2019-2020年高三數(shù)學總復習 兩角和與差的余弦教案 理教材分析這節(jié)內(nèi)容是在掌握了任意角的三角函數(shù)的概念、向量的坐標表示以及向量數(shù)量積的坐標表示的基礎(chǔ)上，進一步研究用單角的三角函數(shù)表示的兩角和與差的三角函數(shù)這些內(nèi)容在高等數(shù)學、電功學、力學、機械設(shè)計與制造等方面有著廣泛的應用，因此要求學生切實學好，并能熟練的應用，以便為今后的學習打下良好的基礎(chǔ)“兩角差的余弦公式”在教科書中采用了一種易于教學的推導方法，即先借助于單位圓中的三角函數(shù)線，推出，均為銳角時成立對于，為任意角的情況，教材運用向量的知識進行了探究同時，補充了用向量的方法推導過程中的不嚴謹之處，這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性這節(jié)課的重點是兩角差的余弦公式的推導，難點是把公式中的，角推廣到任意角教學目標1. 通過對兩角差的余弦公式的探究過程，培養(yǎng)學生通過交流，探索，發(fā)現(xiàn)和獲得新知識的能力2. 通過兩角差的余弦公式的推導，體會知識的發(fā)生、發(fā)展的過程和初步的應用過程，培養(yǎng)學生科學的思維方法和勇于探索的科學精神3. 能正確運用兩角差的余弦公式進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明任務分析這節(jié)內(nèi)容以問題情景中的問題作為教學的出發(fā)點，利用單位圓中的三角函數(shù)線和平面向量的數(shù)量積的概念推導出結(jié)論，并不斷補充推導過程中的不嚴謹之處推導過程采用了從特殊到一般逐層遞進的思維方法，學生易于接受整個過程始終結(jié)合單位圓，以強調(diào)其直觀性對于公式中的和角要強調(diào)其任意性數(shù)學中要注意運用啟發(fā)式，切忌把結(jié)果直接告訴學生，盡量讓學生通過觀察、思考和探索，自己發(fā)現(xiàn)公式，使學生充分體會到成功的喜悅，進一步激發(fā)學生的學習興趣，調(diào)動他們學習的積極性，從而使其自覺主動地學習教學過程一、問題情景我們已經(jīng)學過誘導公式，如可以這樣來認識以上公式：把角轉(zhuǎn)動，則所得角的正弦、余弦分別等于cos和sin把角轉(zhuǎn)動，則所得角的正弦、余弦分別等于sin和cos由此，使我們想到一個一般性的問題：如果把角的終邊轉(zhuǎn)動（度或弧度），那么所得角的正弦、余弦如何用或的正弦、余弦來表示呢？出示一個實際問題：右圖41-1是架在小河邊的一座吊橋的示意圖吊橋長AB（m），A是支點，在河的左岸點C在河的右岸，地勢比A點高AD表示水平線，DAC，為定值CAB，隨吊橋的起降而變化在吊橋起降的過程中，如何確定點B離開水平線AD的高度BE？由圖可知BEasin（）我們的問題是：如何用和的三角函數(shù)來表示sin（）如果為銳角，你能由，的正弦、余弦求出sin（）嗎？引導學生分析：事實上，我們在研究三角函數(shù)的變形或計算時，經(jīng)常提出這樣的問題：能否用，的三角函數(shù)去表示的三角函數(shù)？為了解決這類問題，本節(jié)首先來探索的余弦與，的函數(shù)關(guān)系式更一般地說，對于任意角，能不能用，的三角函數(shù)值把或的三角函數(shù)值表示出來呢？二、建立模型1. 探究（1）猜想：cos（）coscos（2）引導學生通過特例否定這一猜想例如，60，30，可以發(fā)現(xiàn)，左邊cos（6030）cos30，右邊cos60cos30顯然，對任意角，cos（）coscos不成立（3）再引導學生從道理上否定這一猜想不妨設(shè)，均為銳角，則，則cos（）cos又cos，所以cos（）coscos2. 分析討論（1）如何把，角的三角函數(shù)值之間建立起關(guān)系？要獲得相應的表達式需要哪些已學過的知識？（2）由三角函數(shù)線的定義可知，這些角的三角函數(shù)值都與單位圓中的某些有向線段有關(guān)系，那么，這些有向線段之間是否有關(guān)系呢？3. 教師明晰通過學生的討論，教師引導學生作出以下推理：設(shè)角的終邊與單位圓的交點為P1，POP1，則POx過點P作PMx軸，垂足為M，那么，OM即為角的余弦線，這里要用表示，的正弦、余弦的線段來表示OM過點P作PAOP1，垂足為A，過點A作ABx軸，垂足為B，再過點P作PCAB，垂足為C，那么cosOA，sinAP，并且PACP1Ox，于是OMOBBMOBCPOAcosAPsincoscossinsin4. 