2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3 圓的方程 2.3.2 圓的一般方程教案 新人教B版必修2教學(xué)分析教材利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)出了圓的一般方程，并討論了二元二次方程與圓的關(guān)系，值得注意的是在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析圓的兩種方程形式的特點和各自適用的范圍三維目標(biāo)1掌握圓的一般方程的特點，培養(yǎng)分類討論的數(shù)學(xué)思想2會求圓的方程，提高分析問題、解決問題的能力重點難點教學(xué)重點：圓的一般方程及其與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化教學(xué)難點：對條件“D2E24F>0”的理解課時安排1課時導(dǎo)入新課設(shè)計1.寫出圓心為(a，b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2.將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開并整理，得x2y22ax2bya2b2r20.如果設(shè)D2a，E2b，F(xiàn)a2b2r2，得到方程x2y2DxEyF0，這說明圓的方程還可以表示成另外一種非標(biāo)準(zhǔn)方程形式能不能說方程x2y2DxEyF0所表示的曲線一定是圓呢？這就是我們本堂課學(xué)習(xí)的內(nèi)容設(shè)計2.問題：求過三點A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圓的方程利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問題顯然有些麻煩，用直線的知識解決又有其簡單的局限性，那么這個問題有沒有其他解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式推進新課(1)前一章我們研究直線方程用的什么順序和方法？,(2)這里我們研究圓的方程是否也能類比研究直線方程的順序和方法呢？,(3)給出式子x2y2DxEyF0，請你利用配方法化成不含x和y的一次項的式子.,(4)把式子(xa)2(yb)2r2與x2y2DxEyF0配方后的式子比較，得出x2y2DxEyF0表示圓的條件.,(5)對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程作一比較，看各自有什么特點？討論結(jié)果：(1)以前學(xué)習(xí)過直線，我們首先學(xué)習(xí)了直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式，最后學(xué)習(xí)一般式大家知道，我們認(rèn)識一般的東西，總是從特殊入手如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式(點斜式、兩點式、)展開整理而得到的(2)我們想求圓的一般方程，可仿照直線方程試一試！我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，把標(biāo)準(zhǔn)形式展開，整理得到，也是從特殊到一般(3)把式子x2y2DxEyF0配方得(x)2(y)2.(4)(xa)2(yb)2r2中，r>0時表示圓，r0時表示點(a，b)，r<0時不表示任何圖形因此式子(x)2(y)2.當(dāng)D2E24F>0時，表示以(，)為圓心，為半徑的圓；當(dāng)D2E24F0時，方程僅有一組實數(shù)解x，y，即只表示一個點(，)；當(dāng)D2E24F<0時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形綜上所述，方程x2y2DxEyF0表示的曲線不一定是圓，由此得到圓的方程都能寫成x2y2DxEyF0的形式，但方程x2y2DxEyF0表示的曲線不一定是圓，只有當(dāng)D2E24F>0時，它表示的曲線才是圓因此x2y2DxEyF0表示圓的條件是D2E24F>0.我們把形如x2y2DxEyF0表示圓的方程稱為圓的一般方程(5)圓的一般方程形式上的特點x2和y2的系數(shù)相同，不等于0.沒有xy這樣的二次項圓的一般方程中有三個待定的系數(shù)D、E、F，因此只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯思路1例1將下列圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出圓的圓心坐標(biāo)和半徑：(1)x2y24x6y120；(2)4x24y28y4y150.解：(1)對方程左邊配方，方程化為(x2)2(y3)225.所以圓心的坐標(biāo)為(2,3)，半徑為5.(2)方程兩邊除以4，得x2y22xy0.方程左邊配方，得(x1)2(y)25.所以圓心的坐標(biāo)為(1，)，半徑為.變式訓(xùn)練1圓x2y24x8y0的圓心坐標(biāo)是_，半徑r_.答案：(2,4)22圓x2y2Dx4y10的半徑r4，則D_.答案：2例2求過三點A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)的圓的方程解：設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0.