2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何初步 課時(shí)分層作業(yè) 四十 7.2 空間幾何體的表面積與體積 文一、選擇題(每小題5分,共35分)1.某幾何體的三視圖如圖所示(圖中網(wǎng)格的邊長為1個(gè)單位),其中俯視圖為扇形,則該幾何體的體積為()A.B.C.D.【解析】選B.由三視圖知幾何體是圓錐的一部分,由俯視圖可得:底面扇形的圓心角為120,又由側(cè)視圖知幾何體的高為3,底面圓的半徑為2,所以幾何體的體積V=223=.2.已知一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是邊長為6的正三角形,若這個(gè)空間幾何體存在唯一的一個(gè)內(nèi)切球(與該幾何體各個(gè)面都相切),則這個(gè)幾何體的表面積是()A.18B.36C.45D.54【解析】選D.由三視圖知,幾何體為正三棱柱.因?yàn)楦┮晥D是邊長為6的正三角形,所以幾何體的內(nèi)切球的半徑R=6=,所以三棱柱的側(cè)棱長為2.所以幾何體的表面積S=266+362=54.3.已知某幾何體的外接球的半徑為,其三視圖如圖所示,圖中均為正方形,則該幾何體的體積為()A.16B.C.D.8【解析】選C.由該三視圖可知:該幾何體是一個(gè)正方體,切去四個(gè)角所得的正四面體,其外接球等同于該正方體的外接球,設(shè)正方體的棱長為a,則有=,a=2,故該正四面體的體積為V=23-423=.【變式備選】已知三棱錐的三視圖如圖所示,其中側(cè)視圖是邊長為的正三角形,則該幾何體的外接球的體積為()A.B.C.4D.16【解析】選B.由已知中的三視圖,可得該幾何體的直觀圖如圖所示:取AB的中點(diǎn)F,AF的中點(diǎn)E,由三視圖可得:AB垂直平面CDE,且平面CDE是邊長為的正三角形,AB=1+3=4,所以AF=BF=2,EF=1,所以CF=DF=2,故F即為棱錐外接球的球心,半徑R=2,故外接球的體積V=R3=.4.已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長為2的正方形,高為4,則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離是()A.B.C.D.【解析】選C.設(shè)點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離是h,由=,可得h=AA1,解得h=.【一題多解】選C.取B1D1的中點(diǎn)E1,連接A1E1,AE1,根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征,可知,作A1HAE1,垂足為H,A1H平面AB1D1,A1H即為所求.A1E1=,A1A=4,A1AA1E1,A1H=(等面積法).【變式備選】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PD底面ABCD,M,N分別為AB,PC的中點(diǎn),PD=AD=2,AB=4.則點(diǎn)A到平面PMN的距離為_.【解析】取PD的中點(diǎn)E,連接AE,NE,則因?yàn)樗睦忮FP-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分別為AB,PC的中點(diǎn),所以NEAM,NE=AM,所以四邊形AENM是平行四邊形,所以AEMN,所以點(diǎn)A到平面PMN的距離等于點(diǎn)E到平面PMN的距離,設(shè)為h,在PMN中,PN=,PM=2,MN=,所以SPMN=2=,由VE-PMN=VM-PEN,可得h=122,所以h=.答案:【方法技巧】求點(diǎn)到平面的距離(1)能作出高線的則直接作出高線,轉(zhuǎn)化為求線段的長度;(2)不能直接求時(shí),可轉(zhuǎn)化為與平面平行的直線上一點(diǎn)到平面的距離.或利用等體積法求解.5.已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn),若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36B.64C.144D.256【解析】選C.如圖所示,當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí),三棱錐O-ABC的體積最大,設(shè)球O的半徑為R,此時(shí)VO-ABC=VC-AOB=R2R=R3=36,故R=6,則球O的表面積為S=4R2=144.6.某幾何體的三視圖如圖所示,其內(nèi)切球的體積為 ()A.B.C.D.【解析】選A.根據(jù)圖示可得幾何體為正八面體,內(nèi)切球心為O,過O作OH垂直AD于點(diǎn)H,連接S1H,作OR垂直S1H,OR即為內(nèi)切球O的半徑.所以R=,V0=.7.如圖,在透明塑料制成的長方體ABCD-A1B1C1D1容器內(nèi)灌進(jìn)一些水(未滿),現(xiàn)將容器底面一邊BC固定在底面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下列四種說法:水的部分始終呈棱柱狀;水面四邊形EFGH的面積為定值;棱A1D1始終與水面EFGH平行;若EAA1,FBB1,則AE+BF是定值.則其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【解析】選C.