第 二 十 八 章 銳 角 三 角 函 數(shù)小 結(jié) 與 復(fù) 習(xí) (2) A的 余 弦 ： cosA ；(3) A的 正 切 ： tanA .一 、 銳 角 三 角 函 數(shù)如 圖 所 示 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ，a， b， c分 別 是 A， B， C的 對(duì) 邊 要 點(diǎn) 梳 理 二 、 特 殊 角 的 三 角 函 數(shù) 1 12 1230 ， 45 ， 60 角 的 三 角 函 數(shù) 值sin30 ， sin45 ， sin60 ；cos30 ， cos45 ， cos60 ；tan30 ， tan45 ， tan60 . 合作探究1.解 直 角 三 角 形 的 依 據(jù)(1)在 Rt ABC中 ， C 90 ， a， b， c分 別 是 A， B, C的 對(duì) 邊 三 邊 關(guān) 系 ： ；三 角 關(guān) 系 ： ；邊 角 關(guān) 系 ： sinA cosB ， cosA sinB ，tanA ， tanB .a2 b2 c2 A 90 B三 、 解 直 角 三 角 形 acsin cosAA sincosBB (2)直 角 三 角 形 可 解 的 條 件 和 解 法條 件 ： 解 直 角 三 角 形 時(shí) 知 道 其 中 的 2個(gè) 元 素 (至 少 有 一 個(gè) 是邊 )， 就 可 以 求 出 其 余 的 3個(gè) 未 知 元 素 解 法 ： 一 邊 一 銳 角 ， 先 由 兩 銳 角 互 余 關(guān) 系 求 出 另 一 銳角 ； 知 斜 邊 ， 再 用 正 弦 (或 余 弦 )求 另 兩 邊 ； 知 直 角 邊 用 正 切求 另 一 直 角 邊 ， 再 用 正 弦 或 勾 股 定 理 求 斜 邊 ； 知 兩 邊 ： 先用 勾 股 定 理 求 另 一 邊 ， 再 用 邊 角 關(guān) 系 求 銳 角 ； 斜 三 角 形 問(wèn)題 可 通 過(guò) 添 加 適 當(dāng) 的 輔 助 線 轉(zhuǎn) 化 為 解 直 角 三 角 形 問(wèn) 題 (3)互 余 兩 角 的 三 角 函 數(shù) 間 的 關(guān) 系sin =_;cos =_;2 2sin +cos _; tan tan(90 _. ）cos(90 ）sin(90 ） 1 1 1.利 用 計(jì) 算 器 求 三 角 函 數(shù) 值 第 二 步 ： 輸 入 角 度 值 ，屏 幕 顯 示 結(jié) 果 .（ 也 有 的 計(jì) 算 器 是 先 輸 入 角 度 再 按 函 數(shù) 名 稱 鍵 ）第 一 步 ： 按 計(jì) 算 器 、 、 鍵 ，sin tan cos四 、 借 助 計(jì) 算 器 求 銳 角 三 角 函 數(shù) 值 及 銳 角 2.利 用 計(jì) 算 器 求 銳 角 的 度 數(shù) 還 可 以 利 用 鍵 ， 進(jìn) 一 步 得 到 角 的 度 數(shù) .第 二 步 ： 然 后 輸 入 函 數(shù) 值屏 幕 顯 示 答 案 （ 按 實(shí) 際 需 要 進(jìn) 行 精 確 ）第 一 種 方 法 ： 2nd F第 一 步 ： 按 計(jì) 算 器 、 、 鍵 ，2ndF sin cos tan 第 一 步 ： 按 計(jì) 算 器 鍵 ， 2nd F第 二 種 方 法 ：第 二 步 ： 輸 入 銳 角 函 數(shù) 值屏 幕 顯 示 答 案 （ 按 實(shí) 際 需 要 選 取 精 確 值 ） . 1.仰 角 和 俯 角 鉛直線 水 平 線視 線視 線仰 角俯 角在 進(jìn) 行 測(cè) 量 時(shí) ， 從 下 向 上 看 ， 視 線 與 水 平 線 的 夾 角 叫做 仰 角 ； 從 上 往 下 看 ， 視 線 與 水 平 線 的 夾 角 叫 做 俯 角 .