學(xué)習(xí)總結(jié)：中考幾何題證明思路總結(jié) 幾何證明題重點(diǎn)考察的是學(xué)生的邏輯思維能力， 能通過(guò)嚴(yán)密的因 為、 所以邏輯將條件一步步轉(zhuǎn)化為所要證明的結(jié)論。 這類(lèi)題目出 法相當(dāng)靈活， 不像代數(shù)計(jì)算類(lèi)題目容易總結(jié)出固定題型的固定解 法，而更看重的是對(duì)重要模型的總結(jié)、常見(jiàn)思路的總結(jié)。所以本 文對(duì)中考中最常出現(xiàn)的若干結(jié)論做了一個(gè)較為全面的思路總結(jié)。 一、證明兩線段相等 1. 兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等。 2. 同一三角形中等角對(duì)等邊。 3. 等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。 4. 平行四邊形的對(duì)邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。 5. 直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。 6. 線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。 7. 角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。 8. 過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成 的線段相等。 9. 同圓（或等圓）中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓 心角、圓周角所對(duì)的弦相等。 10. 圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長(zhǎng)相等或圓內(nèi)垂直于直徑 的弦被直徑分成的兩段相等。 11. 兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)） 相等。 12. 兩圓的內(nèi)（外）公切線的長(zhǎng)相等。 13. 等于同一線段的兩條線段相等。 二、證明兩角相等 1. 兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。 2. 同一三角形中等邊對(duì)等角。 3. 等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。 4. 兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等。 5. 同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。 6. 同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎?duì)的圓心角相等，圓周角 相等，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。 7. 圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線， 圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切 線的夾角。 8. 相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。 9. 圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。 10. 等于同一角的兩個(gè) 角相等 三、證明兩直線平行 1. 垂直于同一直線的各直線平行。 2. 同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平 行。 3. 平行四邊形的對(duì)邊平行。 4. 三角形的中位線平行于第三邊。 5. 梯形的中位線平行于兩底。 6. 平行于同一直線的兩直線平行。 7. 一條直線截三角形的兩邊（或延長(zhǎng)線）所得的線段對(duì)應(yīng) 成比例，則這條直線平行于第三邊。 四、證明兩直線互相垂直 1. 等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。 2. 三角形中一邊的中線若等于這邊一半， 則這一邊所對(duì)的角是 直角。 3. 在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。 4. 鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。 5. 一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。 6. 兩條直線相交成直角則兩直線垂直。 7. 利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。 8. 利用勾股定理的逆定理。 9. 利用菱形的對(duì)角線互相垂直。 10. 在圓中平分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙?。 11. 利用半圓上的圓周角是直角。 五、證明線段的和、差、倍、分 1. 作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。 2. 在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分 等于第二條線段。 3. 延長(zhǎng)短線段為其二倍，再證明它與較長(zhǎng)的線段相等。 4. 取長(zhǎng)線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。 5. 利用一些定理（三角形的中位線、含 30 度的直角三角形、 直角三角形斜邊上的中線、 三角形的重心、 相似三角形的性質(zhì)等） 六、證明角的和、差、倍、分 1. 作兩個(gè)角的和，證明與第三角相等。 2. 作兩個(gè)角的差，證明余下部分等于第三角。 3. 利用角平分線的定義。 4. 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。 七、證明兩線段不等 1. 同一三角形中，大角對(duì)大邊。 2. 垂線段最短。 3. 三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。 4 4. 在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等， 則夾角大的第 三邊大。 5. 同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。 6. 全量大于它的任何一部分。 八、證明兩角不等 1. 同一三角形中，大邊對(duì)大角。 2. 三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。 3. 在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等， 第三邊不等， 第三邊大的， 兩邊的夾角也大。 4. 同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。 5. 全量大于它的任何一部分。 九、證明比例式或等積式 1. 利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例。 2. 利用內(nèi)外角平分線定理。 3. 平行線截線段成比例。 4. 直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理。 5. 與圓有關(guān)的比例定理 -- 相交弦定理、 切割線定理及其推論。 6. 利用比利式或等積式化得。 5 以上九項(xiàng)是中考幾何證明題中最常出現(xiàn)的內(nèi)容， 只要掌握了對(duì) 應(yīng)的方法， 再根據(jù)題目中的條件進(jìn)行合理選擇， 攻克難題不再是 夢(mèng)想！ 