2019-2020年高中數(shù)學 2.2 直線的方程 2.2.3.1 兩條直線相交、平行與重合的條件教案 新人教B版必修2教學分析教材利用方程組解的個數(shù)來討論兩條直線相交、平行與重合的條件值得注意的是在教學中，調(diào)動學生的積極性，讓學生自己歸納出兩條直線相交、平行和重合的條件三維目標1掌握兩條直線相交、平行與重合的條件，提高學生歸納、類比的能力2能夠判斷兩直線的位置關(guān)系，提高學生分析問題、解決問題的能力重點難點教學重點：兩條直線的位置關(guān)系、平行條件的應用教學難點：歸納兩直線平行、相交與重合的條件課時安排1課時導入新課設(shè)計1.在平面直角坐標系中，兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交、重合當兩條直線無交點時，它們平行；當兩條直線有唯一交點時，它們相交；當兩條直線有無數(shù)個交點時，它們重合本節(jié)利用直線方程來討論兩條直線的位置關(guān)系，教師引出課題設(shè)計2.在立體幾何中，兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交、異面，在本章所討論的兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交、重合那么如何利用方程來討論兩直線的位置關(guān)系呢？教師引出課題推進新課(1)點P(x0，y0)是直線l：AxByC0上的一點，則x0與y0滿足什么條件？(2)已知兩條直線的方程為l1：A2xB1yC10，l2：A2xB2yC20.試判斷直線l1與l2的交點個數(shù)，并確定它們位置關(guān)系.(3)歸納兩條直線相交、平行與重合的條件.討論結(jié)果：(1)Ax0By0C0.(2)解方程組，B2B1，得(A1B2A2B1)xB2C1B1C20.當A1B2A2B10時，得x；因此，當A1B2A2B10時，方程組有唯一一組解此時直線l1與l2相交，且有唯一交點，交點坐標是方程組的解當A1B2A2B10，而B1C2C1B20或A2C1A1C20時，方程組無解兩直線無交點，此時l1l2.當A1B2A2B10，而B1C2C1B20或A2C1A1C20時，方程組有無數(shù)組，即此時，兩直線l1與l2有無數(shù)個交點，即l1與l2重合(3)l1與l2相交A1B2A2B10或(A2B20)l1與l2平行l(wèi)1與l2重合(1)兩直線平行，它們的傾斜角和在y軸上的截距相等嗎？討論結(jié)果：(1)畫圖分析，得它們的傾斜角相等，在y軸上的截距不相等如下圖所示；(2)平行；(3)l1l2 k1k2且b1b2；(4)l1與l2重合k1k2，且b1b2.思路1例1已知直線l1：AxByC10，l2：AxByC20，求證：當C1C2時，l1與l2平行證明：因為ABBA0，所以l1與l2平行或重合又因為BC2BC1B(C2C1)：當B0時，已知C1C2，所以BC2BC10，因此兩直線平行；當B0時，由直線方程的定義，知A0，于是兩條直線的方程變?yōu)閤，x，這是兩條與x軸垂直的直線，所以它們平行或重合又由于C1C2，所以它們是平行的直線點評：與直線AxByC0平行的直線方程可設(shè)為AxByD0(CD)變式訓練1過點A(1,2)，且平行于直線2x3y50的直線方程是_解析：設(shè)所求直線方程為2x3ym0(m5)，則2132m0，解得m4，即所求直線方程為2x3y40.答案：2x3y402求與直線2x3y50平行，且在兩坐標軸上截距之和是的直線l的方程解：設(shè)直線l的方程為2x3ym0(m5)當x0時，y；當y0時，x.則，解得m1.即直線l的方程為2x3y10.3求通過下列各點且與已知直線平行的直線方程：(1)(1,2)，yx1；(2)(1，4)，2x3y50.解：(1)因為所求直線與已知直線平行，所以可設(shè)所求直線為yxb.由于所求直線過點(1,2)，代入方程，得b.因此所求方程為yx，即x2y50.(2)設(shè)所求的直線方程為2x3yD0.由于所求直線過點(1，4)，代入方程，得D10.因此，所求直線方程為2x3y100.