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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 第76課時 數(shù)學(xué)歸納法教案 教學(xué)目標：掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，熟練表達數(shù)學(xué)歸納法證明過程.對數(shù)學(xué)歸納法的認識不斷深化.掌握數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：①證恒等式；②整除性的證明；③探求平面幾何中的問題；④探求數(shù)列的通項；⑤不等式的證明. 教學(xué)重點：本 （一） 主要知識及主要方法： 歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法特點：特殊→一般. 不完全歸納法: 根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法叫做不完全歸納法 完全歸納法: 把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法 完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時，采用完全歸納法 數(shù)學(xué)歸納法:對于某些與自然數(shù)有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當取第一個值時命題成立；然后假設(shè)當(，≥)時命題成立，證明當命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法. 數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，如果當時，命題成立，再假設(shè)當(，≥)時，命題成立.(這時命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個假設(shè)，如能推出當時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于的正整數(shù)，，…，命題都成立. 用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟： 證明：當取第一個值結(jié)論正確；假設(shè)當(，≥)時結(jié)論正確，證明當時結(jié)論也正確由，可知，命題對于從開始的所有正整數(shù)都正確.數(shù)學(xué)歸納法被用來證明與自然數(shù)有關(guān)的命題：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉. 用數(shù)學(xué)歸納法證題時，兩步缺一不可；證題時要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)，二湊目標. （二）典例分析： 問題1．求證：能被整除. 問題2．求證： 設(shè)，且，用數(shù)學(xué)歸納法證明： 用數(shù)學(xué)歸納法證明：（其中≥，且）. 問題3．已知，，其中、，，，，且.求的反函數(shù)；對任意，試指出與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 問題4．（浙江）設(shè)點，和拋物線：（），其中＝，由以下方法得到：，點在拋物線：上，點到的距離是到上點的最短距離，…，點在拋物線：上，點到的距離是 到 上點的最短距離． 求及的方程；證明是等差數(shù)列． （三）課后作業(yè)： 觀察下列式子：，則可以猜想的結(jié)論為： 用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，從“到”左端需增乘的代數(shù)式為 （重慶市重點中學(xué)二聯(lián)）如圖，第個圖形是由正邊形“擴展”而來（，，，…），則第個圖形中共有 個頂點. 凸邊形有條對角線，則凸邊形有對角線條數(shù)為 平面內(nèi)有條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點，求證：這條直線把平面分成個區(qū)域. （四）走向高考： （上海）設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：“當成立時，總可推出成立”．那么，下列命題總成立的是 若成立，則當時，均有成立 若成立，則當時，均有成立 若成立，則當時，均有成立 若成立，則當時，均有成立 (湖南）已知函數(shù),數(shù)列{}滿足: ，，求證: ;. （江西）已知數(shù)列滿足：，且（≥，） 求數(shù)列的通項公式；求證：對于一切正整數(shù)，不等式 （湖北）已知為正整數(shù)， 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當時，≥； 對于≥，已知，求證，； 求出滿足等式的所有正整數(shù).