2019-2020年高一數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)函數(shù)教案 新課標(biāo) 人教A版 必修1 教學(xué)目標(biāo) 1．使學(xué)生掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，會(huì)畫對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)． 2．通過對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的教學(xué)，學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)反函數(shù)概念及函數(shù)和反函數(shù)圖象間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)與理解． 3．通過比較、對(duì)照的方法，學(xué)生更好地掌握兩個(gè)函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)，認(rèn)識(shí)兩個(gè)函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，提高學(xué)生對(duì)函數(shù)思想方法的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用意識(shí)． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)．難點(diǎn)是由對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)這一關(guān)系，利用指數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)得到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)． 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 師：在新課開始前，我們先復(fù)習(xí)一些有關(guān)概念．什么叫對(duì)數(shù)？ 生：若ab=N，則數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaN=b．其中a為底數(shù)，N是真數(shù)． 師：各個(gè)字母的取值范圍呢？ 生：a＞0巳a≠1；N＞0；b∈R， 師：這個(gè)定義也為我們提供了指數(shù)式化對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化指數(shù)式的方法．請(qǐng)將bp=M化成對(duì)數(shù)式． 生：bp=M化為對(duì)數(shù)式是logbM=p． 師：請(qǐng)將logca=q化為指數(shù)式． 生：logca=q化為指數(shù)式是cq=a． 師；什么是指數(shù)函數(shù)？它有哪些性質(zhì)？ （生回答指數(shù)函數(shù)定義及性質(zhì)．） 師：請(qǐng)大家回憶如何求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)？ 生：（1）先求原來函數(shù)的定義域和值域；（2）把函數(shù)式y(tǒng)=f（x） x與y對(duì)換，此反函數(shù)可記作x=f-1（y）；（3）把x=f-1（y）改寫成y=f-1（x），并寫出反函數(shù)的定義域． 師：好．為什么求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，要先求出這個(gè)函數(shù)的定義域和值域呢？ 生：求原來函數(shù)的定義域是為了求原來函數(shù)的值域，而原來函數(shù)的值域就是其反函數(shù)的定義域． 師：很好．原來函數(shù)的定義域和值域，就是其反函數(shù)的值域和定義域．根據(jù)前面復(fù)習(xí)的求反函數(shù)的方法，請(qǐng)同學(xué)們求函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）的反函數(shù)． 生：函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）的定義域x∈R，值域y∈（0，+∞）．將指數(shù)式y(tǒng)=ax化為對(duì)數(shù)式x=logay，所以函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）的反函數(shù)為y=logax（x＞0）． 師：今天這節(jié)課我們介紹一下新的函數(shù)——對(duì)數(shù)函數(shù)，它是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)． 定義 函數(shù)y=logax（a＞0，a≠1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)． 因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=logax是指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù)，所以要說明以下兩點(diǎn)： （1）對(duì)于底數(shù)a，同樣必須滿足a＞0且a≠1的條件． （2）指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽+．根據(jù)反函數(shù)性質(zhì)可知：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽+，值域?yàn)镽． 同指數(shù)函數(shù)一樣，在學(xué)習(xí)了函數(shù)定義之后，我們要畫函數(shù)的圖象．應(yīng)該如何畫對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象呢？ 生：用描點(diǎn)法畫圖． 師：對(duì)．我們每學(xué)習(xí)一種新的函數(shù)都可以根據(jù)函數(shù)的解析式，列表、描點(diǎn)畫圖．再考慮一下，我們還可以用什么方法畫出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象呢？ 生：因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，所以它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱．