記 OA a, AB b 則向量 OB 叫做向量 a 與 b 的和，記為 a b OA AB OB ． 問題 3：如圖所示的三個(gè)向量，你們能給出它們所滿足的等式嗎？—— AB BO AO ， 即向量 AO 為向量 AB 與 BO 的和 O O A A B B （二）抽象數(shù)學(xué)概念 問題 4：由此，你們能概括出一般的兩個(gè)向量 a 與 b 和的定義嗎？ 用心 愛心 專心 - 2 - 學(xué)生活動(dòng)： 在平面內(nèi)任取一點(diǎn) O，平移 a 使其起點(diǎn)為點(diǎn) O，平移 b 使其起點(diǎn)與 a 向量的終 點(diǎn)重合，再連接向量 a 的起點(diǎn)與向量 b 的終點(diǎn)． （ 1）平移的目的是什么？——平移后使得兩個(gè)向量能在同一個(gè)三角形中； （ 2）平移后兩個(gè)向量的終點(diǎn)與起點(diǎn)有何關(guān)系？——使得第二個(gè)向量的終點(diǎn)與第一個(gè)向量的起點(diǎn)重合； （ 3）和向量又是什么？——連接向量a 的起點(diǎn)與向量 b 的終點(diǎn)，并指向 b 的終點(diǎn)，得到 的向量 OB 即為向量 a 與 b 的和； （ 4）借助于幾何直觀，用自然簡潔的語言給出兩個(gè)向量和的定義 ． 和的定義：已知向量 a,b ，在平面內(nèi)任取一點(diǎn) O，作 OA aAB , b ，則向量 OB 叫做向量 a,b 的和．記作： a b ．即 a b OA AB OB ． 向量的加法的定義： 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法． 向量加法的法則： 和的定義給出了求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則． 問題 5：用三角形法則求向量和的過程中要注意什么？——平移兩個(gè)向量使它們首尾順次 相連． 問題 6：還可以用什么方法求兩個(gè)向量的和呢？——向量加法的平行四邊形法則． 問題 7：平行四邊形法則有何特點(diǎn)？——平移兩個(gè)向量至共起點(diǎn)． 兩種方法求和的結(jié)果是一樣的，可見，向量加法的三角形法則與平行四邊形法則在本質(zhì) 上是一致的．在具體求和時(shí)，應(yīng)根據(jù)情況靈活地選擇． （三）嘗試運(yùn)用法則 試一試： 如圖，已知 a 、 b ，作出 a b b a a b a a b b 向量加法的三角形法則對共線向量的求和仍然是適用的，反映了三角形法則具有廣泛的 適用性． Ⅲ．類比猜想 探究性質(zhì) 問題 8：加法其實(shí)我們并不陌生，從小就開始學(xué)習(xí)數(shù)、字母、式的加法，實(shí)數(shù)的加法有哪 些運(yùn)算性質(zhì)？向量的加法是否也滿足類似的性質(zhì)？如果滿足，具體形式是什么？ 用心 愛心 專心 - 3 - 實(shí)數(shù)的加法 向量的加法 性 質(zhì)  a 0 a a 0 a a ( a) 0 a ( a) 0 a b b a a b b a (a b) c a (b c) (a b) c a (b c) 交換律的驗(yàn)證讓學(xué)生通過畫圖自己驗(yàn)證，結(jié)合律的驗(yàn)證師生借助于多媒體共同完成．研究結(jié)果表明：向量的加法也滿足交換律和結(jié)合律，這與數(shù)的加法是一致的．有了交換 律與結(jié)合律，向量的加法就可以按任意的組合與任意的次序進(jìn)行，從而豐富了向量加法的內(nèi)涵． Ⅳ．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用 深化認(rèn)識 A5 A4 例 1．如圖， O為正六邊形 A1A2A3A4A5A6 的中心，作出下列向量： （ 1） OA 1 OA 3 （2） OA3 A6 A5 （ 3） A2 A3 A6 A5 A6 O A3 （ 4） A1 A3 A4 A6 A3 A4（ 5） A1 A2 A2 A3 A3 A4 A4 A5 A5 A6 A1 A2 推廣 1： AA12 A2 A3 A3A4 An 1 An AA1n 推廣 2： AA A2 A3 A3 A4 An 1 An An A1 0 1 2 并以北京 08 奧運(yùn)圣火的傳遞提供了現(xiàn)實(shí)原型． 最后我們再回到這座宏偉壯觀的大橋來解決這樣一個(gè)實(shí)際問題： 例 2．已知橋是南北方向，受落潮影響，海水以 12.5km/h 的速度向東流，現(xiàn)有一艘工作 艇，在海面上航行檢查橋墩的狀況，已知艇的速度是 25km/h ，若艇要沿著與橋平行的方向由 用心 愛心 專心 - 4 - 南向北航行，則艇的航向如何確定？ D C D C 北 V 實(shí) V 船 V 實(shí) V 船 V 船 東 V 水 B V 水 A A B 圖 1 圖 2 分 析：首先將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化， 把三個(gè)速度分別用向量來表示： 如圖，設(shè) AB 表示水流速度， AD 表示游艇的速度， 那誰是游艇的實(shí)際速度？ AC ，三個(gè)向量應(yīng)滿足什么關(guān)系？ AC AB AD ． 解：如圖，設(shè) AB 表示水流速度， AD 表示游艇的速度， AC 表示游艇的實(shí)際速度，因?yàn)? AC AB AD ，所以四邊形 ABCD 為平行四邊形． 在 Rt ACD 中， ACD 900 | DC | | AB | 12.5 ， | AD | 25 ， 所以 CAD 300 答 若艇要沿著與橋平行的方向由南向北航行，其航向應(yīng)為北偏西 300 ． Ⅴ．