五 、 三 角 函 數(shù) 的 應(yīng) 用 以 正 南 或 正 北 方 向 為 準(zhǔn) ， 正 南 或 正 北 方 向 線 與 目 標(biāo) 方 向 線 構(gòu)成 的 小 于 900的 角 ,叫 做 方 位 角 .如 圖 所 示 ：3045B O A 東西 北南2.方 位 角 4545西 南 O 東 北 東西 北南西 北 東 南 坡 面 與 水 平 面 的 夾 角 叫 做 坡 角 ， 記 作 ， 有 i =tan 顯 然 ， 坡 度 越 大 ， 坡 角 就 越 大 ， 坡 面 就 越 陡 .lhlh 圖 19.4.5 如 圖 :坡 面 的 鉛 垂 高 度 （ h） 和 水 平 長(zhǎng) 度 （ l）的 比 叫 做 坡 面 坡 度 .記 作 i,即 i =3.坡 度 ,坡 角坡 度 通 常 寫 成 1 m的 形 式 ， 如 i=1 6. 4.利 用 解 直 角 三 角 形 的 知 識(shí) 解 決 實(shí) 際 問(wèn) 題 的 一 般 過(guò) 程 是 ：（ 1） 將 實(shí) 際 問(wèn) 題 抽 象 為 數(shù) 學(xué) 問(wèn) 題 （ 畫 出 平 面 圖 形 ， 轉(zhuǎn) 化為 解 直 角 三 角 形 的 問(wèn) 題 ） ；（ 2） 根 據(jù) 條 件 的 特 點(diǎn) ， 適 當(dāng) 選 用 銳 角 三 角 函 數(shù) 等 去 解 直角 三 角 形 ；（ 3） 得 到 數(shù) 學(xué) 問(wèn) 題 的 答 案 ；（ 4） 得 到 實(shí) 際 問(wèn) 題 的 答 案 AC MN(1)在 測(cè) 點(diǎn) A安 置 測(cè) 傾 器 ， 測(cè) 得 M的 仰 角 MCE=； E (2)量 出 測(cè) 點(diǎn) A到 物 體 底 部 N的 水 平 距 離 AN=l；(3)量 出 測(cè) 傾 器 的 高 度 AC=a， 可 求 出 MN的 高 度 .MN=ME+EN=ltan+a1. 測(cè) 量 底 部 可 以 到 達(dá) 的 物 體 的 高 度 步 驟 ：六 、 利 用 三 角 函 數(shù) 測(cè) 高 2.測(cè) 量 東 方 明 珠 的 高 度 的 步 驟 是 怎 么 樣 的 呢 ？(1)在 測(cè) 點(diǎn) A處 安 置 測(cè) 傾 器 ， 測(cè) 得 此 時(shí) M的 仰 角 MCE=；AC BD MNE(2)在 測(cè) 點(diǎn) A與 物 體 之 間 的 B處 安 置 測(cè) 傾 器 ， 測(cè) 得 此 時(shí) M的 仰 角 MDE=； (3)量 出 測(cè) 傾 器 的 高 度 AC=BD=a， 以 及 測(cè) 點(diǎn) A,B之 間 的 距 離AB=b.根 據(jù) 測(cè) 量 數(shù) 據(jù) ,可 求 出 物 體 MN的 高 度 .,tan tanME ME b MN ME a 考 點(diǎn) 一 求 三 角 函 數(shù) 的 值例 1 在 ABC中 ， C 90 ， sinA ， 則 tanB ( ) A. B. C. D.4543 34 35 45【 解 析 】 根 據(jù) sinA ， 可 設(shè) 三 角 形 的 兩 邊 長(zhǎng) 分 別 為4k,5k， 則 第 三 邊 長(zhǎng) 為 3k， 所 以 tanB 45 3 3.4 4kk B 考 點(diǎn) 講 練 求 三 角 函 數(shù) 值 方 法 較 多 ， 解 法 靈 活 ， 在 具 體 的 解 題 中要 根 據(jù) 已 知 條 件 采 取 靈 活 的 計(jì) 算 方 法 ， 常 用 的 方 法 主 要 有 ：(1)根 據(jù) 特 殊 角 的 三 角 函 數(shù) 值 求 值 ； (2)直 接 運(yùn) 用 三 角 函 數(shù) 的定 義 求 值 ； (3)借 助 邊 的 數(shù) 量 關(guān) 系 求 值 ； (4)借 助 等 角 求 值 ；(5)根 據(jù) 三 角 函 數(shù) 關(guān) 系 求 值 ； (6)構(gòu) 造 直 角 三 角 形 求 值 方 法 總 結(jié) 1.