向量的應(yīng)用知識梳理理解向量的幾何、代數(shù)、三角及物理方面的應(yīng)用，能將當(dāng)前的問題轉(zhuǎn)化為可用向量解決的問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和應(yīng)用能力.特別提示許多代數(shù)、 幾何中的問題都可以轉(zhuǎn)化為向量來處理.它不僅能解決數(shù)學(xué)學(xué)科本身的問題，跨學(xué)科應(yīng)用也是它的一個(gè)特點(diǎn) .點(diǎn)擊雙基1.若 O 是 ABC 內(nèi)一點(diǎn)， OA + OB + OC =0，則 O 是 ABC 的A. 內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心解析：以 OB 、 OC 為鄰邊作平行四邊形OBDC ，則 OD = OB + OC .AOBECD又 OA + OB + OC =0， OB + OC = OA . OA = OD . O 為 AD 的中點(diǎn)，且 A、 O、D 共線 .又 E 為 OD 的中點(diǎn)， O 是中線 AE 的三等分點(diǎn)，且 OA= 2AE.3 O 是 ABC 的重心 .答案： D2.將橢圓 x2+6y2 2x 12y 13=0 按向量 a 平移，使中心與原點(diǎn)重合，則a 的坐標(biāo)是A. （ 1， 1）B. （ 1， 1）C.（ 1， 1）D. （1， 1）解析：橢圓方程變形為（x 1） 2+6（y 1） 2=20.需按 a=（ 1， 1）平移，中心與原點(diǎn)重合 .答案： C3.平面直角坐標(biāo)系中，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（ 3， 1）、 B（ 1， 3），若點(diǎn) C 滿足 OC = OA + OB ，其中 、 R，且 +=1，則點(diǎn) C 的軌跡方程為A.3x+2y 11=0B. （ x 1） 2+（ y2） 2=5C.2x y=0D. x+2y 5=0解析： C 點(diǎn)滿足 OC = OA + OB 且 + =1 ， A、B、 C 三點(diǎn)共線 .C 點(diǎn)的軌跡是用心愛心專心1直線 AB.答案： D4.在四邊形ABCD 中， AB BC =0， BC = AD ，則四邊形ABCD 是A. 直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析：由 AB BC =0 知 AB BC .由 BC = AD 知 BCAD.四邊形 ABCD 是矩形 .答案： C5.（ 2004 年全國，理9）已知平面上直線l 的方向向量 e=（ 4， 3 ），點(diǎn) O（ 0，0）55和 A（ 1， 2）在 l 上的射影分別是 O 和 A，則 O A = e，其中 等于A. 11B. 11C.2D. 255解析：如圖所示，令e 過原點(diǎn)， O A 與 e 方向相反，排除A 、C，驗(yàn)證 D 即可 .yOOAxA答案： D典例剖析【例 1】 已知 a、 b 是兩個(gè)非零向量，當(dāng)a+tb（ t R）的模取最小值時(shí)，（ 1）求 t 的值；（ 2）求證： b（ a+tb） .剖析：利用 |a+tb|2=（ a+tb） 2 進(jìn)行轉(zhuǎn)換，可討論有關(guān)|a+tb|的最小值問題，若能計(jì)算得b（ a+tb） =0 ，則證得了 b（ a+tb）.（ 1）解：設(shè) a 與 b 的夾角為 ，則222 2 22 2 22（ t+| a |22 2|a+tb| =（ a+tb） =|a| +t |b| +2a（ tb）=|a| +t |b| +2t|a|b|cos=|b| b |cos ） +|a| sin，所以當(dāng) t= |a | cos = | a | b | cos= a b 時(shí)， |a+tb|有最小值 .| b | b |2| b |2（ 2）證明：因?yàn)?b（ a+tb）=b（ a a b b）=ab ab=0，所以 b（ a tb）.| b |2評注：用向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直等幾何問題，向量的坐標(biāo)運(yùn)算為處理這類問題帶來了很大的方便 .思考討論對 |a+tb|的變形，有兩種基本的思考方法：一是通過|a+tb|2=（ a+tb）2 進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算；二是設(shè) a、b 的坐標(biāo)，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行有目的的變形.