因此，只要畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，就可利用圖象的對(duì)稱性畫出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象． 師：非常好．我們畫對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，即可用描點(diǎn)法，也可用圖象變換法． 師：由于對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，指數(shù)函數(shù)圖象分a＞1和0＜a＜1兩類，因此對(duì)數(shù)函數(shù)圖象也分a＞1和0＜a＜1兩類．現(xiàn)在我們觀察對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，并對(duì)照指數(shù)函數(shù)性質(zhì)來分析對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)． 生：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都在y軸右側(cè)，說明x＞0． 生：函數(shù)圖象都過（1，0）點(diǎn)，說明x=1時(shí)，y=0． 師：對(duì)．這從直觀上體現(xiàn)了對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0且1的對(duì)數(shù)是0的事實(shí)．請(qǐng)繼續(xù)分析． 生：當(dāng)?shù)讛?shù)是2和10時(shí)，若x＞1，則y＞0，若x＜1，則y＜ 師：對(duì)．由此可歸納得到：當(dāng)?shù)讛?shù)a＞1時(shí)，若x＞1，則y＞0；若0＜x＜1，則y＜0，反之亦然．當(dāng)?shù)讛?shù)0＜a＜1時(shí)，看x＞1，則y＜0；若0＜x＜1，則y＞0，反之亦然．這體現(xiàn)了真數(shù)的取值范圍與對(duì)數(shù)的正負(fù)性之間的緊密聯(lián)系．再繼續(xù)分析． 生：當(dāng)?shù)讛?shù)a＞1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)在（0，+∞）上遞增；當(dāng)?shù)讛?shù)0＜a＜1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)在（0，+∞）上遞減． 師：好．下邊我們看一下指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)對(duì)照表． 名 稱 指 數(shù) 函 數(shù) 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 解析式 y=ax（a＞0，a≠1） y=logax（a＞0，a≠1） 定義域 （-∞，+∞） （0，+∞） 值 域 （0，+∞） （-∞，+∞） 單調(diào)性 當(dāng)a＞1時(shí)，ax是增函數(shù)； 當(dāng)a＞1時(shí)，logax是增函數(shù)； 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，ax是減函數(shù) 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，logax是減函數(shù)． 圖象 y=ax的圖象與y=logax的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱 師：今天我們所要講的有關(guān)概念就講完了，現(xiàn)在我們通過例題進(jìn)一步鞏固理解這些概念． 例2 求下列函數(shù)的定義域： 生：（1）因?yàn)閤2＞0，所以x≠0，即y=logax2的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）． 生：（2）因?yàn)?-x＞0，所以x＜4，即y=loga（4-x）的定義域是（-∞，4）． 師：在這個(gè)函數(shù)的解析式中，不僅有對(duì)數(shù)式，還有二次根式，因此要求定義域，既要真數(shù)大于0，還要被開方數(shù)大于或等于0，從而得到不等式組，這個(gè)不等式組如何解，問題出在log0.5（3x-1）≥0上，怎么辦？ 生：把0看作log0.51，即log0.5（3x-1）≥log0.51，因?yàn)?＜0.5＜1，所以此函數(shù)是減函數(shù)，所以 3x-1≤1． 師：對(duì)．他是利用了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．還有別的說法嗎？ 生：因?yàn)榈讛?shù)0＜0.5＜1，而log0.5（3x-1）≥0，所以 3x-1≤1． 師：對(duì)．他是利用了對(duì)數(shù)函數(shù)的第三條性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)值的范圍，判斷了真數(shù)的范圍，因此只要解0＜3x-1≤1，即可得出函數(shù)定義域． 例3 比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大?。? （1）log23和log23.5；（2）log0.71.6和log0.71.8． 師：請(qǐng)同學(xué)們觀察這兩組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的特征，想一想應(yīng)如何比較這兩個(gè)數(shù)的大?。? 生：這兩組數(shù)都是對(duì)數(shù)．每組中的對(duì)數(shù)式的底數(shù)相同，而真數(shù)不同，因此可根據(jù)函數(shù)y=log2x是增函數(shù)的性質(zhì)來比較它們的大?。? 師：對(duì)．針對(duì)（1）中兩個(gè)數(shù)的底數(shù)都是2，我們構(gòu)造函數(shù)y=log2x，利用這個(gè)函數(shù)在（0，+∞）是單調(diào)遞增的，通過比較真數(shù)的大小來決定對(duì)數(shù)的大小．請(qǐng)一名同學(xué)寫出解題過程． 生：（板書） 解：因?yàn)楹瘮?shù)y=log2x在（0，+∞）上是增函數(shù)，又因0＜3＜3.5，所以 log23＜log23.5． 師：好．請(qǐng)同學(xué)簡(jiǎn)答（2）中兩個(gè)數(shù)的比較過程．并說明理由． 生：因?yàn)楹瘮?shù)y=log0.7x在（0，+∞）上是減函數(shù)，又因0＜1.6＜1.8，所以 log0.71.6＞log0.71.8． 師：對(duì)．