簡(jiǎn)單的線形規(guī)劃課 題 ：授 課 教 師 ： 季 平 授 課 時(shí) 間 ： 2004.6. 第 八 章 . 平 面 解 析 幾 何 8.19 簡(jiǎn) 單 的 線 形 規(guī) 劃 知 識(shí) 目 標(biāo) ： 掌 握 線 性 規(guī) 劃 問(wèn) 題 的 圖 解 法 ， 能 運(yùn) 用 線 性 規(guī) 劃 的 方 法 解 決 一 些 簡(jiǎn)單 的 實(shí) 際 問(wèn) 題 。 能 力 目 標(biāo) ： 培 養(yǎng) 學(xué) 生 畫(huà) 圖 能 力 和 解 決實(shí) 際 問(wèn) 題 的 能 力 。 情 感 目 標(biāo) ： 認(rèn) 識(shí) 目 標(biāo) 函 數(shù) 在 約 束 條 件 下的 最 優(yōu) 化 問(wèn) 題 求 解 過(guò) 程 體 現(xiàn) 了 數(shù) 學(xué) 本 身的 簡(jiǎn) 約 美 、 價(jià) 值 美 。 我 們 知 道 ， 二 元 一 次 不 等 式 和 二 元 一 次 不 等式 組 都 表 示 平 面 區(qū) 域 ， 今 天 我 們 先 來(lái) 復(fù) 習(xí) 一 下 怎樣 畫(huà) 出 它 們 表 示 的 區(qū) 域 。問(wèn) 題 ： 1.什 么 叫 半 平 面 、 開(kāi) 半 平 面 、 閉 半 平 面 ？ 2.二 元 一 次 不 等 式 表 示 的 區(qū) 域 作 法 、 步 驟 。 3.點(diǎn) 到 直 線 的 距 離 公 式 ？ 答 案 ：1.一 條 直 線 把 坐 標(biāo) 平 面 分 為 兩 部 分 ， 每 個(gè) 部 分 叫 做 開(kāi) 半平 面 ， 開(kāi) 半 平 面 與 這 條 直 線 的 并 集 叫 做 閉 半 平 面 。2.步 驟 ： 作 出 不 等 式 對(duì) 應(yīng) 的 直 線 L:ax+by+c=0。 用 點(diǎn)(0,0)代 入 ax+by+c ， 判 斷 值 大 于 還 是 小 于 0。 若 大 于 0，則 原 點(diǎn) 所 在 開(kāi) 半 平 面 是 不 等 式 ax+by+c 0表 示 的 區(qū) 域 。 若 小 于 0， 則 原 點(diǎn) 所 在 開(kāi) 半 平 面 是 不 等 式 ax+by+c 0表示 的 區(qū) 域 。3. Ax0+by0+c d = A 2+B2 步 驟 ： 1.先 作 出 直 線 x+y 1=0 2.用 （ 0， 0） 來(lái) 判 斷 3.結(jié) 論y xO 11 x+y 1=0用 （ 0， 0） 點(diǎn)來(lái) 判 斷 ： 代 入x+y 1， 值 小 于 0練 習(xí) 1.畫(huà) 出 不 等 式 x+y 10表 示 的 區(qū) 域 。 畫(huà) 出 不 等 式 組 3x+2y1200 x+2y800 表 示 的 區(qū) 域 x0 y0練 習(xí) 2.步 驟 ： 1 .要 一 個(gè) 不 等 式 不 等 式 作 圖 2.找 出 公 共 部 分 3.用 陰 影 部 分 表 示 800400400 600L1: 3x+2y-1200=0L2: x+2y-800=0不 等 式 組 所 表 示的 區(qū) 域 就 是 圖 中陰 影 所 示 。 例 ： 某 工 廠 計(jì) 劃 生 產(chǎn) 甲 、 乙 兩 種 產(chǎn) 品 ， 這 兩 種 產(chǎn) 品 都 需 要 A、 B兩 種 原 料 ， 生 產(chǎn) 一 件 甲 產(chǎn) 品 需 要 A種 原 料 3千 克 ， B種 原 料 1千 克 ， 生 產(chǎn) 一 件 乙 產(chǎn) 品 需 要 A種 原 料 2千 克 ，B種 原 料 2千 克 ， 現(xiàn) 有 A種 原 料 1200千 克 ， 現(xiàn) 有 B種 原 料 800千 克 。 