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2019-2020年高三數學總復習 向量的概念教案 理 教材分析 向量是近代數學中重要和基本概念之一，它集“大小”與“方向”于一身，融“數”、“形”于一體，具有幾何形式與代數形式的“雙重身份”，是高中數學重要的知識網絡的交匯點，也是數形結合思想的重要載體．這節(jié)通過對物理中的位移和力的歸納，抽象、概括出向量的概念、有向線段、向量的表示、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的準確含義．與數學中的許多概念一樣，都可以追溯它的實際背景．這節(jié)的重點是向量的概念、相等向量的概念和向量的幾何表示等．難點是向量的概念． 教學目標 1. 通過對平面向量概念的抽象概括，體驗數學概念的形成過程，培養(yǎng)學生的抽象概括能力和科學的思維方法，使學生逐步由感性思維上升為理性思維． 2. 理解向量的概念，會用有向線段表示向量，會判斷零向量，單位向量，平行的、相等的、共線的向量． 任務分析 在這之前，學生接觸較多的是只有大小的量（數量）．其實生活中還有一種不同于數量的量———向量．剛一開始，學生很不習慣，但可適時地結合實例，逐步讓學生理解向量的兩個基本要素———大小和方向，再讓學生于實際問題中識別哪些是向量，哪些是數量．這樣由具體到抽象，再由抽象到具體；由實踐到理論，再由理論到實踐，可使學生比較容易地理解．緊緊抓住向量的大小和方向，便于理解兩個向量沒有大小之分，只有相等與不相等、平行與共線等．要結合例、習題讓學生很好地理解相等向量（向量可以平移）．這些均可為以后用向量處理幾何等問題帶來方便． 教學設計 一、問題情景 數學是研究數量關系和空間形式的科學．思考以下問題： 1. 在數學或其他學科中，你接觸過哪些類型的量？這些量本質上有何區(qū)別？試描述這些量的本質區(qū)別． 2. 既有大小又有方向的量應如何表示？ 二、建立模型 1. 學生分析討論 學生回答：人的身高，年齡，體重；……圖形的面積，體積；物體的密度，質量；……物理學中的重力、彈力、拉力，速度、加速度，位移…… 引導學生慢慢抽象出數量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念． 2. 教師明晰 人們在長期生產生活實踐中，會遇到兩種不同類型的量，如身高、體重、面積、體積等，在規(guī)定的單位下，都可以用一個實數表示它們的大小，我們稱之為數量；另一類，如力、速度、位移等，它們不僅有大小，而且有方向．作用于某物體上的力，它不僅有大小，而且有作用方向；物體運動的速度既有快慢之分，又有方向的區(qū)別．這類既有數量特性又有方向特性的量，就是我們要研究的向量． 在數學上，往往用一條有方向的線段，即有向線段來表示向量．有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．向量不僅可以用有向線段表示，也可用a，b，c，…表示，還可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如，向量的大小就是向量的長度（模），記作.長度為零的向量叫零向量，記作0或.長度等于1的向量叫作單位向量． 方向相同或相反的非零向量叫平行向量，記作a∥b，規(guī)定0∥a（a為任一向量） 長度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，記作a＝b．任意兩個相等的非零向量都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關．在同一平面上，兩個平行的長度相等且指向一致的有向線段可以表示同一向量．因為向量完全由它的方向和模決定． 任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也叫“共線向量”． 3. 提出問題，組織學生討論 （1）時間、路程、溫度、角度是向量嗎？速度、加速度、物體所受重力是向量嗎？ （2）兩個單位向量一定相等嗎？ （3）相等向量是平行向量嗎？ （4）物理學中的作用力與反作用力是一對共線向量嗎？ （5）方向為南偏西60的向量與北偏東60的向量是共線向量嗎？強調：大小、方向是向量的兩個基本要素，當且僅當兩個向量的大小和方向兩個要素完全相同時，兩個向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共線向量之間的異同． 三、解釋應用 ［例　題］ 如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF的中心為O，試分別寫出與相等、平行和共線的向量，以及單位向量． 解：都是單位向量． ［練　習］ 1. 如圖，D，E，F分別是△ABC各邊的中點，試寫出圖中與相等的向量． 2. 如果四邊形ABCD滿足，那么四邊形ABCD的形狀如何？ 3. 設E，F，P，Q分別是任意四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，對于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？ 4. 在平面上任意確定一點O，點P在點O“東偏北60，3cm”處，點Q在點O“南偏西30，3cm”處，試畫出點P和Q相對于點O的向量． 5. 選擇適當的比例尺，用有向線段分別表示下列各向量． （1）在與水平成120角的方向上，一個大小為50N的拉力． （2）方向東南，8km／h的風的速度． （3）向量 四、拓展延伸 1. 如圖，在ABCD中，E，F分別是CD，AD的中點，在向量中相等的向量是哪些？為什么？ 2. 數能進行運算，那么與數的運算類比，向量是否也能進行運算？ 案例點評 這篇案例設計完整，思路清晰．該案例首先通過實例闡述了向量產生的背景，然后歸納、抽象了向量、平行向量、相等向量等概念，充分體現了數學教學的本質是教學思維過程的教學，符合新課程標準的精神．例題與練習由淺入深，完整，全面．“拓展延伸”的設計有新意，有深度．為學生數學思維能力、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)提供了平臺．