提出問題，組織學生討論（1）當，為任意角時，上述推導過程還能成立嗎？若要說明此結(jié)果是否對任意角，都成立，還要做不少推廣工作，可引導學生獨立思考事實上，根據(jù)誘導公式，總可以把，的三角函數(shù)化為（0，）內(nèi)的三角函數(shù)，再根據(jù)cos（）cos，把的余弦，化為銳角的余弦因此，三、解釋應用例題1. 求cos15及cos105的值分析：本題關(guān)鍵是將15角分成45與30的差或者分解成60與45的差，再利用兩角差的余弦公式即可求解對于cos105，可進行類似地處理，cos105cos（6045）2. 已知sin，（，），cos，且是第三象限的角，求cos（）的值分析：觀察公式C與本題已知條件應先計算出cos，cos，再代入公式求值求cos，cos的值可借助于同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，并注意，的取值范圍來求解練習1. （1）求sin75的值（2）求cos75cos105sin75sin105的值（3）化簡cos（AB）cosBsin（AB）sinB（4）求cos215sin215的值分析：對于（1），可先用誘導公式化sin75為cos15，再用例題1中的結(jié)果即可對于（2），逆向使用公式C-，即可將原式化為cos30對于（3），可以把AB角看成一個整體，去替換C-中的角，用B角替換角2. （1）求證：cos（） sin（2）已知sin，且為第二象限角，求cos（）的值（3）已知sin（30），60150，求cos分析：（1）和（差）公式可看成誘導公式的推廣，誘導公式是和（差）公式的特例（2）在三角函數(shù)求值問題中，變角是一種常用的技巧，（30）30，這樣可充分利用題中已知的三角函數(shù)值3. 化簡cos（36）cos（54）sin（36）sin（54）分析：這里可以把角36與54均看成單角，進而直接運用公式C-，不必將各式展開后再計算分析：本題是一道綜合題，由于cos（）coscossinsin，欲求cos（）的值，只須將已知兩式平方相加求出coscossinsin即可四、拓展延伸1. 由任意角三角函數(shù)定義，可知角，的終邊與單位圓交點的坐標均可用，的三角函數(shù)表示，即角與，兩向量的夾角有關(guān)，那么能否用向量的有關(guān)知識來推導公式C-呢？教師引導學生分析：在平面直角坐標系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角，它們的終邊與單位圓的交點為A，B，則（cos，sin），（cos，sin）由向量數(shù)量積的概念，有cos（）cos（）由向量的數(shù)量積的坐標表示，有coscossinsin于是，有cos（）coscossinsin依據(jù)向量數(shù)量積的概念，角必須符合，即在此條件下，以上推導才是正確的由于，都是任意角，也是任意角，因此，須研究為任意角時，以上推導是否正確當為任意角時，由誘導公式總可以找到一個角，0，2），使coscos（）若0，則coscos（）；若，2，則20，且cos（2）coscos（）于是，對于任意角，都有2. 教師提出進一步拓展性問題：本節(jié)問題情景中，涉及如何用sin，sin，cos，cos來表示sin（）的問題，試探索與研究sin（）的表達式點評這篇案例設(shè)計完整，思路清晰案例首先通過問題情景闡述了兩角和、差、三角函數(shù)公式的產(chǎn)生背景，然后通過組織學生分析，討論，并借助于單位圓中的三角函數(shù)線對，為銳角時給出證明，進而用向量知識探究任意角的情形這些均體現(xiàn)了數(shù)學中從特殊到一般的思想方法，符合新課改的基本理念同時，例題與練習由淺入深，完整，全面總之，關(guān)注學生的已有基礎(chǔ)，充分利用歸納、類比等方法激發(fā)學生進一步探究的欲望，建立C模型這種設(shè)計思路有利于學生數(shù)學思維水平的提高，同時及時鞏固，應用，拓展延伸，體現(xiàn)了對傳統(tǒng)的中國式數(shù)學教學精華的繼承如果能在結(jié)束時再創(chuàng)設(shè)引導學生自我小結(jié)、反思的環(huán)節(jié)，可能會錦上添花