2019-2020年高一數(shù)學(xué) 反函數(shù) 第五課時 第二章 ●課 題 2.4.1 反函數(shù) ●教學(xué)目標 (一)教學(xué)知識點 1.反函數(shù)的概念. 2.反函數(shù)的求法. (二)能力訓(xùn)練要求 1.使學(xué)生了解反函數(shù)的概念. 2.使學(xué)生會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù). (三)德育滲透目標 培養(yǎng)學(xué)生用辯證的觀點，觀察問題、分析問題、解決問題的能力. ●教學(xué)重點 1.反函數(shù)的概念. 2.反函數(shù)的求法. ●教學(xué)難點 反函數(shù)的概念. ●教學(xué)方法 師生共同討論法 通過師生的共同討論，使學(xué)生清除自學(xué)中遇到的疑點、困感點，弄清楚反函數(shù)的概念，掌握求反函數(shù)的方法. ●教具準備 幻燈片兩張： 第一張：反函數(shù)的定義，記法、習慣記法(記作2.4.1　A) 第二張：本課時教案后面的預(yù)習內(nèi)容及預(yù)習提綱(記作2.4.1　B) ●教學(xué)過程 Ⅰ.復(fù)習回顧 ［師］上節(jié)課我們學(xué)習了函數(shù)單調(diào)性的概念，請同學(xué)們回憶一下：增函數(shù)、減函數(shù)的意義，并復(fù)述證明函數(shù)單調(diào)性的步驟. ［生］設(shè)函數(shù)的定義域為Ⅰ，對于屬于Ⅰ內(nèi)某個區(qū)間的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1＜x2時， ①都有f（x1）＜f（x2），那么f（x）在這個區(qū)間上是增函數(shù)，這個區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間. ②都有f（x1）＞f（x2），那么f（x）在這個區(qū)間上是減函數(shù)，這個區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間. ［師］好.此位同學(xué)沒有機械地照課本上的表述來回答增函數(shù)、減函數(shù)的意義，而是通過分析、整理、歸納，做出了回答.我們每個同學(xué)在學(xué)習上都要發(fā)揚這種精神.請同學(xué)復(fù)述判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟. ［生］判定函數(shù)單調(diào)性的步驟是： a.設(shè)任意x1、x2∈給定區(qū)間，且x1＜x2. b.計算f（x1）－f（x2）至最簡. c.判斷上述差的符號. d.下結(jié)論(若差＜0，則為增函數(shù)；若差＞0，則為減函數(shù).) ［師］好.同學(xué)的回答非常完整、嚴密. 另外需要注意，函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言的，它是一個局部的概念，因此，某個函數(shù)在其整個定義域內(nèi)，單調(diào)性可能不存在. ［師］好，這節(jié)課我們來學(xué)習反函數(shù)（板書課題）. Ⅱ.講授新課 ［師］我們知道，物體做勻速直線運動的位移s是時間t的函數(shù)，即s＝vt其中速度ｖ是常量.反過來，也可以由位移s和速度ｖ(常量)確定物體做勻速直線運動的時間，即t＝這時，位移s是自變量，時間t是位移s的函數(shù)，在這種情況下，我們說t＝是函數(shù)s＝vt的反函數(shù). 又如在函數(shù)y＝2x＋6（x∈R）中，x是自變量，y是x的函數(shù)，我們從函數(shù)y＝2x＋6中解出x，就可以得到式子x＝－3（y∈R）.這樣對于y在R中任何一個值，通過式子x＝－3，x在R中都有惟一的值和它對應(yīng)，也就是說，可以把y作為自變量(y∈R)，x作為y的函數(shù)，這時我們就說x＝－3（y∈R）是函數(shù)y＝2x＋6（x∈R）的反函數(shù). 一般地，(打出幻燈片2.4.1　A)(教師讀) ［師］同學(xué)們已經(jīng)進行了預(yù)習，對反函數(shù)的概念有了初步的了解，誰來分析一下，反函數(shù)的定義著重強調(diào)了幾點，分別是什么? (學(xué)生仔細觀察定義、分析、尋求) ［生］反函數(shù)的定義著重強調(diào)了兩點： ①根據(jù)y＝f（x）（x∈A，y∈C）中x與y的關(guān)系，用y把x表示出來，得到x＝ (y) ②對于y在C中的任一個值，通過x＝ (y).x在A中都有惟一的值和它對應(yīng) 滿足了上述兩點，x＝（y）（y∈C）就叫做y＝f（x）（x∈A）的反函數(shù). [生甲]函數(shù)y＝f（x）是從定義域A到值域C的映射，從y＝f（x）中解出x＝（y）之后，強調(diào)的實質(zhì)是對于x＝（y）是從C到A的映射，因此我認為定義只強調(diào)了一點，即從y＝f（x）中解得x＝（y）.