2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1 指數(shù)函數(shù)教案 新人教A版必修1教學(xué)目標(biāo)1通過具體實例了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景2理解有理指數(shù)冪的含義，理解擴張指數(shù)范圍的必要性3通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算4理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義5能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點6在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型教學(xué)要求指數(shù)函數(shù)是本章的重點內(nèi)容之一，也是高中新引進的第一個基本初等函數(shù)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時，建議首先通過實際問題引入分數(shù)指數(shù)冪，為此先將平方根與立方根的概念擴充到次方根，將二次根式的概念擴充到一般根式的概念，然后進一步介紹分數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)，最后結(jié)合具體實例，通過有理數(shù)冪的方法介紹了無理指數(shù)冪的意義，從而將指數(shù)的取值范圍擴充到了實數(shù)在實數(shù)指數(shù)冪的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)及其圖象和性質(zhì)教學(xué)中應(yīng)通過具體的實例從正整數(shù)指數(shù)冪開始到現(xiàn)實中出現(xiàn)的分數(shù)指數(shù)冪，引出指數(shù)的取值范圍需要進行必要的擴充根式是教學(xué)的一個難點，教材第一部分安排根式這部分內(nèi)容，為講分數(shù)指數(shù)冪做準(zhǔn)備，所以只需要講根式的概念、方根的性質(zhì)為了分散難點，在教學(xué)中可以適當(dāng)放慢進度，多舉幾個具體的例子，之后再給出次方根的一般定義為突破方根的性質(zhì)的難點，要抓住立方根與平方根的性質(zhì)，通過探究得到當(dāng)分奇偶數(shù)時方根的性質(zhì)分數(shù)指數(shù)冪是教學(xué)上的又一個難點，也是指數(shù)概念的又一次推廣教學(xué)時應(yīng)注意循序漸進教學(xué)中要讓學(xué)生反復(fù)理解分數(shù)指數(shù)冪的意義，明確它是根式的一種新的寫法教科書通過比較本節(jié)開始時的問題引入指數(shù)函數(shù)，教學(xué)中要讓學(xué)生體會指數(shù)函數(shù)的概念來自實踐，并體會其中蘊含的函數(shù)關(guān)系，可引導(dǎo)學(xué)生在探究中獲得函數(shù)的共同特征，這樣就可以很自然地給指數(shù)函數(shù)下定義了教學(xué)中注意對底數(shù)規(guī)定的合理性解釋：且在理解指數(shù)函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，建議通過列表描點繪圖或者利用信息技術(shù)繪圖，教學(xué)中要注意發(fā)揮指數(shù)函數(shù)圖象的作用，讓學(xué)生親自作出圖象使得圖象成為研究函數(shù)性質(zhì)的直觀工具，建議盡可能地引導(dǎo)學(xué)生通過觀察圖象自己歸納概括指數(shù)函數(shù)的一些性質(zhì)本節(jié)容量較大，課時較多，建議教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的實際情況合理劃分每節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，以便于學(xué)生的系統(tǒng)學(xué)習(xí)教學(xué)重點指數(shù)函數(shù)的概念和圖象教學(xué)難點根式和分數(shù)指數(shù)冪教學(xué)時數(shù)6課時教學(xué)過程第一課時2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運算根式與運算新課導(dǎo)入通過課本第48頁的兩個問題引入本節(jié)的主題內(nèi)容問題1 從xx年起的未來20年，我國國內(nèi)生產(chǎn)總值年平均增長率可達到7.3%那么，在xx2020年，各年的國內(nèi)生產(chǎn)總值可望為xx年的多少倍？