回顧反思 拓展延伸 一、課時(shí)小結(jié)： 1、同學(xué)們想一想：本節(jié)課你有些什么收獲呢？ 知識內(nèi)容：向量加法的定義、二個(gè)運(yùn)算法則以及二個(gè)運(yùn)算律． 留給你印象最深的是什么？作為課堂的延伸，你課后還想作些什么探究？ 用心 愛心 專心 - 5 - 本節(jié)課我們從物理原型抽象出數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上去研究數(shù)學(xué)模型，最后應(yīng)用到生活 實(shí)踐中去．再一次告訴我們，數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活． 物理原型 數(shù)學(xué)模型 應(yīng)用模型 研究模型 2、馬克思說過：一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到完善的地步． 我們今天 所學(xué)習(xí)的向量的加法為研究物理的相關(guān)問題提供了一種數(shù)學(xué)工具，隨著對向量研究的逐步深 入，向量作為一種新的數(shù)學(xué)工具被越來越廣泛的應(yīng)用． 二、拓展延伸： （ 1）作業(yè)： P66 習(xí)題 2．2 的 1， 2， 3 （ 2）拓展探究： 請同學(xué)們課后完成下面的拓展探究題： 向量和的模與模的和之間有什么關(guān)系？ （ a, b 是任意兩個(gè)向量，則 a b 與 a b 之間有什么關(guān)系？ 并根據(jù)自己感興趣的話題進(jìn)行 拓展探究． 關(guān)于“向量的加法教案”的說明 數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動(dòng)，使學(xué) 生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊(yùn)涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史 足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)．這是新課程理念中特別強(qiáng)調(diào)的， 也是我備課過程始終如一的追求． 說明一：關(guān)于目標(biāo)定位 向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念，它是溝通代數(shù)、幾何、三角的一種工具．其 工具作用主要體現(xiàn)在向量的運(yùn)算方面．向量的加法運(yùn)算是向量運(yùn)算的基礎(chǔ)，它以位移的合成、 力的合成等物理模型為背景抽象出的一種數(shù)學(xué)運(yùn)算．在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中，對平面向量運(yùn)算的 總的要求是：了解向量豐富的實(shí)際背景，理解平面向量及其運(yùn)算的意義，發(fā)展運(yùn)算能力． 對 本節(jié)內(nèi)容的具體要求是通過實(shí)例，掌握向量加法的運(yùn)算，并理解其幾何意義．根據(jù)課標(biāo)的要 求結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，確定了本節(jié)課的多元化教學(xué)目標(biāo)（詳見教案） ． 說明二：關(guān)于地位作用 向量的加法不同于數(shù)的加法， 運(yùn)算中包含大小與方向兩個(gè)方面， 向量加法的法則–––– 圖上作業(yè)法，是一種全新的數(shù)學(xué)技術(shù)，從這個(gè)角度來看，研究向量加法是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的 一種突破．但在“新”中又有“舊” ，一方面，在物理中學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了力、位移等矢量的合 用心 愛心 專心 - 6 - 成，并且通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生已掌握了向量的相關(guān)概念及表示方法，知道向量可以自由移動(dòng)的；另一方面，數(shù)的加法運(yùn)算為向量的加法運(yùn)算提供了可類比的對象，這些都是學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)． 向量的加法運(yùn)算是繼實(shí)數(shù)運(yùn)算、集合運(yùn)算之后，學(xué)生學(xué)習(xí)的另一種形式的運(yùn)算，是學(xué)習(xí)向量的減法、數(shù)乘以及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算等內(nèi)容的知識基礎(chǔ)，為進(jìn)一步理解其他的數(shù)學(xué)運(yùn)算（如函數(shù)、映射、變換、矩陣的運(yùn)算等等）創(chuàng)造了條件，起著承上啟下的作用，并加強(qiáng)了代數(shù)、幾何、三角的聯(lián)系，體現(xiàn)了近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些重要思想．同時(shí)，向量還是重要的物理模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理的完美結(jié)合，為解決實(shí)際問題提供了有效的工具． 說明三：關(guān)于學(xué)情診斷 本節(jié)內(nèi)容總體來說比較簡單，學(xué)生理解接受的難度也不大．