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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.6 2微積分基本定理教案 新人教A版選修2-2 [教學(xué)目的]使學(xué)生了解積分上限函數(shù)的概念，理解微積分基本定理，掌握牛頓—萊布尼茲公式與積分上限函數(shù)的求導(dǎo)方法． [重點(diǎn)與難點(diǎn)]重點(diǎn)是微積分基本定理與牛頓—萊布尼茲公式，難點(diǎn)是微積分基本定理的證明． [教學(xué)過程] 前面介紹了積分的概念，從理論上講，總可通過和式的極限來確定積分的值，但實(shí)際運(yùn)算起來是很繁瑣的，有時(shí)甚至無法計(jì)算。本節(jié)通過揭示積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，將引出計(jì)算積分的一個(gè)簡(jiǎn)便而可行的計(jì)算公式——牛頓—萊布尼茲公式. 為了解決這個(gè)問題，我們先來介紹積分上限函數(shù)的概念及其性質(zhì) 一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) ⒈ 積分上限函數(shù)的概念 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，為上的一點(diǎn)，不難得知，在部分區(qū)間上的積分存在，這里，既表示積分的上限又表示積分變量，為明確起見，把積分變量改用另一字母表示，從而該積分可表為. 顯然，對(duì)于上的任一取值，積分都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，因此，在區(qū)間上確定了一個(gè)以積分上限為自變量的函數(shù)，稱之為積分上限函數(shù)，通常記為，即 ⒉ 積分上限函數(shù)的性質(zhì) 積分上限函數(shù)具有如下的重要性質(zhì) 定理1（微積分基本定理）如果函數(shù)在上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) 在上可導(dǎo)，且 證明 當(dāng)時(shí)，若自變量在處取得增量且，函數(shù)相應(yīng)的增量為 （積分中值定理） 其中，介于與之間。于是， 當(dāng)或時(shí)，同理可證得：， 證畢 這個(gè)定理的重要意義在于： ⑴肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)必存在； ⑵初步揭示了積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,從而預(yù)示有可能通過原函數(shù)來求得積分； ⑶給出了積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,并由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推得 例1 求極限. 解：易知該極限為型未定式，故由洛必達(dá)法則得 例2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ⑴ ⑵ 解：⑴ ⑵；因?yàn)? 所以， . 例3 設(shè)是內(nèi)的正值連續(xù)函數(shù)，證明函數(shù) 在內(nèi)是單調(diào)增加的. 證 因?yàn)? 當(dāng)時(shí)，在上，，，且，故知 ，從而推得在內(nèi)是單調(diào)增加的. 二、牛頓—萊布尼茲公式 定理2 如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在的一個(gè)原函數(shù)，那么 證 因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以，為的一個(gè)原函數(shù)，又是的原函數(shù)，因此， 當(dāng)時(shí)，，又得 當(dāng)時(shí)，有即整理即得 證畢 注：⑴ 上式叫牛頓—萊布尼茲公式，也稱為微積分基本公式. ⑵ 在運(yùn)用該公式時(shí)，通常記為或； ⑶ 該公式對(duì)于時(shí)也適用； 公式表明：一個(gè)連續(xù)函數(shù)在某一區(qū)間上的積分等于它的任何一個(gè)原函數(shù)在該區(qū)間上的增量.這就為積分的計(jì)算提供了一個(gè)簡(jiǎn)便而有效的方法. 例4 求. 解：因?yàn)? 所以， 例5 求. 解：因?yàn)椋? 所以， 由上可知，利用牛頓—萊布尼茲公式求積分一般分兩步完成，運(yùn)算熟練后，可合并表示. 例6 求. 解： 例7 求. 解：因?yàn)椋? 所以， 例8 設(shè)，求在內(nèi)的表達(dá)式. 解：當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 所以， 習(xí)題3.2 1．求由參數(shù)表示式，所確定的函數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù)． ２．求下列極限： ⑴　　　　　　　　　　　　⑵ ３．計(jì)算下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ⑴　　　　　　?、? 4．計(jì)算下列各積分： ⑴　　　　　　　　　　?、? ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺　　　　　　　　　　　　　 ⑻ ⑼,其中, ． 5．設(shè)，求在的表達(dá)式． ６．求函數(shù)的極值． ７．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且，試證明：在內(nèi)有．