2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.4.1 基本不等式 的證明優(yōu)秀教案 新人教A版必修5一、課外閱讀算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)的一種證明方法(局部調(diào)整法)(1)設(shè)a1，a2，a3，a n為正實(shí)數(shù)，這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值記為A，幾何平均值記為G，即，即AG,當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，AG.特別地當(dāng)n2時(shí)，,當(dāng)n3時(shí)，. (2)用局部調(diào)整法證明均值不等式AG.設(shè)這n個(gè)正數(shù)不全相等.不失一般性，設(shè)0a1a2a n，易證a 1Aa n，且a1Gan.在這n個(gè)數(shù)中去掉一個(gè)最小數(shù)a1，將a 1換成A，再去掉一個(gè)最大數(shù)an，將an換成a1anA，其余各數(shù)不變，于是得到第二組正數(shù)：A，a2，a3，a n1，a1a nA.這一代換具有下列性質(zhì)：兩組數(shù)的算術(shù)平均值不變，設(shè)第二組數(shù)的算術(shù)平均值為A1，那么A1=A,兩組數(shù)的幾何平均值最大.設(shè)第二組數(shù)的幾何平均值為G1，則G1A(a1anA)a 1an(Aa1)(a nA),由a1Aan，得(Aa1)(anA)0,則A(a1anA)a1an.Aa 2a 3a n1(a1a nA)a1a 2an1a n.G1G.若第二組數(shù)全相等，則A1G 1，于是AA1G 1G證明完畢.若第二組數(shù)不全相等，再作第二次替換.仍然是去掉第二組數(shù)中的最小數(shù)b1和最大數(shù)bn，分別用A1(即A)和b1bnA代替，因?yàn)橛衎1A1b n且A1A.因而第二組數(shù)中的A不是最小數(shù)b1，也不是最大數(shù)bn，不在去掉之列，在替換中不會(huì)被換掉，而只會(huì)再增加，如此替換下去，每替換一次，新數(shù)中至少增加一個(gè)A，經(jīng)過n2次替換，新數(shù)中至少出現(xiàn)n2個(gè)A，最多經(jīng)過n1次替換，得到一個(gè)全部是A的新數(shù)組.此時(shí)新數(shù)組的算術(shù)平均值等于幾何平均值.在每次替換中，數(shù)組的算術(shù)平均值不變，始終等于A，而幾何平均值不斷增大，即GG 1G2G k，而GkAkA，因而GA成立.二、課外拓展平均值不等式：平均不等式是最重要而基本的不等式之一，應(yīng)用極其廣泛，如能靈活運(yùn)用，將產(chǎn)生意想不到的效果，這類試題在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn).請(qǐng)同學(xué)們課后查找資料，閱讀此四個(gè)不等式的證明過程.平均值定理：設(shè)n個(gè)正數(shù)a1，a2，an，記調(diào)和平均幾何平均， 算術(shù)平均，平方平均.這4個(gè)平均有如下關(guān)系：HnGnAnQ n,等號(hào)成立的充要條件都是a1=a 2=a n.