2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.4.2 基本不等式 的應(yīng)用(一)優(yōu)秀教案 新人教A版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.4.2 基本不等式 的應(yīng)用(一)優(yōu)秀教案 新人教A版必修5.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.4.2 基本不等式 的應(yīng)用(一)優(yōu)秀教案 新人教A版必修5備用習(xí)題1.已知a、b是正實(shí)數(shù),試比較an+bn與a n-1b+abn-1的大小.解:an+bn-a n-1b-ab n-1=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1).當(dāng)ab0時(shí),a-b0,a n-1-b n-10,得(a-b)(an-1-bn-1)0;當(dāng)ba0時(shí),a-b0,a n-1-bn-10,得(a-b)(a n-1-b n-1)0;當(dāng)b=a0時(shí),(a-b)(an-1-bn-1)=0;所以當(dāng)ab時(shí),an+bna n-1b+ab n-1;當(dāng)a=b時(shí),an+bn=a n-1b+ab n-1.2.已知ABC內(nèi)接于單位圓,且(1+tanA)(1+tanB)=2,(1)求證:內(nèi)角C為定值;(2)求ABC面積的最大值. ()證明:由(1+tanA)(1+tanB)=21+tanAtanB+tanA+tanB=2(1-)(tanA+tanB)=0.(tanA+tanB)0,,即tan(A+B)=1.C=135.(2)解析:由題意,可得SABC= ACBCsinC= ACBC ()2.當(dāng)AC=BC時(shí),SABC有最大值,最大值為SABC= (AC)2.再作輔助線如圖,連結(jié)OC、OA,OC交AB于D得ABOC,所以AD=BD=,CD=1-,AC 2=AD2+CD2= 2-2,所以SABC的最大值= (AC)2=.3.一批救災(zāi)物資隨26輛汽車(chē)從某市以x km/h的速度勻速開(kāi)往400 km處的災(zāi)區(qū),為安全起見(jiàn),每?jī)奢v汽車(chē)的前后間距不得小于km,問(wèn)這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū),最少要多少小時(shí)?解析:設(shè)全部物資到達(dá)災(zāi)區(qū)所需時(shí)間為t小時(shí),由題意可知t相當(dāng)于:最后一輛車(chē)行駛了25個(gè) +400 km所用的時(shí)間,因此,. 當(dāng)且僅當(dāng),即x=80時(shí)取“=”.答:這些汽車(chē)以80km/h的速度勻速行駛時(shí),所需時(shí)間最少,最少時(shí)間是10小時(shí).4.如圖,為處理含有某種雜質(zhì)的污水,要制造一個(gè)底寬2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體的沉淀箱,污水從A孔流入,經(jīng)沉淀后從B孔流出,設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米,高度為b米,已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米,問(wèn)a、b各為多少米時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最???(A、B孔面積忽略不計(jì))分析:應(yīng)用題的最值問(wèn)題,主要是選取適當(dāng)?shù)淖兞?,再依?jù)題設(shè),建立數(shù)學(xué)模型(即函數(shù)關(guān)系式),由變量和常量之間的關(guān)系,選取基本不等式求最值.解法一:設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù),根據(jù)題意可知,其中k0且k是比例系數(shù).依題意要使y最小,只需求ab的最大值.由題設(shè)得4b2ab2a0(a0,b0),即a2bab30(a0,b0),a2b2,2ab30.當(dāng)且僅當(dāng)a2b時(shí)取“”,ab有最大值.當(dāng)a2b時(shí)有2abab30,即b22b10.解之,得b 13,b2(舍去).a2b.故當(dāng)a米,b3米時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)最少.解法二:設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù),由題意可知4b2ab2a0(a0,b0),a2bab30(a0,b0).(0a30).由題設(shè),其中k0且k是比例系數(shù),依題只需ab取最大值.當(dāng)且僅當(dāng)a2時(shí)取“”,即a,b3時(shí)ab有最大值18.故當(dāng)a米,b3米時(shí)經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)最少.點(diǎn)評(píng):均值不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛,解題過(guò)程為(1)先構(gòu)造定值;(2)出現(xiàn)關(guān)系式;(3)驗(yàn)證“”成立.5.如圖,在ABC中,0,AC3,B4,一條直線分AB的面積為相等的兩部分,且?jiàn)A在AB與BC之間的線段最短,求此線段長(zhǎng).分析:本題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)剡x取變量表示夾在AB與BC之間的線段EF,同時(shí)考慮到題設(shè)中的等量關(guān)系,即SBSAB,因此,所選變量還應(yīng)便于求兩個(gè)三角形的面積,于是考慮設(shè)BEx,By.解:設(shè)Bx,By(0x4,0y),則SBBBsinBxysinB.又SABBA34,依題意可知SBSAB.xysinB3.,xy10,又,在B中,由余弦定理得2B2B22BBcosBx 2y 22xyx2y212xy14,當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí),等號(hào)成立.故此時(shí)線段EF的長(zhǎng)為2.點(diǎn)評(píng):本題從求線段的長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.而求函數(shù)最值是不等式的重要應(yīng)用,當(dāng)解析式比較復(fù)雜時(shí),利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí),巧妙地尋求等量關(guān)系,合理變形,是我們常用的一慣手法.從而使我們注意到:數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.