如 果 生 產(chǎn) 一 件 甲 產(chǎn)品 的 利 潤(rùn) 是 30元 ， 生 產(chǎn) 一 件 乙 產(chǎn) 品 的 利 潤(rùn) 是 40元 ， 問(wèn) 甲 、 乙 兩 種 產(chǎn) 品 各 生 產(chǎn) 多 少 能使 利 潤(rùn) 的 總 額 最 大 ？ 最 大 利 潤(rùn) 是 多 少 ？ 產(chǎn) 品 原 料 A數(shù) 量 （ 千 克 ） 原 料 B數(shù) 量 （ 千 克 ） 利 潤(rùn) （ 元 ）生 產(chǎn) 甲 種 產(chǎn) 品 一 件 3 1 30生 產(chǎn) 乙 種 產(chǎn) 品 一 件 2 2 40限 額 數(shù) 量 1200 800分 析 ： 由 題 意 可 列 表 如 下 ：設(shè) 計(jì) 劃 生 產(chǎn) x件 甲 種 產(chǎn) 品 ， 生 產(chǎn) y件 乙 種 產(chǎn) 品 ， 則 獲 得利 潤(rùn) 為 ： f=30 x+40y （ 1） 其 中 滿 足 下 列 條 件 ： 3x+2y 1200 x+2y 800 x 0， x為 整 數(shù) y 0， y為 整 數(shù) 問(wèn) 題 轉(zhuǎn) 化 為 在 x、 y滿 足 約 束 條 件 （ 2） 下 式 子 30 x+40y的 最 大 值 。 又 可 轉(zhuǎn) 化 為 在 不 等 式 （ 2） 表 示 的 區(qū) 域 內(nèi) 找 一 整數(shù) 點(diǎn) 使 式 子 30 x+40y取 最 大 值 。 而 不 等 式 （ 2） 表 示 的 區(qū) 域 我 們 已 經(jīng) 在 前 面 畫(huà) 出 來(lái) 了 ，我 們 回 到 前 面 去 解 決 這 個(gè) 問(wèn) 題 。 800400400 600 L2: x+2y-800=0L1: 3x+2y-1200=0O B AC 800400400 600 L2: x+2y-800=0L1: 3x+2y-1200=0L0 CO BA令 30 x+40y=0， 則 此 表 示 方 程 通 過(guò) 原 點(diǎn) 的 一 條 直 線 ，記 為 其 L0。 法 向 量 （ 30， 40） 所 指 的 開(kāi) 半 平 面 使30 x+40y0。 讓 我 們 考 查 在 這 個(gè) 開(kāi) 半 平 面 內(nèi) 任 意 點(diǎn)（ x， y） 到 L0的 距 離 :顯 然 點(diǎn) 到 直 線 的 距 離 越 大 式 子30 x+40y的 值 越 大 。 于 是 問(wèn) 題 就 轉(zhuǎn) 化 為 在 不 等 式 （ 2）表 示 的 區(qū) 域 OABC內(nèi) 找 與 直 線 L0距 離 最 大 的 整 數(shù) 點(diǎn) 。 800400400 600 L2: x+2y-800=0L1: 3x+2y-1200=0CO BAL0 L 我 們 沿 向 量 （ 30， 40） 的 方 向 平 移 直 線 L0，當(dāng) 平 移 到 如 圖 所 示 位 置 L時(shí) ， 陰 影 部 分 OABC內(nèi) 的 其 它 各 點(diǎn) 都 在 L的 同 一 側(cè) ， 所 以 點(diǎn) B的坐 標(biāo) 使 f=30 x+40y最 大 ,即 利 潤(rùn) 取 得 最 大 值 ！ 