2019-2020年高中數(shù)學 第2章 圓錐曲線與方程 2.2橢圓的幾何性質(zhì) 蘇教版選修2-1課時目標1.掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質(zhì).2.明確標準方程中a，b以及c，e的幾何意義，a、b、c、e之間的相互關系.3.能利用橢圓的幾何性質(zhì)解決橢圓的簡單問題橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程范圍頂點軸長短軸長_，長軸長_焦點焦距對稱性對稱軸是_，對稱中心是_離心率一、填空題1橢圓x2my21的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為_2P是長軸在x軸上的橢圓1上的點，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的兩個焦點，橢圓的半焦距為c，則PF1PF2的最大值與最小值之差為_3以等腰直角ABC的兩個頂點為焦點，并且經(jīng)過另一頂點的橢圓的離心率為_4焦點在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為4，則橢圓的方程為_5如圖所示，A、B、C分別為橢圓1 (a>b>0)的頂點與焦點，若ABC90，則該橢圓的離心率為_6.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是_7已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且過點P(5,4)，則橢圓的方程為_8直線x2y20經(jīng)過橢圓1 (a>b>0)的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的離心率為_二、解答題9設橢圓的中心在原點，坐標軸為對稱軸，一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點的距離為4(1)，求此橢圓方程及它的離心率、焦點坐標、頂點坐標10.如圖，已知P是橢圓1 (a>b>0)上且位于第一象限的一點，F(xiàn)是橢圓的右焦點，O是橢圓中心，B是橢圓的上頂點，H是直線x (c是橢圓的半焦距)與x軸的交點，若PFOF，HBOP，試求橢圓的離心率e.能力提升11若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率為_12.已知F1、F2是橢圓1 (a>b>0)的左、右兩個焦點，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，點B也在橢圓上，且滿足0(O是坐標原點)，AF2F1F2.若橢圓的離心率等于，ABF2的面積等于4，求橢圓的方程1橢圓的范圍實質(zhì)就是橢圓上點的橫坐標和縱坐標的取值范圍，在求解一些存在性和判斷性問題中有著重要的應用2橢圓既是一個軸對稱圖形，又是一個中心對稱圖形橢圓的對稱性在解決直線與橢圓的位置關系以及一些有關面積的計算問題時，往往能起到化繁為簡的作用3橢圓的離心率是反映橢圓的扁平程度的一個量，其取值范圍是0<e<1.離心率越大，橢圓越扁；離心率越小，橢圓越接近于圓離心率的求解問題是本單元的一個重點，也是高考的熱點內(nèi)容在求解有關橢圓離心率的問題時，一般并不直接求出a和c的值去計算，而是根據(jù)題目給出的橢圓的幾何特征，建立關于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍22.2橢圓的幾何性質(zhì)知識梳理焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程11范圍axa，bybbxb，aya頂點(a,0)，(0，b)(b,0)，(0，a)軸長短軸長2b，長軸長2a焦點(c,0)(0，c)焦距2c2對稱性對稱軸是坐標軸，對稱中心是原點離心率e，0<e<1作業(yè)設計1.解析由題意可得222，解得m.2c2解析由橢圓的幾何性質(zhì)得PF1ac，ac，PF1PF22a，所以PF1PF22a2，當且僅當PF1PF2時取等號PF1PF2PF1(2aPF1)PF2aPF1(PF1a)2a2c2a2b2，所以PF1PF2最大值與最小值之差為a2b2c2.3.或1解析當以兩銳角頂點為焦點時，因為三角形為等腰直角三角形，故有bc，此時可求得離心率e；同理，當以一直角頂點和一銳角頂點為焦點時，設直角邊長為m，故有2cm,2a(1)m，所以，離心率e1.4.15.解析由題意知，由(ac)2a2a2b2，又b2a2c2，c2aca20，e，e2e10，e.6.解析0，M點軌跡方程為x2y2c2，其中F1F2為直徑，由題意知橢圓上的點在圓x2y2c2外部，設點P為橢圓上任意一點，則OP>c恒成立，由橢圓性質(zhì)知OPb，其中b為橢圓短半軸長，b>c，c2<b2a2c2，a2>2c2，2<，e<.又0<e<1，0<e<.7.1解析設橢圓的方程為1 (a>b>0)，將點(5,4)代入得1，又離心率e，即e2，解之得a245，b236，故橢圓的方程為1.8.解析由題意知橢圓的焦點在x軸上，又直線x2y20與x軸、y軸的交點分別為(2,0)、(0,1)，它們分別是橢圓的焦點與頂點，所以b1，c2，從而a，e.9解設所求的橢圓方程為1或1(a>b>0)，則解得所以所求的橢圓方程為1，或1.離心率e，當焦點在x軸上時，焦點為(4,0)，(4,0)，頂點(4，0)，(4，0)，(0，4)，(0,4)，當焦點在y軸上時，焦點為(0，4)，(0,4)，頂點(4,0)，(4,0)，(0，4)，(0,4)10解依題意知H，F(xiàn)(c,0)，B(0，b)設P(xP，yP)，且xPc，代入到橢圓的方程，得yP.P.HBOP，kHBkOP，即.abc2.e，e2e21.e4e210.0<e<1，e.11.解析由題意知2bac，又b2a2c2，4(a2c2)a2c22ac.3a22ac5c20.5c22ac3a20.5e22e30.e或e1(舍去)12解由0知，直線AB經(jīng)過原點，e，b2a2，設A(x，y)，由AF2F1F2知xc，A(c，y)，代入橢圓方程得1，y，連結(jié)AF1，BF1，AF2，BF2，由橢圓的對稱性可知SABF2SABF1SAF1F2，所以2ca4，又由ca，解得a216，b2168，故橢圓方程為1.