根據(jù)題設(shè)條件，用待定系數(shù)法確定D，E，F(xiàn).因為點A，B，C的圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解，把它們的坐標(biāo)依次代入上面的方程，整理得到關(guān)于D，E，F(xiàn)的三元一次方程組解這個方程組，得于是得到所求圓的方程x2y26x2y150.點評：我們也可以設(shè)圓的方程為(xa)2(yb)2r2.同樣，根據(jù)已知條件可以列出三個未知數(shù)的方程組通過解方程組，求出a，b，r.那樣做，會有較大的運算量變式訓(xùn)練求過三點O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圓的方程，并求圓的半徑和圓心坐標(biāo)解：設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0，由O，M1，M2在圓上，則有解得D8，E6，F(xiàn)0.故所求圓的方程為x2y28x6y0，即(x4)2(y3)252.所以圓心坐標(biāo)為(4，3)，半徑為5.例3已知一曲線是與兩個定點O(0,0)，A(3,0)距離的比為的點的軌跡，求這個曲線的方程，并畫出曲線解：在給定的坐標(biāo)系中，設(shè)M(x，y)是曲線上的任意一點，點M在曲線上的條件是.由兩點之間的距離公式，上式用坐標(biāo)表示為，兩邊平方并化簡，得曲線方程x2y22x30，將方程配方，得(x1)2y24.所以所求曲線是圓心為C(1,0)，半徑為2的圓(如下圖)點評：到兩定點A(a，b)，B(c，d)距離的比為(>0)的點的軌跡為C，當(dāng)1時，C為直線即線段AB的垂直平分線；當(dāng)>1或0<<1時，C為圓本題中利用含有動點M的等式，求得軌跡方程的方法稱為定義法變式訓(xùn)練求與兩定點A(1,0)，B(5,0)距離的比為的點的軌跡方程，并說明軌跡形狀解：設(shè)M(x，y)是軌跡上任一點，則有，有，整理，得x2y2x20，即(x)2y2，軌跡方程是(x)2y2，其形狀是以(，0)為圓心，半徑為的圓思路2例4已知點P(10,0)，Q為圓x2y216上一動點當(dāng)Q在圓上運動時，求PQ的中點M的軌跡方程解法一：如下圖，作MNOQ交x軸于N，則N為OP的中點，即N(5,0)因為|MN|OQ|2(定長)所以所求點M的軌跡方程為(x5)2y24.解法二：設(shè)M(x，y)為所求軌跡上任意一點Q(x0，y0)因為M是PQ的中點，所以即(*)又因為Q(x0，y0)在圓x2y216上，所以xy16.將(*)代入得(2x10)2(2y)216.故所求的軌跡方程為(x5)2y24.點評：解法一是根據(jù)已知條件判斷出軌跡形狀為圓，從而求得軌跡方程解法二稱為相關(guān)點法，其步驟是：設(shè)被動點M(x，y)，主動點Q(x0，y0)求出點M與點Q坐標(biāo)間的關(guān)系()從()中解出()將()代入主動點Q的軌跡方程(已知曲線的方程)，化簡得被動點的軌跡方程變式訓(xùn)練已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是(4,3)，端點A在圓(x1)2y24上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程 解：設(shè)點M的坐標(biāo)是(x，y)，點A的坐標(biāo)是(x0，y0)由于點B的坐標(biāo)是(4,3)且M是線段AB的中點，所以x，y.于是有x02x4，y02y3.因為點A在圓(x1)2y24上運動，所以點A的坐標(biāo)滿足方程(x1)2y24，即(x01)2y4.把代入，得(2x41)2(2y3)24，整理，得(x)2(y)21.所以點M的軌跡是以(，)為圓心，半徑長為1的圓例5求圓心在直線l：xy0上，且過兩圓C1：x2y22x10y240和C2：x2y22x2y80的交點的圓的方程分析：由于兩圓的交點可求，圓心在一直線上，所以應(yīng)先求交點再設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：解方程組得兩圓交點為(0,2)，(4,0)設(shè)所求圓的方程為(xa)2(yb)2r2，因為兩點在所求圓上，且圓心在直線l上，所以得方程組解得a3，b3，r.故所求圓的方程為(x3)2(y3)210.點評：由已知條件容易求圓心坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題，往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變式訓(xùn)練已知圓在x軸上的截距分別為1和3，在y軸上的截距為1，求該圓的方程解法一：利用圓的一般方程設(shè)所求的圓的方程為x2y2DxEyF0，由已知，該圓經(jīng)過點(1,0)，(3,0)和(0，1)，則有解得D4，E4，F(xiàn)3.故所求圓的方程為x2y24x4y30.解法二：利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程由題意該圓經(jīng)過P(1,0)，Q(3,0)，R(0，1)，設(shè)圓的方程為(xa)2(yb)2r2，則圓心C(a，b)在PQ的垂直平分線上，故a2.因為|PC|RC|，所以.將a2代入，得b2，所以C(2，2)而r|PC|，故所求圓的方程為(x2)2(y2)25.1已知點P(2,1)在圓C：x2y2ax2yb0上，點P關(guān)于直線xy0的對稱點P也在圓C上，則ab_.