讀者可嘗試用后一方法解答本題 .深化拓展用心愛心專心2已知 OA =a， OB =b， a b=|ab|=2，當(dāng) AOB 面積取最大值時(shí)，求a 與 b 的夾角 .解：因?yàn)?|a b|2=4 ，所以 a2 2a b+b2=4.所以 |a|2+|b|2=4+2 a b=8， AOB1OAOBsinS=2=1|a|b|1cos 22=1| a |2| b |222（a b）= 1| a |2 | b |2421（| a |2| b |2222） 4 = 3 ，（當(dāng)且僅當(dāng) |a|=|b|=2 時(shí)取等號）所以當(dāng) |a|=|b|=2 時(shí)， AOB 的面積取最大值，這時(shí)，cos = a b=2=1 ，所以| a |b |222 =60 .【例 2】 如圖，四邊形 MNPQ 是 C 的內(nèi)接梯形， C 是圓心， C 在 MN 上，向量 CM 與PN 的夾角為120， QC QM =2.QPMNC（ 1）求 C 的方程；（ 2）求以 M、 N 為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P、 Q 的橢圓的方程.剖析：需先建立直角坐標(biāo)系，為了使所求方程簡單，需以C 為原點(diǎn)， MN 所在直線為x軸，求 C 的方程時(shí)，只要求半徑即可，求橢圓的方程時(shí)，只需求a、 b 即可 .解：（ 1）以 MN 所在直線為x 軸， C 為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系xOy. CM 與 PN 的夾角為 120，故 QCM =60 .于是 QCM 為正三角形，CQM =60 .又 QC QM =2 ，即 | QC | QM |cos CQM =2 ，于是 r =| QC |=2.故 C 的方程為x2+y2=4.（ 2）依題意 2c=4， 2a=|QN|+|QM|，而 |QN|=4 22 2 =23 ， |QM|=2，于是 a=3 +1 ，b2 =a2c2=23 .所求橢圓的方程為x2y223+=1.423用心愛心專心3評述：平面向量在解析幾何中的應(yīng)用越來越廣，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起重視.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.（2004 年遼寧， 6）已知點(diǎn) A（ 2，0），B（ 3，0），動點(diǎn) P（ x，y）滿足 PA PB =x2，則點(diǎn) P 的軌跡是A. 圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線解析： PA =（ 2 x， y）， PB =（ 3 x， y）， PA PB =（ 2 x）（ 3 x）+（ y） 2=x2，整理得 y2=x+6. P 點(diǎn)的軌跡為拋物線 .答案： D2.臺風(fēng)中心從 A 地以 20 km/h 的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30 km 內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市 B 在 A 的正東 40 km 處， B 城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h解析：臺風(fēng)中心移動 t h，城市 B 處在危險(xiǎn)區(qū)， 則（20t）2+402 2 20t 40cos45 900. 2 1 t2 + 1.B 城市處在危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間為1 h.22答案： B3.在一座 20 m 高的觀測臺頂測得地面一水塔塔頂仰角為60， 塔底俯角為 45，那么這座塔的高為 _.解析：如圖， AD=DC=20. BD=ADtan60=203 .BoA60D45o2 0mC塔高為 20（ 1+3 ） m.答案： 20（ 1+3 ） m4.有一兩岸平行的河流，水速為1，小船的速度為2 ，為使所走路程最短，小船應(yīng)朝_方向行駛 .解析：如下圖，為使小船所走路程最短， v 水+v 船應(yīng)與岸垂直 .又 v 水 = AB =1，v 船 = AC =2 ，ADC =90 ， CAD=45 .CD21AB答案：與水速成135角的5.如圖， ABC 的 BC 邊的中點(diǎn)為M，利用向量證明：AB2+AC2=2（ AM2+ BM2） .