2019年高中數學 第三章 統(tǒng)計案例 3.1 回歸分析的基本思想及其初步應用課時訓練 理 新人教A版選修2-31回歸分析回歸分析是對具有_的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法，回歸分析的基本步驟是畫出兩個變量的_，求_，并用回歸方程進行預報2線性回歸模型（1）在線性回歸方程中，_.其中_，_，稱為樣本的中心.（2）線性回歸模型，其中稱為_，自變量稱為_變量，因變量稱為_變量溫馨提示：是回歸直線的斜率的估計值，表示每增加一個單位，的平均增加單位數3刻畫回歸效果的方式方式方法計算公式刻畫效果_越_，表示回歸的效果越好殘差圖稱為相應于點的殘差，_殘差點_地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度_，說明模型擬合精確度越高.殘差平方和殘差平方和越_，模型的擬合效果越好參考答案1相關關系 散點圖 回歸方程2（1） （2）隨機誤差 解釋 預報3 接近于1 比較均勻 越窄小重點1.了解隨機誤差、殘差、殘差分析的概念2.會用殘差分析判斷線性回歸模型的擬合效果3.掌握建立回歸模型的步驟難點通過對典型案例的探究，了解回歸分析的基本思想方法和初步應用易錯不能準確理解概念和參數的含義一、概念辨析有下列說法：線性回歸分析就是由樣本點去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點的數學方法；利用樣本點的散點圖可以直觀判斷兩個變量的關系是否可以用線性關系表示；通過回歸方程可以估計觀測變量的取值和變化趨勢；因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關性檢驗其中正確命題的個數是A1B2C3 D4【答案】C【解析】反映的正是最小二乘法思想，故正確反映的是畫散點圖的作用，也正確解釋的是回歸方程的作用，故也正確是不正確的，在求回歸方程之前必須進行相關性檢驗，以體現兩變量的關系【名師點睛】由題目可獲取以下信息：線性回歸分析；散點圖；相關性檢驗等的相關概念及意義解答本題可先逐一核對相關概念及其性質，然后再逐一作出判斷，最后得出結論二、線性回歸模型一臺機器由于使用時間較長，生產的零件有一些會缺損，按不同轉速生產出來的零件有缺損的統(tǒng)計數據如下表：轉速x（轉/秒）1614128每小時生產缺損零件數y（件）11985（1）作出散點圖；（2）如果與線性相關，求出回歸直線方程；（3）若實際生產中，允許每小時生產的產品中有缺損的零件最多為10個，那么，機器的轉速應控制在什么范圍內？（結果保留整數）附：線性回歸方程中，其中為樣本平均值.【答案】詳見解析【解析】（1）根據表中的數據畫出散點圖如下圖：（2）由題中數據列表如下：i1234xi1614128yi11985xiyi1761269640， .（3）令，解得.故機器的運轉速度應控制在轉/秒內.【名師點睛】1求回歸直線方程的一般步驟（1）作出散點圖，依據問題所給的數據在平面直角坐標系中描點，觀察點的分布是否呈條狀分布，即是否在一條直線附近，從而判斷兩變量是否具有線性相關關系（2）當兩變量具有線性相關關系時，求回歸系數，寫出回歸直線方程2回歸直線方程中的表示x每增加1個單位時，的變化量的估計值為可以利用回歸直線方程預報在取某個值時的估計值由于回歸直線方程中的系數和是通過樣本估計而來的，存在著誤差，這種誤差可能導致預報結果有偏差 三、線性回歸分析為研究重量（單位：克）對彈簧長度（單位：厘米）的影響，對不同重量的6個物體進行測量，數據如下表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8（1）作出散點圖，并求回歸方程：（2）求相關指數R2，并判斷模型的擬合效果；（3）進行殘差分析【答案】詳見解析【解析】（1）散點圖如下圖所示：從散點圖，可以看出這些點大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式求得線性回歸方程的系數.因為，計算，得所以所求回歸方程為（2）列表如下：0.050.0050.040.0251.412.31所以，所以回歸模型的擬合效果較好（3）由表中數據可以看出殘差點比較均勻地落在比較狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與拉力呈線性關系由殘差表中的數值可以看出第3個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集這個數據的時候是否有人為的錯誤，如果有的話，需要糾正數據，重新建立回歸模型【名師點睛】1.線性回歸分析的過程：（1）隨機抽取樣本，確定數據，形成樣本點；（2）由樣本點形成散點圖，判定是否具有線性相關關系；（3）由最小二乘法求線性回歸方程；（4）進行殘差分析，分析模型的擬合效果，不合適時，分析錯因，予以糾正；（5）依據回歸方程作出預報2用散點圖可粗略判斷兩個變量間有無線性相關關系，用相關指數R2可以描述兩個變量之間的密切程度四、非線性回歸分析在一次抽樣調查中測得樣本的5個樣本點，數值如表：x0.250.5124y1612521試建立y與x之間的回歸方程【答案】詳見解析【解析】作出變量y與x之間的散點圖如圖所示由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數關系設，令，則.由y與x的數據表可得y與t的數據表：t4210.50.25y1612521作出y與t的散點圖如圖所示由圖可知y與t呈近似的線性相關關系又，.所以y與x的回歸方程是.