思路2例2判斷下列各對直線是否平行，并說明理由(1)l1：y3x2，l2：y3x5；(2)l1：y2x1，l2：y3x；(3)l1：x5，l2：x8.解：(1)設(shè)兩直線的斜率分別是k1，k2，在y軸上截距分別是b1，b2，則k13，b12，k23，b25.因為k1k2，b1b2，所以l1l2.(2)設(shè)兩直線的斜率分別是k1，k2，在y軸上截距分別是b1，b2，則k12，k23，b11，b20.因為k1k2，所以l1與l2不平行(3)由方程可知l1x軸，l2x軸，且兩直線在x軸上截距不相等，所以l1l2.點評：判斷兩直線是否平行時，要對直線的斜率討論，特別是當斜率都不存在時，即直線xa與直線xb(ab)平行變式訓練1直線l1過A(m,1)，B(1，m)，直線l2過點P(1,2)，Q(5,0)，且l1l2，則m_.解析：k1，k2，由于l1l2，則，解得m.答案：2已知直線l1：xy10，直線l2：kx2y30，且l1l2，則k_.答案：2例3已知兩直線l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，當m為何值時，直線l1與l2(1)平行；(2)重合；(3)相交？解：對于平行及重合的判斷，可以通過斜率與截距來分析而對于l1與l2相交的情況，只能通過解方程組來尋求規(guī)律，當m0時，l1：x60，l2：2x3y0，此時l1與l2相交當m0時，l1：yx，l2：yxm.(1)若l1l2，則，解得m1.(2)若l1與l2重合，則，解得m3.故m1時l1l2；m3時l1與l2重合(3)由l1的方程得xmy6，代入l2的方程得(m2)(my6)3y2m0，即(m22m3)y124m，顯然，m22m30時無解，只有當m22m30，即m1且m3時，方程才有解，且是唯一解，故只有當m1且m3時兩直線相交點評：本題主要考查兩直線相交、平行與重合的條件，要正確解決本題需要有足夠的耐心和具有分類討論的能力變式訓練設(shè)三條直線l1：xy10，l2：kx2y30，l3：x(k1)y50.若這三條直線交于一點，求k的值解：解由l1、l2的方程組成的方程組得所以l1與l2的交點是P(，)又因為l1、l2、l3交于一點，即P點坐標滿足直線l3的方程，(k1)50.解得k7或2(舍去)所以k7.1已知直線l1：ax3y10，l2：x(a2)ya0，它們的傾斜角及斜率依次分別為1，2，k1，k2則(1)a_時，1150；(2)a_時，l2x軸；(3)a_時，l1l2；(4)a_時，l1、l2重合答案：(1)(2)2(3)3(4)12求下列兩條直線的交點：l1：x2y10，l2：x2y20.解：解方程組得所以這兩條直線的交點是M(，)3已知平行四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0,0)，B(2，1)，C(4,2)，D(2,3)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明分析：先作圖猜想，然后給出證明由斜率相等得兩組直線分別平行，四邊形ABCD是平行四邊形證明：AB邊所在直線的斜率kAB，CD邊所在直線的斜率kCD，BC邊所在直線的斜率kBC，DA邊所在直線的斜率kDA.因為kABkCD，kBCkDA，所以ABCD，BCDA.因此，四邊形ABCD是平行四邊形4判定下列各對直線的位置關(guān)系，若相交，則求出交點(1)l1：7x2y10，l2：14x4y20.(2)l1：()xy7，l2：x()y60.(3)l1：3x5y10，l2：4x3y5.答案：(1)重合；(2)平行；(3)相交，交點坐標為(2，1)5求過點A(0，4)且與直線2x3y50平行的直線方程解法一：直線2x3y50的斜率為，所求直線斜率為.又直線過點A(0，4)，由直線方程的點斜式易得所求直線方程為2x3y120.解法二：設(shè)與直線2x3y50平行的直線l的方程為2x3ym0，l經(jīng)過點A(0，4)，203(4)m0，解之，得m12.所求直線方程為2x3y120.請你探究一下三條直線l1：xay10，l2：xya0，l3：axy10構(gòu)成三角形的條件是什么？方法一：任兩條直線都相交，則，故a1.