2019-2020年高中數(shù)學 第2章 圓錐曲線與方程 4.2拋物線的幾何性質(zhì) 蘇教版選修2-1課時目標1.了解拋物線的幾何圖形，知道拋物線的簡單幾何性質(zhì)，學會利用拋物線方程研究拋物線的幾何性質(zhì)的方法.2.了解拋物線的簡單應用1拋物線的簡單幾何性質(zhì)設拋物線的標準方程為y22px(p>0)(1)范圍：拋物線上的點(x，y)的橫坐標x的取值范圍是_，拋物線在y軸的_側(cè)，當x的值增大時，|y|也_，拋物線向右上方和右下方無限延伸(2)對稱性：拋物線關于_對稱，拋物線的對稱軸叫做_(3)頂點：拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的_拋物線的頂點為_(4)離心率：拋物線上的點到焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的_，用e表示，其值為_(5)拋物線的焦點到其準線的距離為_，這就是p的幾何意義，頂點到準線的距離為，焦點到頂點的距離為_2拋物線的焦點弦設拋物線y22px(p>0)，AB為過焦點的一條弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點M(x0，y0)，則有以下結(jié)論(1)以AB為直徑的圓與準線_(2)AB_(焦點弦長與中點坐標的關系)(3)ABx1x2_.(4)A、B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值，即x1x2_，y1y2_.一、填空題1邊長為1的等邊三角形AOB，O為原點，ABx軸，以O為頂點且過A，B的拋物線標準方程是_2拋物線y22px (p>0)上橫坐標為4的點到焦點的距離為5，則此拋物線焦點和準線之間的距離是_3若過拋物線x22py (p>0)的焦點且垂直于對稱軸的弦長為6，則其焦點坐標是_4若拋物線y22px的焦點與橢圓1的右焦點重合，則p的值為_5已知F是拋物線C：y24x的焦點，A、B是拋物線C上的兩個點，線段AB的中點為M(2,2)，則ABF的面積為_6拋物線y22px與直線axy40的一個交點是(1,2)，則拋物線的焦點到該直線的距離為_7.設O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，A為拋物線上一點，若4，則點A的坐標為_8已知點Q(4,0)，P為y2x1上任意一點，則PQ的最小值為_二、解答題9設拋物線ymx2 (m0)的準線與直線y1的距離為3，求拋物線的標準方程10.已知拋物線y22px (p>0)的一條過焦點F的弦AB被焦點F分成長度為m，n的兩部分求證：為定值能力提升11設拋物線y28x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PAl，A為垂足，如果直線AF的斜率為，那么PF_.12已知直線l經(jīng)過拋物線y24x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點(1)若AF4，求點A的坐標；(2)求線段AB的長的最小值1研究拋物線的性質(zhì)要結(jié)合定義，理解參數(shù)p的幾何意義，注意拋物線的開口方向2解決過焦點的直線與拋物線相交有關的問題時，一是注意直線方程和拋物線方程聯(lián)立得方程組，再結(jié)合根與系數(shù)的關系解題，二是注意焦點弦，焦半徑公式的應用解題時注意整體代入的思想，可以使運算、化簡簡便3與拋物線有關的最值問題具備定義背景的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為幾何問題；一般方法是建立目標函數(shù)，求函數(shù)的最值24.2拋物線的幾何性質(zhì)知識梳理1(1)x0右增大(2)x軸拋物線的軸(3)頂點坐標原點(4)離心率1(5)p2(1)相切(2)2(x0)(3)p(4)p2作業(yè)設計1y2x解析易求得A，B的坐標為或，又由題意可設拋物線標準方程為y22px (p>0)，將A，B的坐標代入即可求得22解析由拋物線的定義可知拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，故45，p2，此拋物線焦點和準線之間的距離為p2.3.解析易知弦的兩端點的坐標分別為，則有2p6，p3.故焦點坐標為.44解析橢圓1的右焦點為(2,0)，即2，得p4.52解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y4x1，y4x2.(y1y2)(y1y2)4(x1x2)x1x2，1.直線AB的方程為y2x2，即yx.將其代入y24x，得A(0,0)，B(4,4)AB4.又F(1,0)到y(tǒng)x的距離為，SABF42.6.解析由已知得拋物線方程為y24x，直線方程為2xy40，拋物線y24x的焦點坐標是F(1,0)，到直線2xy40的距離d.7(1,2)或(1，2)解析設A（x0,y0）,F(1,0),(x0，y0)，(1x0，y0)，x0(1x0)y4.y4x0，x0x4x040，即x3x040，x01或x04(舍)x01，y02.8.解析設點P(x，y)y2x1，x1.PQ.當x時，PQmin.9解由ymx2 (m0)可化為x2y，其準線方程為y.由題意知2或4，解得m或m.所以所求拋物線的標準方程為x28y或x216y.10證明若ABx軸，直線AB的方程為x，則A，B，mnp，若AB不與x軸垂直，設直線AB的方程為yk，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則mAFx1，nBFx2.將AB方程代入拋物線方程，得k2x2(k2p2p)x0.x1x2，x1x2，.故為定值11.8解析如圖所示，直線AF的方程為y(x2)，與準線方程x2聯(lián)立得A(2,4)設P(x0,4)，代入拋物線y28x，得8x048，x06，PFx028.12解由y24x，得p2，其準線方程為x1，焦點F(1,0)設A(x1，y1)，B(x2，y2)分別過A、B作準線的垂線，垂足為A、B.(1)由拋物線的定義可知，AFx1，從而x1413.代入y24x，解得y12.點A的坐標為(3,2)或(3，2)(2)當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為yk(x1)與拋物線方程聯(lián)立，消去y，整理得k2x2(2k24)xk20，因為直線與拋物線相交于A、B兩點，則k0，并設其兩根為x1，x2，則x1x22.由拋物線的定義可知，ABx1x2p4>4.當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x1，與拋物線相交于A(1,2)，B(1，2)，此時AB4，所以，AB4，即線段AB的長的最小值為4.