其他是從C到A的映射，那么x＝（y）就是y＝f（x）的反函數(shù). ［師］兩位同學(xué)所讀哪個正確呢? (留出點時間讓學(xué)生考慮) ［師］(自問自答)兩位同學(xué)所談都是正確的.生甲同學(xué)從映射的角度談，表述更簡單些，第一位同學(xué)所談的第二點實質(zhì)上就是從C到A的映射.很好，兩位同學(xué)談得都很好，都動了腦筋，進行了積極的思維. [生乙]對于函數(shù)y＝f（x）（x∈A，y∈C）若從值域C到定義域A是映射，那么從y＝ f（x）中解得的x＝（y）就是函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù). [生丙]對于函數(shù)y＝f（x）（x∈A，y∈C），若從定義域A到值域C是一一映射，那么從y＝f（x）中解得的x＝（y）就是函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù). ［師］好.問題越討論越清楚，生丙同學(xué)的回答不但揭示了反函數(shù)定義的實質(zhì)，還告訴了我們怎樣的函數(shù)才具有反函數(shù)，是什么呢? ［生］一一映射確定的函數(shù)才有反函數(shù). ［師］很好.比方說y＝x2在它的定義域內(nèi)有沒有反函數(shù)呢? ［生］沒有，因為y＝x2不是一一映射確定的函數(shù)，即從定義域到值域不是一一映射. ［師］函數(shù)y＝x2（x≤0)有沒有反函數(shù)呢?若有，是怎樣的. ［生］函數(shù)y＝x2（x≤0)有反函數(shù)，因為從定義域集合到值域集合是一一映射，它的反函數(shù)是x＝－（y≥0）. ［師］回答正確.在函數(shù)x＝f－1（y）中，y是自變量，x表示函數(shù)，但在習慣上，我們一般用x表示自變量，用y表示函數(shù)，為此我們常常對調(diào)x＝f－1（y）中的x、y，把它改寫成y＝f－1（x）今后凡不特別說明函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)都采用這種經(jīng)過改寫的形式，這種改寫的形式稱為習慣記法. 例如函數(shù)y＝2x的反函數(shù)是y＝（x∈R）.函數(shù)y＝5x＋6的反函數(shù)是y＝（x∈R)等等. ［師］請注意：在y＝f（x）與x＝f－1（y）中的x、y所表示的量相同(前者中的x與后者中的x都屬于同一個集合，y也是如此)，但地位不同(前者x是自變量，y是函數(shù)值；后者y是自變量，x是函數(shù)值). 在y＝f（x）與y＝f－1（x）中的x都是自變量，y都是函數(shù)值，即x、y在兩式中所處的地位相同，但表示的量不同(前者中的x是后者中的y，前者中的y是后者中的x). 請同學(xué)們談一下，函數(shù)y＝f（x）與它的反函數(shù)y＝f－1（x）兩者之間，定義域、值域存在什么關(guān)系呢? ［生］函數(shù)的定義域、值域分別是它的反函數(shù)的值域、定義域.(學(xué)生作答，教師板書) ［師］從反函數(shù)的概念可知，如果函數(shù)y＝f（x）有反函數(shù)y＝f－1（x），那么函數(shù)y＝ f－1（x）的反函數(shù)就是y＝f（x），即函數(shù)y＝f（x）與y＝f－1（x）互為反函數(shù). 從反函數(shù)的概念我們還可以知道，求函數(shù)的反函數(shù)的方法步驟為： ①由y＝f（x）解出x＝f－1（y），即把x用y表示出來. ②將x＝f－1（y）改寫成y＝f－1（x），即對調(diào)x＝f－1（y）中的x、y. ③指出反函數(shù)的定義域. Ⅲ.例題分析 課本P62例1，讓學(xué)生自己看. Ⅳ.課堂練習 課本P64練習1，2，3，4 Ⅴ.課時小結(jié) 本節(jié)課我們學(xué)習了反函數(shù)的概念，從中知道了怎樣的映射確定的函數(shù)才有反函數(shù)并求函數(shù)的反函數(shù)的方法步驟，大家要熟練掌握. Ⅵ.課后作業(yè) (一)課本P64習題2.4 1，2. (二)預(yù)習內(nèi)容：互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系，親自動手作題中要求作的圖象. ●板書設(shè)計 2.4.1 反函數(shù) 1.定義：(幻燈片) 2.注意 （1）一一映射確定的函數(shù)才有反函數(shù). （2）函數(shù)與它的反函數(shù)定義域、值域的關(guān)系. 3.求反函數(shù)的方法步驟 4.小結(jié)