上述方法仍是采用“函數(shù)法”比較兩個(gè)數(shù)的大?。?dāng)兩個(gè)對(duì)數(shù)式的底數(shù)相同時(shí)，我們構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)．對(duì)于a＞1的對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)；對(duì)于0＜a＜1的對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)．只要比較真數(shù)的大小，即可得到函數(shù)值的大小． 例4 比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大?。? （1）log0.34和log0.20.7；（2）log23和log32． 師：這兩組數(shù)都是對(duì)數(shù)，但它們的底數(shù)與真數(shù)都不相同，不便于利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較它們的大?。?qǐng)大家仔細(xì)觀察各組中兩個(gè)數(shù)的特點(diǎn)，判斷出它們的大?。? 生：在log0.34中，因?yàn)榈讛?shù)0＜0.3＜1，且4＞1，所以log0.34＜0；在log0.20.7中，因?yàn)?＜0.2＜1，且0.7＜1，所以log0.20.7＞0，故log0.34＜log0.20.7． 師：很好．根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)?shù)讛?shù)0＜a＜1時(shí)，若x＞1，則y＜0；若0＜x＜1，則y＞0．由此可以判定這兩個(gè)數(shù)中，一個(gè)比零大，另一個(gè)比零小，從而比較出兩個(gè)數(shù)的大小，這是采用了“中間量法”．請(qǐng)比較第（2）組兩個(gè)數(shù)的大?。? 生：在log23中，底數(shù)2＞1，真數(shù)3＞1，所以log23＞0；在log32中，底數(shù)3＞1，真數(shù)2＞1，所以log32＞0，… 師：根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)可判斷：log23和log32都比零大．怎么辦？ 生：因?yàn)閘og23＞1，log32＜1，所以log23＞log32． 師：很好．這是根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到的，事實(shí)上，log23＞log22=1，log32＜log33=1，這里利用了底數(shù)的對(duì)數(shù)為1，即log22=log33=1，從而判斷出一個(gè)數(shù)大于1，而另一個(gè)數(shù)小于1，由此比較出兩個(gè)數(shù)的大?。? 請(qǐng)同學(xué)們口答下列問題： 練習(xí)1 求下列函數(shù)的反函數(shù)： （1）y=3x（x∈R）； （2）y=0.7x（x∈R）； （3）y=log5x（x＞0）； （4）y=log0.6x（x＞0）． 生：y=3x（x∈R）的反函數(shù)是y=log3x（x＞0）． 生：y=0.7x（x∈R）的反函數(shù)是y=log0.7x（x＞0）． 生：y=log5x（x＞0）的反函數(shù)是y=5x（x∈R）． 生：y=log0.6x（x＞0）的反函數(shù)是y=0.6x（x∈R）． 練習(xí)2 指出下列各對(duì)數(shù)中，哪個(gè)大于零？哪個(gè)小于零？哪個(gè)等于零？并簡(jiǎn)述理由． 生：在log50.1中，因?yàn)?＞1，0.1＜1，所以log50.1＜0． 生：在log27中，因?yàn)?＞1，7＞1，所以log27＞0． 生：在log0.60.1中，因?yàn)?.6＜1，0.1＜1，所以log0.60.1＞0． 生：在log0.43中，因?yàn)?.4＜1，3＞1，所以log0.43＜0． 練習(xí)3 用“＜”號(hào)連接下列各數(shù)： 0.32，log20.3，20.3． 生：由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知0＜0.32＜1，20.3＞1，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知log20.3＜0，所以log20.3＜0.32＜20.3． 師：現(xiàn)在我們將這節(jié)課的內(nèi)容小結(jié)一下，本節(jié)課我們介紹了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)，請(qǐng)同學(xué)回答對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及性質(zhì)． 生：（復(fù)述）…… 師：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，我們是通過求指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)而得到的，從而揭示了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，都可以利用指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)得到．對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可以利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象記憶，也可以對(duì)照指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)記憶． 對(duì)于函數(shù)的定義域，除了原來要求的分母不能為0及偶次根式中被開方式大于或等于0以外，還應(yīng)要求對(duì)數(shù)式中真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1．如果函數(shù)中同時(shí)出現(xiàn)幾種情況，就要全部考慮進(jìn)去，求它們共同作用的結(jié)果． 例3、例4都是利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，通過“函數(shù)法”和“中間量法”比較兩個(gè)數(shù)大小的典型例子． 補(bǔ)充題比較下列各題中兩個(gè)數(shù)值的大小： （1）log30.7和log0.20.5； （2）log0.64和log7.11.2； （3）log0.50.6和log0.60.5； （4）log25和log34． 比較下列各題中兩個(gè)數(shù)值的大小： （1）log30.7和log0.20.5； （2）log0.64和log7.11.2； （3）log0.50.6和log0.60.5； （4）log25和log34．