【名師點睛】求非線性回歸方程的步驟：1確定變量，作出散點圖2根據散點圖，選擇恰當的擬合函數3變量置換，通過變量置換把非線性回歸問題轉化為線性回歸問題，并求出線性回歸方程4分析擬合效果：通過計算相關指數或畫殘差圖來判斷擬合效果5根據相應的變換，寫出非線性回歸方程五、不能準確理解概念和參數的含義 關于與有如下數據：x24568y3040605070為了對兩個變量進行統(tǒng)計分析，現有以下兩種線性模型：甲模型，乙模型，試比較哪一個模型擬合的效果更好【錯解】，乙模型擬合的效果更好【錯因分析】明確的大小與擬合效果的關系用相關指數來比較模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好，并不是越小模型的擬合效果越好【正解】，甲模型擬合的效果更好1已知回歸直線方程，若變量x每增加1個單位，則Ay平均增加2.5個單位By平均增加1個單位Cy平均減少2.5個單位Dy平均減少2個單位2在回歸分析中，相關指數R2的值越大，說明殘差平方和A越大B越小C可能大也可能小D以上均錯3對兩個變量y和x進行回歸分析，得到一組樣本數據：，則下列說法中不正確的是A由樣本數據得到的回歸方程 必過樣本點的中心B殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C用相關指數來刻畫回歸效果，的值越小，說明模型的擬合效果越好D若變量y和x之間的相關系數，則變量y與x之間具有線性相關關系4在對兩個變量x，y進行回歸分析時有以下操作：求回歸方程；收集數據（xi，yi），i=1，2，n；對所求出的回歸方程作出解釋；根據所收集的數據繪制散點圖則下列操作順序正確的是A BC D5關于隨機誤差產生的原因分析正確的是（1）用線性回歸模型來近似真實模型所引起的誤差；（2）忽略某些因素的影響所產生的誤差；（3）對樣本數據觀測時產生的誤差；（4）計算錯誤所產生的誤差A（1）（2）（4）B（1）（3）C（2）（4） D（1）（2）（3）6在如圖所示的5組數據中，去掉_后，剩下的4組數據線性相關性更強.7已知回歸直線的斜率的估計值為1.23，樣本點的中心為（4,5），則回歸直線方程是_8某班5名學生的數學和物理成績如下表：學生學科ABCDE數學成績（x）8876736663物理成績（y）7865716461（1）畫出散點圖；（2）求物理成績y對數學成績x的回歸方程；（3）一名學生的數學成績是96分，試預測他的物理成績9某商場為了了解毛衣的月銷售量（件）與月平均氣溫（）之間的關系，隨機統(tǒng)計了某4個月的月銷售量與當月平均氣溫，其數據如下表：月平均氣溫（）171382月銷售量（件）24334055由表中數據算出線性回歸方程中的，氣象部門預測下個月的平均氣溫約為，據此估計該商場下個月毛衣銷售量約為件A46 B40 C70 D5810已知方程是根據女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，其中x的單位是cm，的單位是kg，那么針對某個體（160，53）的殘差是_11某學生課外活動興趣小組對兩個相關變量收集到5組數據如下表： x1020304050y62758189由最小二乘法求得回歸方程為，現發(fā)現表中有一個數據模糊不清，請推斷該點數據的值為_12某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100棵種子中的發(fā)芽數，得到如下資料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日溫差x（）101113128發(fā)芽y（顆）2325302616該農科所確定的研究方案是：先從這5組數據中選取3組數據求線性回歸方程，剩下的2組數據用于回歸方程檢驗（1）若選取的是12月1日與12月5日的2組數據，請根據12月2日至12月4日的數據，求出y關于x的線性回歸方程；（2）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（1）中所得的線性回歸方程是否可靠？（3）請預測溫差為14 的發(fā)芽數13（xx新課標III）下圖是我國xx年至xx生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明；（2）建立y關于t的回歸方程（系數精確到0.01），預測xx我國生活垃圾無害化處理量.附注：參考數據：，2.646.參考公式：相關系數 回歸方程 中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：1C【解析】因為由，得，若變量x每增加1個單位，則y平均減少2.5個單位，故選C.2B【解析】，當越大時，越小，即殘差平方和越小，故選B.3C 【解析】R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好，故選C.4D 【解析】根據回歸分析的思想，可知對兩個變量x，y進行回歸分析時，應先收集數據（xi，yi），然后繪制散點圖，再求回歸方程，最后對所求的回歸方程作出解釋，因此選D.5D【解析】理解線性回歸模型中隨機誤差e的含義是解決此問題的關鍵，隨機誤差可能由于觀測工具及技術產生，也可能因忽略某些因素產生，也可以是回歸模型產生，但不是計算錯誤6D(3,10)【解析】根據散點圖判斷兩變量的線性相關性，樣本數據點越集中在某一直線附近，其線性相關性越強，顯然去掉D(3,10)后，其余各點更能集中在某一直線的附近，即線性相關性更強7【解析】由斜率的估計值為1.23，且回歸直線一定經過樣本點的中心（4,5），可得，即.8【解析】（1）散點圖如下圖所示：（2）由圖可看出，這些點在一條直線附近，可以用線性回歸方程來刻畫與之間的關系，因為.y對x的線性回歸方程是.（3）當時，.所以預測他的物理成績是82分9C 【解析】由表格得為（10，38），在回歸直線上，解得=58，當時，故選C10【解析】把代入，得，所以殘差.1168 【解析】由題意可得，設要求的數據為，則有，因為回歸直線過樣本點的中心，所以，解得.12【解析】（1）由數據求得，.由公式求得，.所以y關于x的線性回歸方程為.（2）當時，；當時，.所以該研究所得到的線性回歸方程是可靠的（3）當時，有，所以當溫差為14 時的發(fā)芽數約為32顆.13【解析】（1）由折線圖中數據和附注中參考數據得，. 因為與的相關系數近似為0.99，說明與的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關系.（2）由及（1）得，.所以，關于的回歸方程為：. 將xx對應的代入回歸方程得：.所以預測xx我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.