向量的加法一 教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：理解向量加法的含義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩個向量的和；掌握向量加法的交換律與結(jié)合律，并會用它們進(jìn)行向量運(yùn)算能力目標(biāo)：經(jīng)歷向量加法概念、法則的建構(gòu)過程，感受和體會將實際問題抽象為數(shù)學(xué)概念的過程和思想，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力情感目標(biāo)：經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)描述和刻畫現(xiàn)實世界的過程，體驗探索的樂趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、創(chuàng)新的個性品質(zhì)二重點難點重點：向量加法運(yùn)算的意義和法則難點：向量加法法則的理解三 教學(xué)方法采用“啟發(fā)探究”式教學(xué)方法，結(jié)合多媒體輔助教學(xué)四教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境直觀感知OAB用心愛心專心- 1 -O塔柱斜拉索F 1F 2梁斜拉橋示意圖F以杭州灣大橋為整體背景，設(shè)計兩個問題情境如下：問題： 建橋之前如何從嘉興到達(dá)寧波？建橋之后可以從嘉興直達(dá)寧波，此時的位移與前面兩次位移的結(jié)果有何關(guān)系？兩次位移的結(jié)果可稱為兩次位移的和，如何用等式來刻畫這三個位移的關(guān)系？問題 2：這是大橋南端的 A 型獨塔斜拉橋，其中兩根拉索對塔柱的拉力分別為F1 、 F2 ，則它們對塔柱的共同作用效果如何？合力F 可稱為力 F 與 F的和，如何用等式來刻畫這三個12力的關(guān)系？力與位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它們的物理屬性，就是數(shù)學(xué)中的向量它們的和也就可以抽象成向量與向量之間的一種運(yùn)算向量的加法（引出課題）抽象概括形成定義（一）建立數(shù)學(xué)模型若記OA a, AB b 則向量 OB 叫做向量 a 與 b 的和，記為 a bOA ABOB 問題3：如圖所示的三個向量，你們能給出它們所滿足的等式嗎？ABBO AO ，即向量 AO 為向量 AB 與 BO 的和OOAABB（二）抽象數(shù)學(xué)概念問題 4：由此，你們能概括出一般的兩個向量a 與 b 和的定義嗎？用心愛心專心- 2 -學(xué)生活動： 在平面內(nèi)任取一點O，平移 a 使其起點為點O，平移 b 使其起點與a 向量的終點重合，再連接向量a 的起點與向量b 的終點（ 1）平移的目的是什么？平移后使得兩個向量能在同一個三角形中；（ 2）平移后兩個向量的終點與起點有何關(guān)系？使得第二個向量的終點與第一個向量的起點重合；（ 3）和向量又是什么？連接向量a 的起點與向量 b 的終點，并指向 b 的終點，得到的向量 OB 即為向量 a 與 b 的和；（ 4）借助于幾何直觀，用自然簡潔的語言給出兩個向量和的定義和的定義：已知向量 a,b ，在平面內(nèi)任取一點 O，作 OA aAB , b，則向量 OB 叫做向量 a,b的和記作： a b 即 a b OA ABOB 向量的加法的定義：求兩個向量和的運(yùn)算叫做向量的加法向量加法的法則：和的定義給出了求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則問題 5：用三角形法則求向量和的過程中要注意什么？平移兩個向量使它們首尾順次相連問題 6：還可以用什么方法求兩個向量的和呢？向量加法的平行四邊形法則問題 7：平行四邊形法則有何特點？平移兩個向量至共起點兩種方法求和的結(jié)果是一樣的，可見，向量加法的三角形法則與平行四邊形法則在本質(zhì)上是一致的在具體求和時，應(yīng)根據(jù)情況靈活地選擇（三）嘗試運(yùn)用法則試一試： 如圖，已知 a 、 b ，作出 abbaabaabb向量加法的三角形法則對共線向量的求和仍然是適用的，反映了三角形法則具有廣泛的適用性類比猜想探究性質(zhì)問題 8：加法其實我們并不陌生，從小就開始學(xué)習(xí)數(shù)、字母、式的加法，實數(shù)的加法有哪些運(yùn)算性質(zhì)？向量的加法是否也滿足類似的性質(zhì)？如果滿足，具體形式是什么？用心愛心專心- 3 -實數(shù)的加法向量的加法性質(zhì)a0aa0aa(a)0a(a)0abbaabba(a b)ca(b c)(a b)ca(b c)交換律的驗證讓學(xué)生通過畫圖自己驗證，結(jié)合律的驗證師生借助于多媒體共同完成研究結(jié)果表明：向量的加法也滿足交換律和結(jié)合律，這與數(shù)的加法是一致的有了交換律與結(jié)合律，向量的加法就可以按任意的組合與任意的次序進(jìn)行，從而豐富了向量加法的內(nèi)涵數(shù)學(xué)運(yùn)用深化認(rèn)識A5A4例 1如圖， O為正六邊形A1A2A3A4A5A6 的中心，作出下列向量：（ 1） OA 1OA 3（2） OA3 A6 A5（ 3） A2 A3 A6 A5A6OA3（ 4） A1 A3A4 A6A3 A4（ 5） A1 A2A2 A3 A3 A4 A4 A5A5 A6A1A2推廣 1： AA12 A2 A3A3A4An 1 AnAA1n推廣 2：AA A2 A3A3 A4An 1 AnAn A1 01 2并以北京08 奧運(yùn)圣火的傳遞提供了現(xiàn)實原型最后我們再回到這座宏偉壯觀的大橋來解決這樣一個實際問題：例 2已知橋是南北方向，受落潮影響，海水以12.5km/h 的速度向東流，現(xiàn)有一艘工作艇，在海面上航行檢查橋墩的狀況，已知艇的速度是25km/h ，若艇要沿著與橋平行的方向由用心愛心專心- 4 -南向北航行，則艇的航向如何確定？