引導(dǎo)學(xué)生逐年計算，并得出規(guī)律：設(shè)年后我國的國內(nèi)生產(chǎn)總值為xx年的倍，那么問題2 當(dāng)生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14會按確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”根據(jù)此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間的關(guān)系當(dāng)生物死亡了5730，25730，35730，年后，它體內(nèi)碳14的含量分別為，是正整數(shù)指數(shù)冪它們的值分別為，當(dāng)生物死亡6000年，10000年，100000年后，它體內(nèi)碳14的含量分別為，這些式子的意義又是什么呢？這些正是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容新課進展一、根式1回顧初中學(xué)習(xí)的內(nèi)容：平方根、立方根4的平方根為，3的平方根為，16的平方根為，等等一般地，如果，那么叫做的平方根對于立方根則由師生一起舉出若干例子2根式（1）類比平方根、立方根，我們看下面的一些例子：，那么2是32的5次方根，記作；，那么3是243的5次方根，記作；，那么2是16的4次方根，記作；，那么3是81的4次方根，記作；，那么-2是32的5次方根，記作；，那么-2也是16的4次方根，記作-（2）根式一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且當(dāng)為奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的次方根是一個負數(shù)這時，的次方根用符號表示當(dāng)為偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)這時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示正的次方根與負的次方根可以合并寫成（）例如負的次方根可以表示為負數(shù)沒有偶次方根0的任何次方根都是0，記作式子叫做根式（radical），其中叫做根指數(shù)（radical exponent），叫做被開方數(shù)（radicand）（3）根式的性質(zhì)通過討論探究得到： 例如， ， =3課堂例題例1 （課本第50頁例1）本例是方根與根式性質(zhì)的具體運用課堂練習(xí)求值：（1）；（2）；（3）（4）本課小結(jié)根式：如果，那么叫做的次方根根式性質(zhì)： （5）布置作業(yè)課本第59頁習(xí)題2.1A組第1（1）（4）題第二課時2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運算分數(shù)指數(shù)冪復(fù)習(xí)導(dǎo)入通過提問復(fù)習(xí)上節(jié)課主要學(xué)習(xí)內(nèi)容1請講一講你所理解的根式2根據(jù)次方根的定義和數(shù)的運算，能否把根式表示為分數(shù)指數(shù)的形式？通過討論，探索新知新課進展二、分數(shù)指數(shù)冪1實例引入，形成沖突看下面的例子：當(dāng)時，（1），又，所以；（2），又，所以從上面的例子，我們看到，當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式那么，當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式是否也可以表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式呢？2復(fù)習(xí)舊知，導(dǎo)出新知為此，我們先回顧初中所學(xué)的指數(shù)概念，當(dāng)時，0的0次冪沒有意義，討論：的結(jié)果是什么？提示：注意分類討論問：我們學(xué)習(xí)過整數(shù)指數(shù)冪哪些運算性質(zhì)：答：（1）；（2）；（3）根據(jù)次方根的定義，規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：（，）的正分數(shù)指數(shù)冪等于, 的負分數(shù)指數(shù)冪無意義.由于分數(shù)有既約分數(shù)和非既約分數(shù)之分，因此當(dāng)時，應(yīng)當(dāng)遵循原來的運算順序，通常不寫成分數(shù)指數(shù)冪形式例如：，而規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于分數(shù)指數(shù)冪即有理數(shù)指數(shù)冪同樣適用（1）；（2）；（3）課堂例題例1 （課本第51頁例2）求值：本例的目的是鞏固分數(shù)指數(shù)冪的概念例2 求下列各式的值：（1）； （2）；（3）； （4）解 () ；（2）；（3）； （4）課堂練習(xí)課本第51頁例3、第52頁例4、例5上述三例是利用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行計算和化簡，學(xué)生練習(xí)時要嚴格按照書本的步驟進行對照，因為分數(shù)指數(shù)冪的定義和運算都剛剛學(xué)習(xí)，老師講解時可以仿照單項式乘除法進行3本課小結(jié)（1）分數(shù)指數(shù)冪的定義，注意底數(shù)的限制條件（2）分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，是整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)的推廣4布置作業(yè)課本第54頁練習(xí)1、2（1）（6）題；課本第59頁習(xí)題2.1A組第2、3題第三課時2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運算無理指數(shù)冪復(fù)習(xí)導(dǎo)入通過解答一組習(xí)題復(fù)習(xí)上節(jié)課主要學(xué)習(xí)內(nèi)容課堂練習(xí)1課本第54頁練習(xí)第3題2課本第59頁習(xí)題2.1A組第4（1）（4）題新課進展三、無理指數(shù)冪1動手實驗，探索新知問：我們?nèi)绾卫斫饽?？首先明確：表示一個確定的實數(shù)然后通過計算器的列表功能或者投影課本第53頁的表格，計算的近似值，發(fā)現(xiàn)下面的規(guī)律：當(dāng)?shù)牟蛔憬浦祻男∮诘姆较虮平鼤r，的近似值從小于的方向逼近；當(dāng)?shù)倪^剩近似值從大于的方向逼近時，的近似值從大于的方向逼近所以就是有理指數(shù)冪按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果2形成概念，擴充認知一般地，無理指數(shù)冪是無理數(shù))是一個確定的數(shù)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理指數(shù)冪即：（1）；（2）；（3）3變式操作，鞏固概念表示一個確定的實數(shù)按照前面的“用有理數(shù)逼近無理數(shù)”的思想，請你利用計算器（或者計算機）進行實際操作，感受“逼近”過程操作過程：取的不足近似值或過剩近似值：14，141，1414，14142，141421（的不足近似值）15，142，1415，14143，141422（的過剩近似值）可以得到，和，當(dāng)?shù)牟蛔憬浦祻男∮诘姆较虮平鼤r，的近似值從小于的方向逼近，當(dāng)?shù)倪^剩近似值從大于的方向逼近時，的近似值從大于的方向逼近4本課小結(jié)本節(jié)課我們通過“用有理數(shù)逼近無理數(shù)”的思想引進無理數(shù)指數(shù)冪像分數(shù)指數(shù)冪一樣，我們研究的無理數(shù)指數(shù)冪（其中是無理數(shù)）的底數(shù)也是正數(shù)我們把指數(shù)冪的運算性質(zhì)推廣到冪指數(shù)為實數(shù)的情形這樣前面提到的對任意的都是有意義的5布置作業(yè)課本第59頁習(xí)題2.1A組第4（5）（8）題第四課時2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（1）復(fù)習(xí)導(dǎo)入通過提問導(dǎo)入本節(jié)課主要學(xué)習(xí)內(nèi)容問：函數(shù)（）的解析式與函數(shù)的解析式有什么共同特征？通過師生討論，歸納概括得出：如果用字母代替數(shù)和1.073，那么以上兩個函數(shù)的解析式都可以表示為的形式問：底數(shù)的取值范圍怎么規(guī)定合適？提示：當(dāng)時，所以規(guī)定；當(dāng)時，如中，指數(shù)取時，就沒有意義時，當(dāng)時，恒為0；當(dāng)時，無意義結(jié)論：規(guī)定，且一、指數(shù)函數(shù)1指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)（exponential function），其中是自變量，函數(shù)的定義域是課堂例題例1 當(dāng)動植物體死亡以后，體內(nèi)的濃度就要因為它的衰變發(fā)生減少，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”這樣,人們就可以根據(jù)生物體中含有的的多少來測定其生存的年代考古學(xué)家得到一塊魚化石, 根據(jù)魚化石中的的殘留量，考古學(xué)家推斷這群魚是6300多年前死亡的，求這塊魚化石中的殘留量約占原始含量的多少？ 解設(shè)魚化石中的原始含量為1， 1年后殘留量為，由于死亡機體中原有的按確定的規(guī)律衰減，所以生物體的死亡的年數(shù)與其體內(nèi)每克組織的含量有如下關(guān)系：死亡年數(shù)123含量因此，生物死亡年后體內(nèi)的含量由于大約每經(jīng)過5730年，死亡生物體內(nèi)的含量衰減為原來的一半，所以 ，于是 ，這樣生物死亡年后體內(nèi)含量當(dāng)時，利用計算器， 得到即這塊魚化石中的殘留量約占原始含量的下面我們來研究指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)2指數(shù)函數(shù)的圖象在同一坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)的圖象（可用描點法，也可借助科學(xué)計算器或計算機）（1）（2）（3）（4）（5） 