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1、九年級數(shù)學《頻率與概率》教學案例 北屯中學：靳振榮 數(shù)學教材九年級的一節(jié)課《頻率與概率》，要求學生通過實驗體驗隨機事件概率的意義：盡管隨機事件在每一次實驗中發(fā)生與否具有不確定性，但只要保持實驗條件不變，那么這一事件發(fā)生的頻率就會隨著實驗次數(shù)的增加而趨向穩(wěn)定，即隨著試驗次數(shù)的增多，試驗頻率越來越接近理論概率。我的教學設計要解決這樣的問題：利用短暫的課內(nèi)時間完成幾百次、上千次的實驗，使學生明白“隨機事件在每次實驗中發(fā)生的機會，可以用該事件在大數(shù)次重復實驗中發(fā)生的頻率來估計”這顯然比較難以實現(xiàn)。為此，我準備了供學生進行實驗的必要器材，以便進行模擬實驗，下面談一點我的一些思考。 我為本課

2、制訂的教學目標是： 1.通過大數(shù)次實驗的觀察，了解隨機事件發(fā)生的頻率是穩(wěn)定的； 2.通過討論，體驗用頻率的穩(wěn)定值估計機會的合理性； 3.初步掌握實驗的基本程序、方法，用比較準確的語言概括實驗結(jié)果，培養(yǎng)他們的探索意識，合作精神。 任務一：組織學生自主探究轉(zhuǎn)盤上的指針停留在某種顏色區(qū)域的機會究竟跟什么有關(guān)：是此種顏色區(qū)域的面積，還是指針在此顏色區(qū)域轉(zhuǎn)過的角度？要由學生自己來解決，用自己的語言來表述。 任務二：組織學生設計轉(zhuǎn)盤，使指針停在藍色區(qū)域的機會為３/８。要求學生盡可能突破思維束縛，發(fā)揮想像力，通過設計，深化對任務一所得出的結(jié)論的理解。 案例描述 一、預習檢測 為了讓學生體會到

3、“指針停在藍色區(qū)域的機會等于指針在藍色區(qū)域轉(zhuǎn)過的角度的總和與360的比值”，并用自己的語言表述出來，我設計了一連串問題。 用幻燈片出示如圖１的轉(zhuǎn)盤。學生知道，用力旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，當轉(zhuǎn)盤停下時，指針可能指向紅色，也可能指向藍色。 問題一：請每一個同學選擇一種顏色，當轉(zhuǎn)盤停下時，指針指向哪一種顏色，選擇這種顏色的同學就獲勝，你會選擇哪種顏色？ 學生齊刷刷地回答：當然是紅色。當我問為什么時，學生幾乎也是齊刷刷地回答：紅色面積比藍色面積大。 這是一個忽視前置條件的答案，顯然缺失了數(shù)學思維的嚴謹性。所以我馬上出示了如圖2的幻燈片，提出問題二。 問題二：用力旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤甲和轉(zhuǎn)盤乙，如果你想讓指針停在藍色上

4、，選擇哪個轉(zhuǎn)盤能使你成功的機會比較大？ 這個問題馬上引起了學生的深思。大部分同學都回答“轉(zhuǎn)盤甲和乙上，指針停留在藍色區(qū)域的機會一樣大”，但也有兩位同學說轉(zhuǎn)盤乙的機會大。我讓學生以四人小組為單位進行驗證。每組有統(tǒng)一制作的一大一小兩只轉(zhuǎn)盤，同桌兩人一只轉(zhuǎn)盤，一人轉(zhuǎn)動，一人在表格中記錄指針停在藍色區(qū)域的次數(shù)。各轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤４０次，最后把數(shù)據(jù)匯總到老師的電腦上。這個實驗進行了十分鐘。根據(jù)各小組的匯總數(shù)據(jù)制作的Excel圖表出現(xiàn)在屏幕上：兩只轉(zhuǎn)盤的指針停留在藍色區(qū)域的頻率與１/４的差，絕對值都在0.1～0.2之間，“機會一樣大”的猜測初步得到驗證。我再用電腦進行模擬實驗：每只轉(zhuǎn)盤各轉(zhuǎn)了10000次，顯示指

5、針停留在藍色區(qū)域的機會分別為0.252（甲）和0.249（乙），這兩個頻率與１/４的差，絕對值都不超過0.002。學生由此感受到“頻率隨著實驗次數(shù)的增加而趨于穩(wěn)定”的事實。 于是我開始啟發(fā)：剛才大家認為指針停留在藍色區(qū)域的機會由藍色區(qū)域的面積大小決定，可是轉(zhuǎn)盤乙的藍色區(qū)域面積顯然比轉(zhuǎn)盤甲大，為什么轉(zhuǎn)動這兩個轉(zhuǎn)盤，指針停留在藍色區(qū)域的機會卻幾乎相同呢？誰能修正一下剛才的判斷？ 僅僅思考１分鐘，就有一位同學對原先的結(jié)論進行修改：藍色區(qū)域所占的面積占總面積的比越大，指針停留在藍色上的機會也越大。 適當?shù)膯栴}有利于學生意識到他們的結(jié)論不嚴謹，修改后的結(jié)論顯然比第一次的說法準確些。但要使這個判斷成