DCDC北V 實V 船V 實V 船V 船東V 水BV 水AAB圖 1圖2分析：首先將實際問題數(shù)學(xué)化，把三個速度分別用向量來表示：如圖，設(shè) AB 表示水流速度，AD表示游艇的速度， 那誰是游艇的實際速度？AC ，三個向量應(yīng)滿足什么關(guān)系？ACABAD 解：如圖，設(shè)AB 表示水流速度，AD 表示游艇的速度，AC 表示游艇的實際速度，因為ACABAD ，所以四邊形ABCD 為平行四邊形在 Rt ACD 中，ACD900| DC | | AB | 12.5 ， | AD |25 ，所以CAD300答 若艇要沿著與橋平行的方向由南向北航行，其航向應(yīng)為北偏西300 回顧反思拓展延伸一、課時小結(jié)：1、同學(xué)們想一想：本節(jié)課你有些什么收獲呢？知識內(nèi)容：向量加法的定義、二個運(yùn)算法則以及二個運(yùn)算律留給你印象最深的是什么？作為課堂的延伸，你課后還想作些什么探究？用心愛心專心- 5 -本節(jié)課我們從物理原型抽象出數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上去研究數(shù)學(xué)模型，最后應(yīng)用到生活實踐中去再一次告訴我們，數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活物理原型數(shù)學(xué)模型應(yīng)用模型研究模型2、馬克思說過：一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時，才算達(dá)到完善的地步我們今天所學(xué)習(xí)的向量的加法為研究物理的相關(guān)問題提供了一種數(shù)學(xué)工具，隨著對向量研究的逐步深入，向量作為一種新的數(shù)學(xué)工具被越來越廣泛的應(yīng)用二、拓展延伸：（ 1）作業(yè)： P66 習(xí)題 22 的 1， 2， 3（ 2）拓展探究： 請同學(xué)們課后完成下面的拓展探究題： 向量和的模與模的和之間有什么關(guān)系？（ a, b 是任意兩個向量，則ab 與 ab 之間有什么關(guān)系？并根據(jù)自己感興趣的話題進(jìn)行拓展探究關(guān)于“向量的加法教案”的說明數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊(yùn)涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)這是新課程理念中特別強(qiáng)調(diào)的，也是我備課過程始終如一的追求說明一：關(guān)于目標(biāo)定位向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念，它是溝通代數(shù)、幾何、三角的一種工具其工具作用主要體現(xiàn)在向量的運(yùn)算方面向量的加法運(yùn)算是向量運(yùn)算的基礎(chǔ)，它以位移的合成、力的合成等物理模型為背景抽象出的一種數(shù)學(xué)運(yùn)算在課程標(biāo)準(zhǔn)中，對平面向量運(yùn)算的總的要求是：了解向量豐富的實際背景，理解平面向量及其運(yùn)算的意義，發(fā)展運(yùn)算能力對本節(jié)內(nèi)容的具體要求是通過實例，掌握向量加法的運(yùn)算，并理解其幾何意義根據(jù)課標(biāo)的要求結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點，確定了本節(jié)課的多元化教學(xué)目標(biāo)（詳見教案）說明二：關(guān)于地位作用向量的加法不同于數(shù)的加法，運(yùn)算中包含大小與方向兩個方面，向量加法的法則圖上作業(yè)法，是一種全新的數(shù)學(xué)技術(shù)，從這個角度來看，研究向量加法是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的一種突破但在“新”中又有“舊”，一方面，在物理中學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了力、位移等矢量的合用心愛心專心- 6 -成，并且通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生已掌握了向量的相關(guān)概念及表示方法，知道向量可以自由移動的；另一方面，數(shù)的加法運(yùn)算為向量的加法運(yùn)算提供了可類比的對象，這些都是學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)向量的加法運(yùn)算是繼實數(shù)運(yùn)算、集合運(yùn)算之后，學(xué)生學(xué)習(xí)的另一種形式的運(yùn)算，是學(xué)習(xí)向量的減法、數(shù)乘以及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算等內(nèi)容的知識基礎(chǔ)，為進(jìn)一步理解其他的數(shù)學(xué)運(yùn)算（如函數(shù)、映射、變換、矩陣的運(yùn)算等等）創(chuàng)造了條件，起著承上啟下的作用，并加強(qiáng)了代數(shù)、幾何、三角的聯(lián