第五章,微分法:,積分法:,互逆運(yùn)算,不定積分,微分的逆運(yùn)算,二、 基本積分公式,三、不定積分的性質(zhì) (運(yùn)算法則),一、 原函數(shù)與不定積分的概念,第一節(jié),原函數(shù)與不定積分(直接積分法）,第五章,一、 原函數(shù)與不定積分的概念,定義 1 . 若在區(qū)間 I 上定義的兩個(gè)函數(shù) F (x) 及 f (x),滿足,在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù) .,則稱 F (x) 為f (x),問題:,1. 在什么條件下, 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在 ?,2. 若原函數(shù)存在, 它如何表示,有多少個(gè) ?,定理1.,存在原函數(shù) .,初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù),定理 2.,也是f(x)的原函數(shù),( 其中C 為任意常數(shù) ),則,(2) f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只相差一個(gè)常數(shù).,定義 2.,在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為,上的不定積分,其中, 積分號;, 被積函數(shù);, 被積表達(dá)式., 積分變量;,若,則,( C 為任意常數(shù) ),C 稱為積分常數(shù), 不可丟 !,例如,記作,從不定積分定義可得:,或,或,或者寫成：,不定積分的幾何意義:,的原函數(shù)的圖形稱為,的圖形,的所有積分曲線組成,的平行曲線族.,的積分曲線 .,例1（5.1.8）. 設(shè)曲線通過點(diǎn)(1, 2),且其上任一點(diǎn)處的切線,斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程.,解:,所求曲線過點(diǎn) (1, 2) ,故有,因此所求曲線為,例2 設(shè)曲線通過點(diǎn)(0,0)，且曲線上任一點(diǎn)處的切線 斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的余弦值，求此曲線.,由于sinx是cosx的一個(gè)原函數(shù)，所以cosx的不定積分是 y=sinx+C.于是所求的曲線族為,代入初始條件x=0,y=0,求得C=0.故經(jīng)過點(diǎn)(0,0)的積分 曲線為 .,二、 基本積分表,利用逆向思維,( k 為常數(shù)),或,或,例3. 求,解: 原式 =,例4. 求,解: 原式=,三、不定積分的性質(zhì),推論: 若,則,例5 求,解,例6 求 .,解,例7. 求,解: 原式,倍角公式,例8. 求,解: 原式,例9(5.1.14). 求,解: 原式 =,例10. 求,解: 原式 =,例11(5.1.13). 求,解: 原式 =,加項(xiàng)減項(xiàng),四、內(nèi)容小結(jié)（直接積分法）,1. 不定積分的概念, 原函數(shù)與不定積分的定義, 不定積分的性質(zhì), 基本積分表,2. 直接積分法:,利用恒等變形,及 基本積分公式進(jìn)行積分 .,常用恒等變形方法,分項(xiàng)積分,加項(xiàng)減項(xiàng),利用三角公式 , 代數(shù)公式 ,積分性質(zhì),5. 求下列積分:,提示:,