操作過程：（1）先畫的圖象，再畫的圖象，再單獨觀察兩個函數(shù)的圖象特征，再比較兩個圖象的關(guān)系（2）進行適當(dāng)討論之后，再畫和的圖象，并與前面觀察所得結(jié)論進行比較（3）畫的圖象（4）通過觀察以上函數(shù)的圖象的特征，歸納出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)一般地，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下表所示圖象定義域 值域 性質(zhì)（1）過定點，即時，（2）在上是增函數(shù)（2）在上是減函數(shù)例2 （課本第56頁例6）已知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3，p），求，的值問：請你說出解決本例的步驟和過程明確底數(shù)是確定指數(shù)函數(shù)的要素4本課小結(jié)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)投影出一般的指數(shù)函數(shù)的特征圖象，并再次顯示指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)5布置作業(yè)課本第59頁習(xí)題2.1A組第5、6題第五課時2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（2）復(fù)習(xí)導(dǎo)入通過提問復(fù)習(xí)上節(jié)課主要學(xué)習(xí)內(nèi)容問：我們是怎樣研究指數(shù)函數(shù)的？通過一般的指數(shù)函數(shù)的特征圖象，總結(jié)其單調(diào)性和特殊點新課進展二、指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用課堂例題例1 （課本第57頁例7）引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)單調(diào)性，通過自變量的大小關(guān)系可以判斷相應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系例2 （課本第57頁例8）結(jié)合本例給出第58頁的“探究”，目的是讓學(xué)生體會指數(shù)增長，初步感受“指數(shù)爆炸”的含義，另外這里可以適當(dāng)插入思想教育課堂練習(xí)1比較下列各題中兩個數(shù)的大?。海?）；（2）；（3）解 （）考察指數(shù)函數(shù)，由于底數(shù)，所以指數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，（2）考察指數(shù)函數(shù)，由于底數(shù)，所以指數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)，（3）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知， 即，2（1）已知，試比較的大小；（2）已知，求實數(shù)的取值范圍解 （）考察指數(shù)函數(shù)，由于底數(shù)，所以指數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)，（2）考察指數(shù)函數(shù)，由于底數(shù)，所以指數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)，即的取值范圍是 布置作業(yè)課本第59頁習(xí)題2.1A組第7、8、9題第六課時2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（3）復(fù)習(xí)導(dǎo)入通過提問復(fù)習(xí)前面5節(jié)課主要學(xué)習(xí)內(nèi)容問1：我們按照怎樣的順序擴充指數(shù)及其運算？答：從具體的實際問題引出指數(shù)的取值范圍應(yīng)進行必要的擴充，先把整數(shù)指數(shù)冪擴充到分數(shù)指數(shù)冪，再進一步擴充到無理指數(shù)冪在擴充過程中整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)仍然保留，但分數(shù)指數(shù)冪的意義以及指數(shù)的運算性質(zhì)中的限制條件“”是必不可少的問2：對于指數(shù)函數(shù)，你認為需要注意哪些方面？答：（1）底數(shù)的取值有范圍限制：且；（2）有些函數(shù)貌似指數(shù)函數(shù)，實際上卻不是例如（且，），（且，）有些函數(shù)看起來不像是指數(shù)函數(shù)，實際上卻是例如（且）形如（且，）的函數(shù)是一種指數(shù)型函數(shù)，上節(jié)課我們遇到的（）模型，就是此類型（3）指數(shù)函數(shù)從大的來說按照底數(shù)分為兩類：和不要混淆這兩類函數(shù)的性質(zhì)（4）函數(shù)的圖象與（且）的圖象關(guān)于軸對稱，這是因為點與點關(guān)于軸對稱根據(jù)這種對稱性就可以通過函數(shù)的圖象得到的圖象（5）利用指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)比較大小，解決的方法主要是：抓底看增減進行比較對于一般的字母底數(shù)要運用分類討論的思想解決問題教學(xué)實施過程中師生一道完成歸納和總結(jié)新課進展課堂例題例1 解決下面問題：1 已知指數(shù)函數(shù)是上的單調(diào)減函數(shù)，求的取值范圍.2 求的值: (1); (2).3 求的取值范圍：(1); (2); (3).