)系，體現(xiàn)了近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些重要思想同時，向量還是重要的物理模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理的完美結(jié)合，為解決實際問題提供了有效的工具說明三：關(guān)于學(xué)情診斷本節(jié)內(nèi)容總體來說比較簡單，學(xué)生理解接受的難度也不大因為學(xué)生在物理中已經(jīng)認(rèn)識了矢量與標(biāo)量的區(qū)別，在生活中對位移與路程也有了一定的體驗所以對數(shù)學(xué)中向量與數(shù)量的概念是比較容易理解接受的并能夠從物理的矢量合成中去感受向量的加法的含義，總結(jié)出向量加法的三角形法則和平行四邊形法則通過與數(shù)的加法的類比，學(xué)生也能夠較容易的猜想出向量加法的交換律與結(jié)合律但是由于學(xué)生對向量的理解還沒有根深蒂固，會有部分學(xué)生忽略零向量與數(shù)零的區(qū)別，以及向量的表示不是很規(guī)范有些學(xué)生對向量加法法則的運(yùn)用還停留機(jī)械模仿的水平，表現(xiàn)在平移向量時，不能夠根據(jù)情況靈活地選擇起點對交換律與結(jié)合律的驗證，學(xué)生也存在一定的誤區(qū)，在具體操作過程中，他們往往不能在同一個圖形中來研究這個問題，這就給說明兩個向量的相等帶來了困難對向量式的化簡過程中，對交換律、結(jié)合律運(yùn)用不夠靈活，不善于抓住向量式的特點來解決問題這些都需要教師在課堂教學(xué)過程中具備靈活的教學(xué)機(jī)智，給學(xué)生以適時的點撥與提醒說明四：關(guān)于教法設(shè)計基于以上對教材內(nèi)容的認(rèn)識和學(xué)生客觀情況的分析，結(jié)合新課標(biāo)的教學(xué)理念，本課主要采用“啟發(fā)探究式”教學(xué)法，遵循由具體到抽象、由特殊到一般的原則并結(jié)合多媒體手段，為學(xué)生營造一個充滿著觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、猜想的可“再創(chuàng)造”環(huán)境，使其能夠充分實現(xiàn)自主探究、合作交流，生動活潑地獲取知識具體表現(xiàn)為如下幾個方面：（ 1）講背景、重過程、強(qiáng)調(diào)本質(zhì)本課開始從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和物理知識出發(fā)，以杭州灣大橋為背景創(chuàng)設(shè)問題情境，從而讓學(xué)生在位移合成、力的合成的基礎(chǔ)之上，抽象出向量加法的概念，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，以及各自的操作方法與要領(lǐng)，使學(xué)生體會到向用心愛心專心- 7 -量加法的實際背景，經(jīng)歷了概念形成的過程，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的過程教學(xué)” （ 2）講方法、重能力、滲透思想向量加法運(yùn)算律的教學(xué)，是引導(dǎo)學(xué)生通過與數(shù)的加法進(jìn)行類比得到的，并讓學(xué)生自主探索，構(gòu)圖進(jìn)行驗證這樣不僅體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，同時還培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)的探究能力，歸納推理能力，滲透了數(shù)形結(jié)合、類比等思想（ 3）設(shè)計問題、加強(qiáng)聯(lián)系、關(guān)注學(xué)生的發(fā)展教學(xué)中采用了“以問題為中心”的討論式教學(xué)模式把問題作為教學(xué)的出發(fā)點，精心設(shè)計問題情境，組織相關(guān)的數(shù)學(xué)成分，加強(qiáng)相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系，使問題處于學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，以此激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲并能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力總體來說，本課圍繞學(xué)生的發(fā)展進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，使問題貫穿始終，思想貫穿始終，探究貫穿始終，聯(lián)系，發(fā)展貫穿始終學(xué)生在老師的啟發(fā)下發(fā)現(xiàn)當(dāng)前所面臨的問題，成為探究活動的主線，沿著這條主線帶領(lǐng)學(xué)生找區(qū)別、找聯(lián)系關(guān)注學(xué)生的成長發(fā)展的全過程，使他們在過程中形成能力，在過程中掌握方法，在過程中發(fā)展基本數(shù)學(xué)能力，在過程中培養(yǎng)健康向上的情感、態(tài)度和價值觀通過本節(jié)課教學(xué)，可使不同層次的學(xué)生都能掌握給定任意兩個向量求和的基本方法，能夠視具體情況靈活地作出兩個或者多個向量的和；能運(yùn)用向量加法的交換律和結(jié)合律解決向量式的化簡和計算問題；并能運(yùn)用向量的加法法則解決了一些實際問題用心愛心專心- 8 -