解析：由題意得直線xy0過圓心C(，1)，則10，所以a2.又P(1,2)，則122224b0，則b1，所以ab1.答案：12求下列各圓的半徑和圓的坐標(biāo)：(1)x2y26y0；(2)x2y22by0(b0)；(3)x2y22ax2ay3a20(a0)答案：(1)(x3)2y29，圓心為(3,0)，半徑為3.(2)x2(yb)2b2，圓心為(0，b)，半徑為|b|.(3)(xa)2(ya)2a2，圓心為(a，a)，半徑為|a|.3下列方程各表示什么圖形？(1)x2y20；(2)x2y22x4y60；(3)x2y22axb20.解：(1)此方程表示一個點O(0,0)(2)可化為(x1)2(y2)211，此方程表示以點(1，2)為圓心，為半徑的圓(3)可化為(xa)2y2a2b2(a0)，此方程表示以(a,0)為圓心，為半徑的圓4如下圖，等腰梯形ABCD的底邊長分別為6和4，高為3，求這個等腰梯形的外接圓的方程，并求這個圓的圓心坐標(biāo)和半徑長解：顯然，等腰梯形ABCD的外接圓的圓心在y軸上由題設(shè)，可得點B的坐標(biāo)是(3,0)，點C的坐標(biāo)是(2,3)線段BC的中點坐標(biāo)是F(，)，直線BC的斜率是kBC3.線段BC的垂直平分線的方程是y(x)與y軸的方程x0聯(lián)立，解得y.所以，梯形外接圓的圓心E的坐標(biāo)是(0，)半徑長|EB|.所以，梯形外接圓的方程是x2(y)2 .半徑長是，圓心坐標(biāo)是(0，)問題：已知圓x2y2x8ym0與直線x2y60相交于P、Q兩點，定點R(1,1)，若PRQR，求實數(shù)m的值解：設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，由消去y，得5x24m600.由題意，方程有兩個不等的實數(shù)根，所以604m>0，即m<15.由韋達定理因為PRQR，所以kPRkQR1.所以1，即(x11)(x21)(y11)(y21)0，即x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)20.因為y13，y23，所以y1y2(3)(3)9(x1x2)9，y1y26.代入，得x1x250，即(m12)50.所以m10，適合m<15.所以實數(shù)m的值為10.本節(jié)課學(xué)習(xí)了：圓的一般方程，軌跡方程的求法本節(jié)練習(xí)B1,2題這是一節(jié)介紹新知識的課，而且這節(jié)課還非常有利于展現(xiàn)知識的形成過程因此，在設(shè)計這節(jié)課時，力求“過程、結(jié)論并重，知識、能力、思想方法并重”在展現(xiàn)知識的形成過程中，盡量避免學(xué)生被動接受，引導(dǎo)學(xué)生探索，重視探索過程一方面，把直線一般方程探求過程進行回顧、類比，學(xué)生從中領(lǐng)會探求方法；另一方面，“把標(biāo)準(zhǔn)方程展開認(rèn)識一般方程”這一過程充分運用了“通過特殊認(rèn)識一般”的科學(xué)思想方法同時，通過類比進行條件的探求“D2E24F”與“”(判別式)類比在整個探求過程中充分利用了“舊知識”及“舊知識的形成過程”，并用它探求新知識這樣的過程，既是學(xué)生獲得新知識的過程，更是培養(yǎng)學(xué)生能力的過程備選習(xí)題1若方程x2y2xya0表示圓，則a的取值范圍是()Aa<2或a> Ba>CR Da<分析：由二元二次方程表示圓的條件，有D2E24Fa2(2a)24(2a2a1)>0.解之，可得2<a<.答案：D2過原點且在x，y軸上的截距分別為p、q(p、q均不為0)的圓的方程是()Ax2y2pxqy0 Bx2y2pxqy0Cx2y2pxqy0 Dx2y2pxqy0解析：由題意知圓過原點，且在x，y軸上的截距分別為p、q，則圓的圓心坐標(biāo)為(，)且常數(shù)項為0.答案：A3已知圓C的方程為f(x，y)0，點A(x0，y0)是圓外的一點，那么方程f(x，y)f(x0，y0)0表示的曲線是()A與圓C重合的圓 B過點A(x0，y0)與圓C相交的圓C過點A(x0，y0)與圓C同心的圓 D可能不是圓解析：設(shè)f(x，y)x2y2DxEyF0，則f(x0，y0)xyDx0Ey0F>0，從而f(x，y)f(x0，y0)x2y2DxEyFxyDx0Ey0F0，過點A(x0，y0)與圓C同心的圓答案：C4判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心坐標(biāo)及半徑(1)4x24y24x12y90；(2)4x24y24x12y110.解：(1)由4x24y24x12y90，得D1，E3，F(xiàn)，而D2E24F1991>0，所以方程4x24y24x12y90表示圓的方程，其圓心為(，)，半徑為；(2)由4x24y24x12y110，得D1，E3，F(xiàn)，D2E24F19111<0，所以方程4x24y24x12y110不表示圓的方程點評：對于形如Ax2By2DxEyF0的方程判斷其是否表示圓，先化為x2y2DxEyF0的形式，再利用條件D2E24F與0的大小判斷，不能直接套用另外，直接配方也可以判斷5已知P(2,0)、Q(8,0)，點M到點P的距離是它到點Q距離的，求點M的軌跡方程，并求軌跡上的點到直線l：8xy10的最小距離解：設(shè)M(x，y)，則|MP|，|MQ|，由題意得，|MP|MQ|，.化簡并整理，得(x)2y2.所求軌跡是以(，0)為圓心，為半徑的圓，圓心到直線l的距離為.圓上的點到直線l的最小距離為.