2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語(yǔ)章末總結(jié) 蘇教版選修2-1知識(shí)點(diǎn)一四種命題間的關(guān)系命題是能夠判斷真假、用文字或符號(hào)表述的語(yǔ)句一個(gè)命題與它的逆命題、否命題之間的關(guān)系是不確定的，與它的逆否命題的真假性相同，兩個(gè)命題是等價(jià)的；原命題的逆命題和否命題也是互為逆否命題例1判斷下列命題的真假(1)若xAB，則xB的逆命題與逆否命題；(2)若0<x<5，則|x2|<3的否命題與逆否命題；(3)設(shè)a、b為非零向量，如果ab，則ab0的逆命題和否命題知識(shí)點(diǎn)二充要條件及其應(yīng)用充分條件和必要條件的判定是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，綜合考察數(shù)學(xué)各部分知識(shí)，是高考的熱點(diǎn)，判斷方法有以下幾種：(1)定義法(2)傳遞法：對(duì)于較復(fù)雜的關(guān)系，常用推出符號(hào)進(jìn)行傳遞，根據(jù)這些符號(hào)所組成的圖示就可以得出結(jié)論互為逆否的兩個(gè)命題具有等價(jià)性，運(yùn)用這一原理，可將不易直接判斷的命題化為其逆否命題加以判斷(3)等價(jià)命題法：對(duì)于含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”的充分條件、必要條件的判斷，往往利用原命題與其逆否命題是等價(jià)命題的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化(4)集合法：與邏輯有關(guān)的許多數(shù)學(xué)問(wèn)題可以用范圍解兩個(gè)命題之間的關(guān)系，這時(shí)如果能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想(如數(shù)軸或Venn圖等)就能更加直觀、形象地判斷出它們之間的關(guān)系例2若p：2<a<0,0<b<1；q：關(guān)于x的方程x2axb0有兩個(gè)小于1的正根，則p是q的什么條件？例3設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x24ax3a2<0，a<0.q：實(shí)數(shù)x滿足x2x60或x22x8>0.且綈p是綈q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍知識(shí)點(diǎn)三邏輯聯(lián)結(jié)詞的應(yīng)用對(duì)于含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題，根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，利用真值表判定真假利用含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假，判定字母的取值范圍是各類考試的熱點(diǎn)之一例4判斷下列命題的真假(1)對(duì)于任意x，若x30，則x30；(2)若x3或x5，則(x3)(x6)0.例5設(shè)命題p：函數(shù)f(x)lg的定義域?yàn)镽；命題q：不等式<1ax對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立如果命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍知識(shí)點(diǎn)四全稱命題與存在性命題全稱命題與存在性命題的判斷以及含一個(gè)量詞的命題的否定是高考的一個(gè)重點(diǎn)，多以客觀題出現(xiàn)全稱命題要對(duì)一個(gè)范圍內(nèi)的所有對(duì)象成立，要否定一個(gè)全稱命題，只要找到一個(gè)反例就行存在性命題只要在給定范圍內(nèi)找到一個(gè)滿足條件的對(duì)象即可全稱命題的否定是存在性命題，應(yīng)含存在量詞存在性命題的否定是全稱命題，應(yīng)含全稱量詞例6寫出下列命題的否定，并判斷其真假(1)32；(2)5>4；(3)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，x>0；(4)有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)例7已知函數(shù)f(x)x22x5.(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使不等式mf(x)>0對(duì)于任意xR恒成立，并說(shuō)明理由(2)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使不等式mf(x0)>0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍重點(diǎn)解讀例1解(1)若xAB，則xB是假命題，故其逆否命題為假，逆命題為若xB，則xAB，為真命題(2)0<x<5，2<x2<3，0|x2|<3.原命題為真，故其逆否命題為真否命題：若x0或x5，則|x2|3.例如當(dāng)x，<3.故否命題為假(3)原命題：a，b為非零向量，abab0為真命題逆命題：若a，b為非零向量，ab0ab為真命題否命題：設(shè)a，b為非零向量，a不垂直bab0也為真例2解若a1，b，則a24b<0，關(guān)于x的方程x2axb0無(wú)實(shí)根，故pq.若關(guān)于x的方程x2axb0有兩個(gè)小于1的正根，不妨設(shè)這兩個(gè)根為x1、x2，且0<x1x2<1，則x1x2a，x1x2b.于是0<a<2,0<b<1，即2<a<0,0<b<1，故qp.所以，p是q的必要不充分條件例3解設(shè)Ax|px|x24ax3a2<0，a<0x|3a<x<a，a<0Bx|qx|x2x60或x22x8>0x|x<4或x2綈p是綈q的必要不充分條件，q是p的必要不充分條件AB，或，解得a<0或a4.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，4.例4解(1)x30，有x30，命題為真；(2)當(dāng)x5時(shí)，(x3)(x6)0，命題為假例5解p：由ax2xa>0恒成立得，a>2.q：由<1ax對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立，令t>1，則x，t<1a，2(t1)<a(t21)對(duì)一切t>1均成立2<a(t1)，a>，a1.p或q為真，p且q為假，p與q一真一假若p真q假，a>2且a<1不存在若p假q真，則a2且a1，1a2.故a的取值范圍為1a2.例6解(1)32，真命題；(2)54，假命題；(3)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，x0，真命題；(4)所有質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)，假命題例7解(1)不等式mf(x)>0可化為m>f(x)，即m>x22x5(x1)24.要使m>(x1)24對(duì)于任意xR恒成立，只需m>4即可故存在實(shí)數(shù)m，使不等式mf(x)>0對(duì)于任意xR恒成立，此時(shí)，只需m>4.(2)不等式mf(x0)>0可化為m>f(x0)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m>4.所以，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4，)