那 么 怎 樣 求 B點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 呢 ？顯 然 點(diǎn) B是 直 線 3x+2y=1200與 x+2y=800的 交 點(diǎn) 。 解 方 程 組 3x+2y=1200 得 點(diǎn) B的 坐 x+2y=800 標(biāo) 為 B（ 200， 300） ， 代 入 f得 fm ax=30 200+40 300=18000 答 ： 生 產(chǎn) 200件 甲 種 產(chǎn) 品 ， 300件 甲 種 產(chǎn) 品 的總 額 使 利 潤(rùn) 最 大 本 例 中 ， 我 們 把 f=30 x+40y稱 為 目 標(biāo) 函 數(shù) ， 而 不 等 式組 3x+2y 1200 x+2y 800 x 0， x為 整 數(shù) y 0， y為 整 數(shù) 稱 為 目 標(biāo) 函 數(shù) 的 約 束 條 件 或 可 行 域 。 把 上 面 的 問(wèn) 題稱 為 目 標(biāo) 函 數(shù) 在 約 束 條 件 或 可 行 域 中 的 最 優(yōu) 化 問(wèn) 題 ！ 這類 問(wèn) 題 稱 為 線 形 規(guī) 劃 問(wèn) 題 。 課 堂 練 習(xí) 1： 已 知 f=2x+y， 且 x、 y滿 足 約 束 條 件 ： yx x+y1 求 f的 最 大 值 。 y 1答 案 ： 如 圖 所 示 . L0： 2x+y=0A BC xy=xoyx+y=1 y= 1L當(dāng) （ x， y） 取 直 線 y= 1與 直 線 x+y=1的 交點(diǎn) B時(shí) 取 最 大 值 ， 交 點(diǎn)坐 標(biāo) 為 B（ 2， 1） 。fmax=22+（ 1） =3 課 堂 練 習(xí) 2. P60頁(yè) 練 習(xí) 3， 僅 列 出 表 格 、目 標(biāo) 函 數(shù) 及 約 束 條 件 。答 案 ： 產(chǎn) 品 A種 礦 石 （ 噸 ） B種 礦 石 （ 噸 ） 煤 （ 噸 ） 利 潤(rùn)（ 元 ）生 產(chǎn) 甲 產(chǎn) 品一 件 10 5 4 600生 產(chǎn) 乙 產(chǎn) 品一 件 4 4 9 1000數(shù) 量 限 額 300 200 360目 標(biāo) 函 數(shù) f=600 x+1000y 10 x+4y 300 5x+4y 200約 束 條 件 4x+9y 360 x 0， x為 整 數(shù) y 0， y為 整 數(shù) 小 結(jié) ： 目 標(biāo) 函 數(shù) 在 約 束 條 件 （ 可 行 域 ） 下 的 最 優(yōu) 化問(wèn) 題 ， 要 掌 握 ： 1.幾 個(gè) 概 念 ： 目 標(biāo) 函 數(shù) 、 約 束 條 件 、 線 性 規(guī) 劃 。 2.線 性 規(guī) 劃 問(wèn) 題 的 解 法 步 驟 ： （ 1） 審 題 ， 設(shè) 未 知 數(shù) ； （ 2） 列 出 目 標(biāo) 函 數(shù) 及 約 束 條 件 ； （ 3） 作 輔 助 直 線 l0， 平 移 該 直 線 ， 判 斷 最 優(yōu) 點(diǎn) ； （ 4） 求 最 大 值 ， 并 作 答 。作 業(yè) ： P60 練 習(xí) 第 2、 3題 。 同學(xué)們?cè)僖?jiàn)！ 600 800400400C AB L1:3x+2y-1200=0L2:x+2y-800=0L0:30 x+40y=0 L解 ： 如 圖 所 示不 等 式 組 所 表 示 的 區(qū) 域 就 是 圖 中 陰 影 所 示 。