用心愛心專心4ABMC證明：設(shè) AM =m， AB =b， AC =c，則 m= bc ， m m= b c bc22212112=b +2b c+ c44= 1 AB 2+ 1 AC 2+ 1 ABAC cos BAC442= 1 AB 2+ 1 AC 2+ 1 ABAC AB 2AC 2BC 24422AB AC= 1 AB 2+ 1 AC 2+ 1 （ AB2+AC 2 BC2） .444 AM2= 1 AB2+ 1 AC 2 1 BC2.224又 BC2=4BM 2，2222 AB +AC =2（ AM +BM ） .6.如圖，用兩根繩子把重 10 N 的物體 W 吊在水平桿子 AB 上.ACW=150，BCW=120，求 A 和 B 處所受力的大小 .（忽略繩子重量）ABCFEW解：設(shè) A、 B 處所受力分別為f1、 f2， 10 N 的重力用 f 表示，則 f1+f2=f.以重力作用點(diǎn) C為 f1、 f2 的始點(diǎn)，作平行四邊形CFWE ，使 CW 為對角線，則 CF =f1， CE =f2， CW =f，則 ECW=180 150 =30 ， FCW=180 120 =60， FCE =90 .四邊形 CEWF 為矩形 . |CE |=|CW |cos30=10 3=5 3 ，2 CF =| CN |cos60 =10 1 =5. 2 A 處受力為53N， B 處受力為 5 N.培養(yǎng)能力7.已知 A（ 4， 0）， N（ 1， 0），若點(diǎn) P 滿足 AN AP =6| PN |.（ 1）求點(diǎn) P 的軌跡方程，并說明該軌跡是什么曲線；（ 2）求 | PN |的取值范圍；用心愛心專心5（ 3）若 M（ 1， 0），求 MPN 在 0， 上的取值范圍.解：（ 1）設(shè) P（ x， y）， AP =（ x 4， y）， PN =（ 1 x， y）， AN =（ 3， 0）， AN AP =6| PN |， 3（ x 4） =6 （12222x） （y） ，即 3x +4y=12. x2y2=1. P 點(diǎn)的軌跡是以（1， 0）、（1， 0）為焦點(diǎn)，長軸長為4 的橢圓 .4 3（ 2）N（ 1，0）為橢圓的右焦點(diǎn)， x=4 為右準(zhǔn)線，設(shè) P（x0，y0）， P 到右準(zhǔn)線的距離為 d， d=4x，| PN |1 ，|PN|=14 x0 2， 1 |PN| 3.0=e=2d=2. 2 x0d2當(dāng) |PN|=1 時(shí)， P（ 2， 0）；當(dāng) |PN |=3 時(shí)， P（ 2， 0） .（ 3）令 |PN|=t （ 1t 3），則 |PM |=4t ， |MN |=2，| PN |2| PM |2| MN |2cos MPN =2 | PN | PM |t2（426t ） 4.2t（4= 1+t）t（4t）由 1 t 3，得 3 t（ 4 t ） 4， 1 cos MPN 1. 0 MPN .238.如圖，已知 ABC 的頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為 A（ 1，0）， B（ 5， 8）， C（7， 4），在邊 AB 上有一點(diǎn) P，其橫坐標(biāo)為 4，在 AC 上求一點(diǎn) Q，使線段 PQ 把 ABC 分成面積相等的兩部分 .yBPO AxQC解：設(shè) P 分 AB 的比為 1，則151 1=3，4=11即 | AP | =3， | AB | = 4 .| PB | AP |3又 S SABCAPQ1| AB | AC | sinBAC21| AP | AQ | sinBAC2用心愛心專心6= | AB | | AC | = 2 ，| AP | AQ |1 | AC | = 3 ，即 | AQ | =2.| AQ |2| QC |AQ17 2，設(shè) 2=，則 2=2. xQ =5QC24 2yQ =12探究創(chuàng)新= 8 . Q（5， 8 ） .339.如下圖，已知 OFQ 的面積為 S，且 OF 與 FQ 的數(shù)量積等于1，QOF（ 1）若 1 S 2，求向量 OF 與 FQ 的夾角 的取值范圍；2（ 2）設(shè) | OF |=c（ c2）， S=3 c，若以 O 為中心， F 為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)Q，當(dāng) |OQ |4取得最小值時(shí)，求此橢圓的方程 .1|OF|FQ（） S解：（ 1） 2| sintan =2S.