2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.4.2 基本不等式 的應(yīng)用（一）優(yōu)秀教案 新人教A版必修5備用習(xí)題1.已知a、b是正實(shí)數(shù)，試比較an+bn與a n-1b+abn-1的大小.解：an+bn-a n-1b-ab n-1=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1).當(dāng)ab0時(shí)，a-b0,a n-1-b n-10,得(a-b)(an-1-bn-1)0;當(dāng)ba0時(shí)，a-b0,a n-1-bn-10,得（a-b）(a n-1-b n-1)0;當(dāng)b=a0時(shí)，（a-b）(an-1-bn-1)=0;所以當(dāng)ab時(shí)，an+bna n-1b+ab n-1;當(dāng)a=b時(shí),an+bn=a n-1b+ab n-1.2.已知ABC內(nèi)接于單位圓，且(1+tanA)(1+tanB)=2，（1）求證:內(nèi)角C為定值；（2）求ABC面積的最大值. （）證明：由(1+tanA)(1+tanB)=21+tanAtanB+tanA+tanB=2(1-)(tanA+tanB)=0.(tanA+tanB)0,，即tan(A+B)=1.C=135.（2）解析：由題意,可得SABC= ACBCsinC= ACBC ()2.當(dāng)AC=BC時(shí)，SABC有最大值，最大值為SABC= (AC)2.再作輔助線如圖，連結(jié)OC、OA，OC交AB于D得ABOC，所以AD=BD=,CD=1-,AC 2=AD2+CD2= 2-2,所以SABC的最大值= (AC)2=.3.一批救災(zāi)物資隨26輛汽車(chē)從某市以x km/h的速度勻速開(kāi)往400 km處的災(zāi)區(qū)，為安全起見(jiàn)，每?jī)奢v汽車(chē)的前后間距不得小于km，問(wèn)這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)，最少要多少小時(shí)？解析：設(shè)全部物資到達(dá)災(zāi)區(qū)所需時(shí)間為t小時(shí)，由題意可知t相當(dāng)于：最后一輛車(chē)行駛了25個(gè) +400 km所用的時(shí)間，因此，. 當(dāng)且僅當(dāng),即x=80時(shí)取“=”.答：這些汽車(chē)以80km/h的速度勻速行駛時(shí)，所需時(shí)間最少，最少時(shí)間是10小時(shí).4.如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體的沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米，問(wèn)a、b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最??？(A、B孔面積忽略不計(jì))分析：應(yīng)用題的最值問(wèn)題，主要是選取適當(dāng)?shù)淖兞?，再依?jù)題設(shè)，建立數(shù)學(xué)模型(即函數(shù)關(guān)系式)，由變量和常量之間的關(guān)系，選取基本不等式求最值.解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，根據(jù)題意可知,其中k0且k是比例系數(shù).依題意要使y最小，只需求ab的最大值.由題設(shè)得4b2ab2a0（a0，b0），即a2bab30（a0，b0），a2b2,2ab30.當(dāng)且僅當(dāng)a2b時(shí)取“”，ab有最大值.當(dāng)a2b時(shí)有2abab30，即b22b10.解之，得b 13，b2（舍去）.a2b.故當(dāng)a米，b3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)最少.解法二：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，由題意可知4b2ab2a0（a0，b0），a2bab30（a0，b0）.（0a30).由題設(shè)，其中k0且k是比例系數(shù)，依題只需ab取最大值.當(dāng)且僅當(dāng)a2時(shí)取“”，即a，b3時(shí)ab有最大值18.故當(dāng)a米，b3米時(shí)經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)最少.點(diǎn)評(píng)：均值不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，解題過(guò)程為(1)先構(gòu)造定值；(2)出現(xiàn)關(guān)系式；(3)驗(yàn)證“”成立.5.如圖，在ABC中，0，AC3，B4，一條直線分AB的面積為相等的兩部分，且?jiàn)A在AB與BC之間的線段最短，求此線段長(zhǎng).分析：本題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)剡x取變量表示夾在AB與BC之間的線段EF，同時(shí)考慮到題設(shè)中的等量關(guān)系，即SBSAB，因此，所選變量還應(yīng)便于求兩個(gè)三角形的面積，于是考慮設(shè)BEx，By.解：設(shè)Bx，By(0x4，0y），則SBBBsinBxysinB.又SABBA34,依題意可知SBSAB.xysinB3.，xy10,又,在B中，由余弦定理得2B2B22BBcosBx 2y 22xyx2y212xy14，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，等號(hào)成立.故此時(shí)線段EF的長(zhǎng)為2.點(diǎn)評(píng)：本題從求線段的長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.而求函數(shù)最值是不等式的重要應(yīng)用，當(dāng)解析式比較復(fù)雜時(shí)，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，巧妙地尋求等量關(guān)系，合理變形，是我們常用的一慣手法.從而使我們注意到：數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.