結(jié)合題設(shè)中提供的圖形信息可知:當(dāng)容器底面一邊BC固定時(shí),BCFGA1D1,故由線面平行的判定定理可知結(jié)論“棱A1D1始終與水面EFGH平行”成立;同時(shí)由于四邊形ABFE四邊形DCGH,且互相平行,則由棱柱的定義可知結(jié)論“水的部分始終呈棱柱狀”正確;如圖,由于水平放置時(shí),水的高度是定值,所以當(dāng)一部分上升的同時(shí),另一面下降相同的高度,因?yàn)锽F=h-FD,AE=h+D1E且FD=D1E,所以BF+AE=h-FD+h+D1E=2h(定值),即結(jié)論“若EAA1,FBB1,則AE+BF是定值”是正確的;因?yàn)樗嫠倪呅蜤FGH的邊長在變化,因此其面積是變化的,故結(jié)論“水面四邊形EFGH的面積為定值”的說法不正確.即命題是正確的.【題目溯源】本題來源于人教A版必修2P29A組第4題.【變式備選】水平桌面上放置著一個(gè)容積為V的密閉長方體玻璃容器ABCD-A1B1C1D1,其中裝有V的水,給出下列操作與結(jié)論:把容器一端慢慢提起,使容器的一條棱BC保持在桌面上,這個(gè)過程中,水的狀態(tài)始終是柱體;在中的運(yùn)動(dòng)過程中,水面始終是矩形;把容器提離桌面,隨意轉(zhuǎn)動(dòng),水面始終過長方體內(nèi)一個(gè)定點(diǎn);在中的轉(zhuǎn)動(dòng)中水與容器的接觸面積始終不變.以上說法正確的是_.(把所有正確命題的序號(hào)都填上)【解析】水的部分始終呈棱柱狀;從棱柱的特征及平面ABFE平行平面DCGH即可判斷正確;如圖,在中的運(yùn)動(dòng)過程中,水面四邊形EFGH的對(duì)邊始終保持平行,且EFFG,故水面始終是矩形,是正確的;由于始終裝有V的水,而平分長方體體積的平面必定經(jīng)過長方體的中心,即水面始終過長方體內(nèi)一個(gè)定點(diǎn);所以結(jié)論正確;在中的轉(zhuǎn)動(dòng)中水與容器接觸時(shí),由于水的體積是定值,所以水與容器的接觸面的面積是正方體表面積的一半,故始終保持不變,所以正確.答案:二、填空題(每小題5分,共15分)8.如圖直三棱柱ABC-A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上,AB=AC,側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形,則側(cè)面ABB1A1的面積為_.【解析】由題意知,球心在側(cè)面BCC1B1的中心O上,BC為截面圓的直徑,所以BAC=90,ABC的外接圓圓心N是BC的中點(diǎn),同理A1B1C1的外心M是B1C1的中點(diǎn).設(shè)正方形BCC1B1的邊長為x.在RtOMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1(R為球的半徑),所以+=1,即x=,則AB=AC=1,所以=1=.答案:9.(xx浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是_cm2,體積是_cm3.【解析】幾何體為兩個(gè)相同長方體組合而成,長方體的長、寬、高分別為4,2,2,所以體積為2(224)=32(cm3),由于兩個(gè)長方體重疊部分為一個(gè)邊長為2的正方形,所以表面積為2(222+244)-222=72(cm2).答案:723210.一個(gè)圓錐的表面積為,它的側(cè)面展開圖是圓心角為120的扇形,則該圓錐的高為_.【解析】設(shè)圓錐底面半徑是r,母線長為l,所以r2+rl=,即r2+rl=1,根據(jù)圓心角公式=,即l=3r,所以解得r=,l=,那么高h(yuǎn)=.答案:【變式備選】已知圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為90,則該圓錐的底面半徑與母線長的比為_.【解析】設(shè)圓錐的母線長是R,則扇形的弧長是=,設(shè)底面半徑是r,則=2r,所以r=,所以圓錐的底面半徑與母線長的比為14.答案:1.(5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為 ()A.18+36B.54+18C.90D.81【解題指南】根據(jù)三視圖作出原幾何體是關(guān)鍵.【解析】選B.根據(jù)三視圖可知原幾何體是一個(gè)斜四棱柱,上下底面為邊長為3的正方形,左右為寬為3,長為3的矩形,前后為底邊長為3,且底邊上的高為6的平行四邊形,所以S=9+9+18+18+9+9=54+18.2.(5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得,則該幾何體的體積為 ()A.90B.63C.42D.36【解析】選B.由三視圖知,該幾何體為一個(gè)底面半徑為3,高為4的圓柱和一個(gè)底面半徑為3,高為6的圓柱的一半,故其體積為V=326+324=63.3.(10分)已知一個(gè)平放的各棱長為4的三棱錐內(nèi)有一個(gè)小球,現(xiàn)從該三棱錐頂端向錐內(nèi)注水,小球慢慢上浮.當(dāng)注入的水的體積是該三棱錐體積的時(shí),小球恰與該三棱錐各側(cè)面及水面相切(小球完全浮在水面上方),求小球的表面積.【解析】由題意,沒有水的部分的體積是三棱錐體積的,因?yàn)槿忮F的各棱長均為4,所以三棱錐體積為42=,所以沒有水的部分的體積是,設(shè)其棱長為a,則a2a=,所以a=2.設(shè)小球的半徑為r,則422r=,所以r=,所以小球的表面積S=4=.