又三條直線不交于同一點，故其中兩條直線的交點(1a,1)不在直線axy10上，即a(1a)110，a2a20，(a2)(a1)0，a2，a1.綜合上述結(jié)果，以上三條直線構(gòu)成三角形的條件是a1，a2.方法二：因為三條直線能構(gòu)成三角形，所以三條直線兩兩相交且不共點，即任意兩條直線都不平行，且三線不共點可以把不能構(gòu)成三角形的情況排除掉若三條直線交于同一點，則其中兩條直線的交點(1a,1)在直線axy10上，a(a1)110，a1或a2.若l1l2，則有1，a1；若l2l3，則有1a，a1；若l1l3，則有a，a1.所以若三條直線構(gòu)成三角形，則需a1，a2.本節(jié)課學習了：1兩條直線平行、相交與重合的條件；2求兩直線交點坐標，解決有關(guān)平行問題本節(jié)練習B1,2題本節(jié)課從知識內(nèi)容來說并不是很難，但從解析幾何的特點看，就需要培養(yǎng)學生如何利用直線方程來討論其特點，得到直線交點，以及交點個數(shù)對應于直線在平面內(nèi)的相對位置關(guān)系在教學過程中應該圍繞兩直線一般方程的系數(shù)的變化來揭示兩直線方程聯(lián)立解的情況，從而判定兩直線位置特點，其實質(zhì)是直線方程AxByC0中A、B、C就表示了直線的本質(zhì)屬性還要注重研究方法的探討，為將學習圓錐曲線時，對于曲線交點的研究打下基礎(chǔ)著名數(shù)學家陳省身(公元1911年2004年12月3日)在數(shù)學領(lǐng)域，沃爾夫獎與菲爾茲獎是公認的能與諾貝爾獎相媲美的數(shù)學大獎菲爾茲獎主要獎勵在現(xiàn)代數(shù)學中做出突出貢獻的年輕數(shù)學家，而沃爾夫獎主要獎勵在數(shù)學上做出開創(chuàng)性工作、具有世界聲譽的數(shù)學家到1990年為止，世界上僅有24位數(shù)學家獲得過沃爾夫獎，而陳省身教授就是其中之一他由于在整體微分幾何上的杰出工作獲得1984年度沃爾夫獎，成為唯一獲此殊榮的華人數(shù)學家陳省身先生1911年生，浙江嘉興人.1930年畢業(yè)于南開大學數(shù)學系，受教于姜立夫教授.1934年獲清華大學碩士學位同年入德國漢堡大學隨布拉施克教授研究幾何，僅用了1年零3個月便在1936年獲博士學位后，以“法國巴黎索邦中國基金會博士后研究員”身份到巴黎大學從事研究工作，師從國際數(shù)學大師E嘉當.19371943年，任清華大學和西南聯(lián)合大學教授.19431946年在美國普林斯頓高級研究所任研究員在微分幾何中高斯波內(nèi)公式的研究和拓撲學方面取得重要進展.19461948年籌建中央數(shù)學研究所并任代理所長.19491960年，任美國芝加哥大學教授，19601979年任加州大學伯克利分校教授，19811984年任美國國家數(shù)學研究所首任所長，后任名譽所長他是美國科學院院士，法國、意大利、俄羅斯等國家科學院外籍院士他對整體微分幾何的深遠貢獻，影響了整個數(shù)學界，被公認為“20世紀偉大的幾何學家”，先后獲美國國家科學獎?wù)?、以色列沃爾夫獎、中國國際科技合作獎及首屆邵逸夫數(shù)學科學獎等多項榮譽陳省身對祖國心懷赤誠，1972年后多次回到祖國訪問講學，慨言“為祖國工作，是我崇高的榮譽”.xx年定居南開大學，被天津市人民政府授予永久居留權(quán)他盛贊新中國欣欣向榮，矚望祖國早日統(tǒng)一，誠摯地向黨和國家領(lǐng)導人就發(fā)展科學事業(yè)、培養(yǎng)和引進人才等建言獻策，受到高度重視.1984年應聘出任南開數(shù)學研究所所長，創(chuàng)辦立足國內(nèi)、面向世界培養(yǎng)中國高級數(shù)學人才基地努力推進中國科學家與美國及其他各國的學術(shù)交流，促成國際數(shù)學家大會在北京召開，并被推選為大會名譽主席他殫精竭慮地為把中國建成數(shù)學大國、科技強國貢獻力量，多次受到鄧小平、江澤民等黨和國家領(lǐng)導人接見，高度稱贊他對中國數(shù)學科學發(fā)展所作的杰出貢獻除了在數(shù)學上做出的巨大成就，陳省身教授還培養(yǎng)了一大批世界級的科學家，其中包括諾貝爾物理學獎獲得者楊振寧，菲爾茲獎獲得者丘成桐，中國國家自然科學獎一等獎獲得者吳文俊等