6、為真命題，還是缺少前提??轉(zhuǎn)盤必須是圓盤，轉(zhuǎn)軸在中心。于是我出示了圖３所示的三只轉(zhuǎn)盤，用問題三啟發(fā)學生繼續(xù)思考。 問題三：轉(zhuǎn)動哪一個轉(zhuǎn)盤，指針停留在藍色區(qū)域的機會比較大？ 幻燈片一出現(xiàn)，同學們紛紛脫口而出，有的說正方形，有的說正八邊形。沒等我說話，他們又自己統(tǒng)一了意見：正方形和正八邊形轉(zhuǎn)盤的機會一樣大，都是１/４，正三角形轉(zhuǎn)盤的機會最小。 我追問：為什么？馬上有一位同學說：因為在正方形和八邊形中，藍色區(qū)域都占了總面積的１/４，而三角形中，藍色區(qū)域占總面積的比不到１/４。 這時，一位平時愛動腦筋的同學突然醒悟：老師，我認為這三個轉(zhuǎn)盤指針停留在藍色區(qū)域的機會都是１/４。我馬上請他說說理由。

7、這位同學很自信地說：指針在藍色區(qū)域上轉(zhuǎn)過的角度都是90，90是360的１/４。 “同意他的說法的同學請舉手?！蔽艺f完一看，舉手者寥寥無幾，可見許多同學對這種說法并沒有立刻認可。這與我的估計相同。 于是我讓大家回到實驗中去尋找規(guī)律。為了節(jié)省時間，我讓４個小組用正方形轉(zhuǎn)盤做實驗，另５個小組用正三角形轉(zhuǎn)盤做實驗。最后匯總統(tǒng)計結(jié)果顯示：正方形轉(zhuǎn)盤和正三角形轉(zhuǎn)盤指針停留在藍色區(qū)域的頻率都接近１/４。 此時我問同學們：“藍色區(qū)域的面積占總面積的比越大，指針停留在藍色上的機會也越大”這句話還需要修改嗎？ 下面是兩位同學的修正意見： “指針旋轉(zhuǎn)一周，在藍色區(qū)域轉(zhuǎn)過的角度越大，機會越大。” “干脆說

8、，指針在藍色區(qū)域轉(zhuǎn)過的角度與360的比值，就是指針停留在藍色區(qū)域的機會?！? 在上述探究活動中，我盡可能讓學生多動手操作，怕數(shù)據(jù)不夠多，我用匯總各小組數(shù)據(jù)和電腦模擬的方法，解決了“利用短暫的課堂教學時間完成幾百次、上千次實驗”的難題。學生的活動和思考過程，除了使他們親身體驗偶然性中蘊涵必然性的道理，對他們的發(fā)展至少還有以下兩方面的意義。 １．培養(yǎng)實事求是的科學態(tài)度。明白學習數(shù)學，既要大膽猜想，又要小心求證。求證不外乎兩種方法，一是邏輯推理，如以上最后三位學生的思考；二是實踐驗證，動手實驗用的就是這種方法。 ２．發(fā)展概括能力。我沒有把概率的計算方法簡單地告訴學生，而是讓學生像科學家那樣不停地

9、觀察、猜測、驗證和反思，逐漸修正自己的判斷，使之一步步趨向完善、準確，最終自己得出概率的計算方法。這中間，學生用自己的語言比較準確地概括自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，認識不斷強化。著名數(shù)學家，北師大的教授曹才翰說過，概括能力是數(shù)學能力的核心。重教學過程，特別要精心設計這樣的思維活動過程，發(fā)展學生的數(shù)學能力才不會成為空話。 案例反思 1.興趣來自現(xiàn)實生活 關(guān)于《概率與統(tǒng)計》的知識是從七年級到九年級逐步展開和深化的，教學中老是用拋擲硬幣和骰子這兩種活動，會使學生厭倦。這節(jié)課我換了新鮮的學具（轉(zhuǎn)盤）和新鮮的話題，由于它們都來自學生的生活，所以迎合學生的心理，使學生產(chǎn)生濃厚的探究興趣并得以保持。 2.以問題為線索組織學習活動 曹才翰教授在總結(jié)青浦經(jīng)驗時說過，有問題才會有思考，思維總是指向問題解決的。在這節(jié)公開課上，我從頭到尾都用一步步遞進的問題啟發(fā)學生的思維，力求使學生的思維像剝筍一樣一步步深入，語言表達一步步精確，讓學生的思維經(jīng)歷了從混沌到清晰、從似是而非到把握本質(zhì)，體會到數(shù)學思考的樂趣、探索成功的喜悅。