在 ABC中 ， A、 B都 是 銳 角 ， 且 sinA=cosB， 那么 ABC一 定 是 _三 角 形 直 角2.如 圖 ， 在 網(wǎng) 格 中 ， 小 正 方 形 的 邊 長(zhǎng) 均 為 1， 點(diǎn) A， B， C都 在 格 點(diǎn) 上 ， 則 ABC的 正 切 值 是 _.12 針 對(duì) 訓(xùn) 練 考 點(diǎn) 二 特 殊 角 的 三 角 函 數(shù) 值【 解 析 】 本 題 考 查 數(shù) 的 0次 冪 、 分 母 有 理 化 和 特 殊 角 的 三角 函 數(shù) 值 解 ： 原 式 例 2 計(jì) 算 ： 03 2tan60 .33 (1) tan30 cos45 tan60(2) tan30 tan60 cos2303. 計(jì) 算 ： 3 333 47.4 3 2 33 2 4 3 2 ;3 2 解 ： 原 式原 式 針 對(duì) 訓(xùn) 練 考 點(diǎn) 三 解 直 角 三 角 形例 3 如 圖 ， 在 ABC中 ， C 90 ， 點(diǎn) D在 BC上 ， BD 4， AD BC， cos ADC= ， 求 ： （ 1） DC的 長(zhǎng) ； （ 2） sinB的 值 53【 分 析 】 題 中 給 出 了 兩 個(gè) 直 角 三 角 形 ， DC和 sinB可 分 別 在Rt ACD和 Rt ABC中 求 得 ， 由 AD BC， 圖 中 CD BC BD，由 此 可 列 方 程 求 出 CD AB CD 又 BC CD BD， 解 得 x=6， CD=6； AB CD解 ： （ 1） 設(shè) CD x， 在 Rt ACD中 ， cos ADC= ,353 5,5 3x AD xAD 5, ,3AD BC BC x 5 4,3 x x (2) BC=BD+CD=4+6=10=AD，在 Rt ACD中 ，在 Rt ABC中 2 2 2 210 6 8,AC AD CD 2 2 64 100 2 41,AB AC BC 8 4 41sin .412 41ACB AB 本 考 點(diǎn) 主 要 考 查 已 知 三 角 形 中 的 邊 與 角 求 其 他 的 邊與 角 .解 決 這 類 問(wèn) 題 一 般 是 結(jié) 合 方 程 思 想 與 勾 股 定 理 ，利 用 銳 角 三 角 函 數(shù) 進(jìn) 行 求 解 . 方 法 總 結(jié) 4.如 圖 所 示 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ， AC 3.點(diǎn) D為 BC邊 上 一 點(diǎn) ， 且 BD 2AD， ADC 60 .求 ABC的 周 長(zhǎng)(結(jié) 果 保 留 根 號(hào) ). 針 對(duì) 訓(xùn) 練 解 ： 在 Rt ADC中 ， BD 2AD 4. BC BD DC 5.在 Rt ABC中 ， ABC的 周 長(zhǎng) 為 AB BC ACsin = ,ACADC AD 3= = 1,tan tan60ACDC ADC tan = ,ACADC DC 3= = 2,sin sin60ACAD ADC 2 2 2 7.AB AC BC 2 7 5 2 3. 