因?yàn)閷W(xué)生在物理中已經(jīng)認(rèn)識了矢量與標(biāo)量的區(qū)別，在生活中對位移與路程也有了一定的體驗(yàn)．所以對數(shù)學(xué)中向量與數(shù)量的概念是比較容易理解接受的．并能夠從物理的矢量合成中去感受向量的加法的含義，總結(jié)出向量加法的三角形法則和平行四邊形法則．通過與數(shù)的加法的類比，學(xué)生也能夠較容易的猜想出向量加法的交換律與結(jié)合律． 但是由于學(xué)生對向量的理解還沒有根深蒂固，會有部分學(xué)生忽略零向量與數(shù)零的區(qū)別，以及向量的表示不是很規(guī)范．有些學(xué)生對向量加法法則的運(yùn)用還停留機(jī)械模仿的水平，表現(xiàn)在平移向量時(shí)，不能夠根據(jù)情況靈活地選擇起點(diǎn)．對交換律與結(jié)合律的驗(yàn)證，學(xué)生也存在一定的誤區(qū)，在具體操作過程中，他們往往不能在同一個(gè)圖形中來研究這個(gè)問題，這就給說明兩個(gè)向量的相等帶來了困難．對向量式的化簡過程中，對交換律、結(jié)合律運(yùn)用不夠靈活，不善于抓住向量式的特點(diǎn)來解決問題．這些都需要教師在課堂教學(xué)過程中具備靈活的教學(xué)機(jī)智，給學(xué)生以適時(shí)的點(diǎn)撥與提醒． 說明四：關(guān)于教法設(shè)計(jì) 基于以上對教材內(nèi)容的認(rèn)識和學(xué)生客觀情況的分析，結(jié)合新課標(biāo)的教學(xué)理念，本課主要 采用“啟發(fā)探究式”教學(xué)法， 遵循由具體到抽象、由特殊到一般的原則．并結(jié)合多媒體手段， 為學(xué)生營造一個(gè)充滿著觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、猜想的可“再創(chuàng)造”環(huán)境，使其能夠充分實(shí)現(xiàn)自 主探究、合作交流，生動(dòng)活潑地獲取知識．具體表現(xiàn)為如下幾個(gè)方面： （ 1）講背景、重過程、強(qiáng)調(diào)本質(zhì) 本課開始從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和物理知識出發(fā)，以杭州灣大橋?yàn)楸尘皠?chuàng)設(shè)問題情境， 從而讓學(xué)生在位移合成、力的合成的基礎(chǔ)之上，抽象出向量加法的概念，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生總結(jié) 出向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，以及各自的操作方法與要領(lǐng)，使學(xué)生體會到向 用心 愛心 專心 - 7 - 量加法的實(shí)際背景，經(jīng)歷了概念形成的過程，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過程教學(xué)” ． （ 2）講方法、重能力、滲透思想 向量加法運(yùn)算律的教學(xué)，是引導(dǎo)學(xué)生通過與數(shù)的加法進(jìn)行類比得到的，并讓學(xué)生自主探 索，構(gòu)圖進(jìn)行驗(yàn)證．這樣不僅體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，同時(shí)還培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)的探究能力，歸納推理能力，滲透了數(shù)形結(jié)合、類比等思想． （ 3）設(shè)計(jì)問題、加強(qiáng)聯(lián)系、關(guān)注學(xué)生的發(fā)展 教學(xué)中采用了“以問題為中心”的討論式教學(xué)模式．把問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，精心設(shè) 計(jì)問題情境，組織相關(guān)的數(shù)學(xué)成分，加強(qiáng)相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系，使問題處于學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，以此激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲．并能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力． 總體來說，本課圍繞學(xué)生的發(fā)展進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，使問題貫穿始終，思想貫穿始終，探究貫穿始終，聯(lián)系，發(fā)展貫穿始終．學(xué)生在老師的啟發(fā)下發(fā)現(xiàn)當(dāng)前所面臨的問題，成為探究活動(dòng)的主線，沿著這條主線帶領(lǐng)學(xué)生找區(qū)別、找聯(lián)系．關(guān)注學(xué)生的成長發(fā)展的全過程，使他們在過程中形成能力，在過程中掌握方法，在過程中發(fā)展基本數(shù)學(xué)能力，在過程中培養(yǎng)健康向上的情感、態(tài)度和價(jià)值觀． 通過本節(jié)課教學(xué)，可使不同層次的學(xué)生都能掌握給定任意兩個(gè)向量求和的基本方法，能夠視具體情況靈活地作出兩個(gè)或者多個(gè)向量的和；能運(yùn)用向量加法的交換律和結(jié)合律解決向量式的化簡和計(jì)算問題；并能運(yùn)用向量的加法法則解決了一些實(shí)際問題． 用心 愛心 專心 - 8 -