1 過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線 2 兩點(diǎn)之間線段最短 3 同角或等角的補(bǔ)角相等 4 同角或等角的余角相等 5 過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直 6 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短 7 平行公理 經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行 8 如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行 9 同位角相等，兩直線平行 10 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 11 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 12 兩直線平行，同位角相等 13 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 14 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) 15 定理 三角形兩邊的和大于第三邊 16 推論 三角形兩邊的差小于第三邊 17 三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 180 ° 18 推論 1 直角三角形的兩個(gè)銳角互余 19 推論 2 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 20 推論 3 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角 21 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等 22 邊角邊公理 有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 23 角邊角公理 有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 24 推論 有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 25 邊邊邊公理 有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 26 斜邊、直角邊公理 有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等 28 定理 2 到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上 29 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合 30 等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個(gè)底角相等 31 推論 1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊 32 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合 33 推論 3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于 60 ° 34 等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（等 角對(duì)等邊） 35 推論 1 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 36 推論 2 有一個(gè)角等于 60 °的等腰三角形是等邊三角形 37 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于 30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半 6 38 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半 39 定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 40 逆定理 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上 41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合 42 定理 1 關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形 43 定理 2 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線 44 定理 3 兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上 45 逆定理 如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線 對(duì)稱(chēng) 46 勾股定理 直角三角形兩直角邊 a 、 b 的平方和、等于斜邊 c 的平方，即 a+b=c 47 勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長(zhǎng) a、 b 、 c 有關(guān)系 a+b=c ， 那么這個(gè)三角形是直角三角 形 48 定理 四邊形的內(nèi)角和等于 360 ° 49 四邊形的外角和等于 360 ° 50多邊形內(nèi)角和定理 n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2 ) X180° 51 、等腰三角形 三線合一 全等三角形 性質(zhì) 對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)變相等 判斷 hl 直角三角形中用 sas asa sss aas 直角三角形 一條直角邊為斜邊的一半，那么那條直角邊所對(duì)的角為 30 °，這有逆定理 斜邊上的中線為斜邊的一半 沒(méi)有逆定理 52 、矩形 四角 90 °，對(duì)角線相等且互相平分，為軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)圖像 53 、菱形 對(duì)角線分別平分一組對(duì)角，對(duì)角相等，對(duì)角線垂直 54 、平行四邊形 對(duì)角相等，對(duì)邊相等，對(duì)角線互 55 . 函數(shù)的定義 (1) 函數(shù)的傳統(tǒng)定義：設(shè)在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量 x 、 y ，如果對(duì)于 x 在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確 定的值， y 都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng) y 是 x 的函數(shù)， x 叫做自變量 . (2)函數(shù)的近代定義：設(shè) A, B都是非空的數(shù)的集合，f:x -y是從A到B的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，那么 從A到B的映射f:A - B就叫做函數(shù)，記作y = f(x)，其中x 6 A, y 6 B,原象集合A叫做函數(shù)f(x) 的定義域，象集合 C 叫做函數(shù) f(x) 的值域 . 上述兩個(gè)定義實(shí)質(zhì)上是一致的， 只不過(guò)傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)， 而近代定義是從集合、 映射的觀點(diǎn)出發(fā)，側(cè)重點(diǎn)不同 . 函數(shù)實(shí)質(zhì)上是從集合 A 到集合 B 的一個(gè)特殊的映射，其特殊性在 于集合 A、 B 都是非空數(shù)集 . 自變量的取值集合叫做函數(shù)的定義域， 函數(shù)值的集合 C 叫做函數(shù)的值 域. 這里應(yīng)該注意的是，值域 C并不一定等于集合 B,而只能說(shuō)C是B的一個(gè)子集. ( 3 )函數(shù)的三要素 定義域A,值域C以及從A到C的對(duì)應(yīng)法則f，稱(chēng)為函數(shù)的三要素.由于值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法 則唯一確定，所以也可以說(shuō)函數(shù)有兩要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則 . 兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域與對(duì)應(yīng) 法則分別相同時(shí)，才是同一函數(shù) . 7