設(shè)計說明:通過三個簡單練習(xí)來鞏固“指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”，尤其是單調(diào)性；同時為本節(jié)課利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解決實際問題埋下伏筆.C例2 在抗擊“SARS”中，某醫(yī)藥研究所開發(fā)出防治“SARS”的M、N兩種同類型新藥.據(jù)監(jiān)測,如果成人按規(guī)定的劑量服用,服用兩種藥物后每毫升血液中的含藥量(微克)與服藥后的時間(小時)之間分別近似滿足右圖所示的曲線，其中是線段,曲線是型如的函數(shù)圖像. C(1) 分別寫出服用兩種藥后關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(2) 據(jù)測定,每毫升血液中含藥量不少于2微克時對治療疾病有效，則兩種藥物中哪種藥的藥效持續(xù)時間較長？(3) 假如兩位病人在同一時刻分別服用這兩種藥物，則何時兩位病人每毫升血液中含藥量相等?何時開始,服用M藥的病人每毫升血液中含藥量較高？解：（1）M藥，N藥.設(shè)計說明:本例的設(shè)計意圖：根據(jù)圖像信息確定數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)，這個環(huán)節(jié)由學(xué)生板演.（2）借助函數(shù)圖像，對于M藥，持續(xù)時間為小時；對于N藥，持續(xù)時間約為小時，故N藥的持續(xù)時間較長.設(shè)計說明:此處是利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決實際問題.對于N藥,不需要知道第2次含藥量為2毫克的時刻值,只需要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,明確這個時刻應(yīng)在23之間即可.由此即可判斷出N藥的持續(xù)時間在(小時)到(小時)之間.在判斷出N藥持續(xù)時間長這個結(jié)論后，還可以順勢指出N藥比較好，因為見效快、藥效持續(xù)時間長.（3）令,即時兩位病人的血液中含藥量相等.顯然,當(dāng)時,服用M藥的含藥量較低;當(dāng)時,令,即3小時后服用M藥的含藥量高.設(shè)計說明:這里重點研究兩個不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)系.學(xué)生指出:當(dāng)時圖象在圖象上方,此時應(yīng)啟發(fā)學(xué)生:如何能保證兩個函數(shù)圖象在沒有交點?接著與開始時的練習(xí)題3呼應(yīng).設(shè)計說明:在此處對問題稍作發(fā)散引申,主要是深化學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的認識,從一定程度上起到了培養(yǎng)學(xué)生思維嚴密性的作用.思考：1.假如某病人早上6點第一次服用M藥,為了保持每毫升血液中不少于2微克的含藥量，第二次服藥時間應(yīng)該在當(dāng)天幾點鐘? 分析：對任意恒成立,即對任意恒成立.研究兩個函數(shù)與的圖象交點可以得到一個直觀理解.但是利用圖象并不一定準(zhǔn)確，這個問題留作課后思考.設(shè)計說明:這個思考題有較大難度,以高一學(xué)生的認知水平是很難解決的,但這種問題可以激發(fā)學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心；在提倡研究性學(xué)習(xí)的今天，該問題也不失為一個值得思索的研究題材,而在課堂教學(xué)中挖掘研究課題不正是我們在新課程標(biāo)準(zhǔn)下開展研究性學(xué)習(xí)的良好途徑么？2外來物種水葫蘆在1901年作為觀賞植物引入中國，但是到了100年后的今天，水葫蘆已經(jīng)到了一發(fā)而不可收拾的地步了水葫蘆每5天就繁殖1倍，試建立水葫蘆的數(shù)量關(guān)于時間變量的函數(shù)關(guān)系式本節(jié)課我們通過對一類藥物殘留量問題的探究,學(xué)習(xí)了如何根據(jù)實際問題建立指數(shù)函數(shù)模型、如何利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決實際問題，同時也對數(shù)形結(jié)合的思想方法有了更深的認識.當(dāng)然，指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用中還有很多問題值得我們繼續(xù)探究.布置作業(yè)課本第82頁復(fù)習(xí)參考題A組第1、2、7、9題