又1 S 2，| OF | FQ | cos2 1 tan 4. arctan4.4（ 2）以 O 為原點(diǎn)， OF 所在直線為x 軸建立坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為x2y2a2+ b 2=1（ a b 0），點(diǎn) Q（ x1， y1），則 FQ =（ x1 c， y1） .又 OFQ 的面積為1 | OF | y1= 3 c，24 y1= 3 .又由 OF FQ =1，解得 x1=c+ 1 .2c22129| OQ |= x1y1 = （ c）（ c 2） .c4設(shè) f（ c） =c+ 1 ，則 f（ c） =1 1c 21cc 2=c2.用心愛心專心7當(dāng) c 2 時(shí)， f（c） 0， f（ c）在 2，）上遞增，當(dāng)c=2 時(shí)， | OQ |最小，此時(shí) Q（ 5 ， 3 ），由此可得2225914b 24b 2a2=10， b2=6.a 2b24橢圓方程為x2y 210=1.6思悟小結(jié)向量兼具代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀，向量本身是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，因此在向量的復(fù)習(xí)中要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合.應(yīng)用向量可以解決平面幾何中的一些問題，在物理和工程技術(shù)中應(yīng)用也很廣泛.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛教材中安排了解三角形應(yīng)用舉例和實(shí)習(xí)作業(yè)，根據(jù)新教材突出應(yīng)用這一顯著特點(diǎn)，教學(xué)中應(yīng)充分利用這些素材，使學(xué)生受到把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的訓(xùn)練，滲透數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決實(shí)際問題的能力.拓展題例【例 1】 已知 a=（ 1 x2， x）， b=（ x， x 3）， x 4， 4.3（ 1）求 f（x） =a b 的表達(dá)式；（ 2）求 f（x）的最小值，并求此時(shí)a 與 b 的夾角 .解：（ 1） f（ x） =ab= 1 x2 x+x（ x3） = 1 x3+x2 3x， x 4，4 .33（ 2） f （ x） =x2+2 x 3=（ x+3）（ x 1） .列表：x4（ 4， 3）3（ 3，1）1（1，4）4f （ x）+00+f （x）20極大值 9576極小值333故當(dāng) x=1 時(shí)， f（ x）有最小值為5.3此時(shí) a=（ 1 ， 1）， b=（ 1， 2） .3設(shè) 為 a 與 b 的夾角，則 cos =a b2=.| a | b |2又由 0， ，得 = 3.4【例2】 如圖所示，對于同一高度（足夠高）的兩個(gè)定滑輪，用一條（足夠長）繩子跨過它們，并在兩端分別掛有4 kg 和 2 kg 的物體，另在兩個(gè)滑輪中間的一段繩子懸掛另一物體，為使系統(tǒng)保持平衡狀態(tài)，此物體的質(zhì)量應(yīng)是多少?（忽略滑輪半徑、繩子的重量）用心愛心專心8F1F24 k g2 kgm kg分析：先進(jìn)行受力分析，列出平衡方程，然后用數(shù)學(xué)方法求解.解：設(shè)所求物體質(zhì)量為m kg 時(shí)，系統(tǒng)保持平衡，再設(shè)F 1 與豎直方向的夾角為 1， F 2與豎直方向的夾角為 2，則有4 g sin4 g cos112g sin，2g cosmg，（其中 g 為重力加速度）.由式和式消去 2，得2即 m=4cos 1 2 4 cos213 . cos 2 0，由式知，式中 m=4cos 1 24 cos21 3 不合題意，舍去 .又 4cos2 1 3 0，解得3 cos 1 1.2經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng) cos 1=3 時(shí)， cos2 =0，不合題意，舍去 .2 2 3 m 6.綜上，所求物體的質(zhì)量在23 kg 到 6 kg 之間變動時(shí)，系統(tǒng)可保持平衡 .評注：（ 1） m 的范圍是通過函數(shù)y=4x+2 4x23 的單調(diào)性求得的 .（ 2）實(shí)際問題的處理要注意變量的實(shí)際意義，本題容易忽略cos 2 0的實(shí)際限制 .用心愛心專心9