考 點(diǎn) 四 三 角 函 數(shù) 的 應(yīng) 用例 4 如 圖 ， 在 一 次 數(shù) 學(xué) 課 外 實(shí) 踐 活 動(dòng) 中 ， 要 求 測(cè) 教 學(xué) 樓AB的 高 度 小 剛 在 D處 用 高 1.5 m的 測(cè) 角 儀 CD， 測(cè) 得 教 學(xué) 樓頂 端 A的 仰 角 為 30 ， 然 后 向 教 學(xué) 樓 前 進(jìn) 40 m到 達(dá) EF， 又測(cè) 得 教 學(xué) 樓 頂 端 A的 仰 角 為 60 .求 這 幢 教 學(xué) 樓 AB的 高 度 【 分 析 】 設(shè) CF與 AB交 于 點(diǎn) G， 在Rt AFG中 ， 用 AG表 示 出 FG， 在Rt ACG中 ， 用 AG表 示 出 CG， 然后 根 據(jù) CG FG 40， 可 求 AG. =20 3mAG ， =(20 3 1.5)m.AB 答 ： 這 幢 教 學(xué) 樓 AB的 高 度 為 (20 3 1.5)m. 解 ： 設(shè) CF與 AB交 于 點(diǎn) G， 在 Rt AFG中 ，tan = ,AGAFG FG = = .tan 3AG AGFG AFG 在 Rt ACG中 ，tan = ,AGACG CG = = 3 .tan AGCG AGACG 又 CG FG 40m， 3 =40m.3AGAG 在 生 活 實(shí) 際 中 ， 特 別 在 勘 探 、 測(cè) 量 工 作 中 ， 常 需 了 解或 確 定 某 種 大 型 建 筑 物 的 高 度 或 不 能 用 尺 直 接 量 出 的 兩 地之 間 的 距 離 等 ， 而 這 些 問(wèn) 題 一 般 都 要 通 過(guò) 嚴(yán) 密 的 計(jì) 算 才 可能 得 到 答 案 ， 并 且 需 要 先 想 方 設(shè) 法 利 用 一 些 簡(jiǎn) 單 的 測(cè) 量 工具 ， 如 ： 皮 尺 ， 測(cè) 角 儀 ， 木 尺 等 測(cè) 量 出 一 些 重 要 的 數(shù) 據(jù) ，方 可 計(jì) 算 得 到 有 關(guān) 設(shè) 計(jì) 的 原 理 就 是 來(lái) 源 于 太 陽(yáng) 光 或 燈 光與 影 子 的 關(guān) 系 和 解 直 角 三 角 形 的 有 關(guān) 知 識(shí) 方 法 總 結(jié) 5.如 圖 某 人 站 在 樓 頂 觀 測(cè) 對(duì) 面 的 筆 直 的 旗 桿 AB， 已 知 觀 測(cè) 點(diǎn)C到 旗 桿 的 距 離 （ 即 CE的 長(zhǎng) ） 為 8米 ， 測(cè) 得 旗 桿 頂 的 仰 角 ECA為 30 旗 桿 底 部 的 俯 角 ECB為 45 則 旗 桿 AB的 高 度是 多 少 米 ? CAB DE解 ： 如 圖 在 Rt ACE和 Rt BCE中 ACE=30 ， EC=8米 tan ACE= ,tan ECB=即 ： AE=8tan30 = （ 米 ）EB=8tan45 =8（ 米 ） AE+EB=(8+ )米AEEC EBEC8 33 8 33 針 對(duì) 訓(xùn) 練 銳 角 三 角函 數(shù)特 殊 角 的 三角 函 數(shù)解 直 角 三角 形簡(jiǎn) 單 實(shí) 際問(wèn) 題 cabA BC正 弦 ：銳角三角函數(shù) sin aA c余 弦 ：正 切 ： tan aA b30 ， 45 ， 60 角 的 三 角 函 數(shù) 值三 邊 關(guān) 系三 角 關(guān) 系邊 角 關(guān) 系仰 俯 角 問(wèn) 題 方 位 角 問(wèn) 題坡 度 問(wèn) 題cos bA c 課 堂 小 結(jié)