2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 第五課時(shí) 兩角和與差的余弦、正弦、正切（二）教案 蘇教版必修3教學(xué)目標(biāo)：熟練掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用，理解公式：asinbcossin()(其中cos，sin，為任意角)，靈活應(yīng)用上述公式解決相關(guān)問題；培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的思維素質(zhì).教學(xué)重點(diǎn)：利用兩角和與差的正、余弦公式將asinbcos形式的三角函數(shù)式化為某一個(gè)角的三角函數(shù)形式.教學(xué)難點(diǎn)：使學(xué)生理解并掌握將asinbcos形式的三角函數(shù)式化為某一個(gè)角的三角函數(shù)形式，并能靈活應(yīng)用其解決一些問題.教學(xué)過(guò)程：.復(fù)習(xí)回顧同學(xué)們，觀察這些關(guān)系式，不難看出這是我們前面所推導(dǎo)出的兩角和與差的正余弦公式的倒寫形式.有時(shí)，直接利用這種形式可使問題簡(jiǎn)化，這節(jié)課，我們就來(lái)探討一下它的運(yùn)用.講授新課例1求證cossin2sin()證明：右邊2sin()2(sincoscossin)2(cossin)左邊由于同學(xué)們對(duì)兩角和的正弦公式比較熟悉，所以要證此式容易想到從右邊往左邊推證，只要將右邊按照兩角和的正弦公式展開，化簡(jiǎn)便可推出左邊.也可這樣考慮：左邊cossin2(cossin)2(sincoscossin)2sin()右邊(其中令sin，cos)例2求證cossin2cos()分析：要證此式，可從右邊按照兩角差的余弦公式展開，化簡(jiǎn)整理可證此式.若從左邊推證，則要仔細(xì)分析，構(gòu)造形式即：左cossin2(cossin)2(coscossinsin)2cos()(其中令cos，sin)綜合上兩例可看出對(duì)于左式cossin可化為兩種形式2sin()或2cos()，右邊的兩種形式均為一個(gè)角的三角函數(shù)形式.那么，對(duì)于asinbcos的式子是否都可化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式呢?推導(dǎo)公式：asinbcos (sincos)由于()2()21，sin2cos21(1)若令sin，則cosasinbcos (sinsincoscos)cos()或原式cos()(2)若令cos，則sinasinbcos (sincoscossin)sin()例如：2sincos (sincos)若令cos，則sin2sincos(sincoscossin)sin()若令sin，則cos2sincos(coscossinsin)cos()或原式cos()看來(lái)，asinbcos均可化為某一個(gè)角的三角函數(shù)形式，且有兩種形式.課堂練習(xí)1.求證：(1) sincossin() (2)cossinsin()(3) (sinxcosx)2cos(x)證明：(1) sincossin()證法一：左邊sincoscossinsin()右邊證法二：右邊sincoscossinsincos左邊(2)cossinsin()證法一：左邊(cossin)(sincoscossin)sin()右邊證法二：右邊(sincoscossin)(sincos)cossin左邊(3) (sinx+cosx)2cos(x)證法一：左邊(sinxcosx)2(sinxcosx)2(cosxcossinxsin)2cos(x)右邊證法二：右邊2cos(x)2(cosxcossinxsin)2(cosxsinx)(cosxsinx)左邊2.利用和(差)角公式化簡(jiǎn)：(1) sinxcosx (2)3sinx3cosx(3) sinxcosx (4) sin(x)cos(x)解：(1) sinxcosxsinxcoscosxsinsin(x)或：原式sinxsincosxcoscos(x)(2)3sinx3cosx6(sinxcosx) 6(sinxcoscosxsin)6sin(x)或：原式6(sinsinxcoscosx)6cos(x)(3) sinxcosx2(sinxcosx)2sin(x)2cos(x)(4) sin(x)cos(x)sin(x)cos(x)sinsin(x)coscos(x)cos(x)cos(x)或：原式sin(x)coscos(x)sinsin(x)sin(x).課時(shí)小結(jié)通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，要在熟練掌握兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)并理解公式：asinbcossin()(其中cos，sin)mcosnsincos()(其中cos，sin)進(jìn)而靈活應(yīng)用上述公式對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行變形，解決一些問題.課后作業(yè)課本P96 4，6；P101 4，5.兩角和與差的余弦、正弦、正切(一)1若0，sincosa，sincosb，則 ( )A.ab1 B.ab C.ab D.ab22已知、為銳角，cos，cos()，求的值.3已知，cos()，sin()，求sin2的值.4若AB，求（1tanA)(1tanB)的值.5化簡(jiǎn) 6化簡(jiǎn)（tan10)7求證：tan(x)8已知tanA與tan(A)是x2pxq0的解，若3tanA2tan(A)，求p和q的值.兩角和與差的余弦、正弦、正切(一)答案1C2已知、為銳角，cos，cos()，求的值.分析：注意觀察、及間的關(guān)系，先求角的一個(gè)三角函數(shù)值，再根據(jù)為銳角求出.解：為銳角，且cos，sin.又、均為銳角，0，且cos()，sin().則coscos()cos（)cossin()sin() .評(píng)述：（1）在和（差）角公式的運(yùn)用中,要注意和、差的相對(duì)關(guān)系，如（).(2)求角的基本步驟：求角的范圍；求角的一個(gè)三角函數(shù)值；寫出滿足條件的角.3已知，cos()，sin()，求sin2的值.分析：注意觀察、和2間的關(guān)系，再選擇適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行計(jì)算.解：由題設(shè)知為銳角，所以sin（），又是第三象限角，cos()，由2()()得sin2sin()()sin()cos()cos()sin()評(píng)述：在三角變換中，角的變換是常用技巧，本題是將角2變換成（)()，使已知式中的角與待求式中的角聯(lián)系起來(lái).4若AB，求（1tanA)(1tanB)的值.分析：注意待求式與正切和角公式間的聯(lián)系，將正切和角公式變形解題.解：（1tanA)(1tanB)1tanAtanBtanAtanB.又tan(AB)且ABtan(AB)1 tanAtanB1tanAtanB即tanAtanBtanAtanB1(1tanA)(1tanB)2.評(píng)述：在解題過(guò)程中要注意分析條件和結(jié)論中的關(guān)系式與有關(guān)公式間的聯(lián)系，并將公式進(jìn)行變形加以運(yùn)用.5化簡(jiǎn) 分析：注意把所要化簡(jiǎn)的式子與正切的差角公式進(jìn)行比較.解：tan(6018)tan42評(píng)述：在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值時(shí)，通常將常數(shù)寫成角的一個(gè)三角函數(shù)，再根據(jù)有關(guān)公式進(jìn)行變形.6化簡(jiǎn)（tan10)分析：切、弦混合式在不能直接運(yùn)用公式的情況下，考慮將切化弦.解：原式（tan10tan60) ()2. 評(píng)述：（1）切化弦是三角函數(shù)化簡(jiǎn)的常用方法之一.（2）把函數(shù)值化成tan60在本題的化簡(jiǎn)中是必經(jīng)之路.7求證：tan(x)證明：左邊tan(x)右邊或：右邊tan(x)左邊8已知tanA與tan(A)是x2pxq0的解，若3tanA2tan(A)，求p和q的值.分析：因?yàn)閜和q是兩個(gè)未知數(shù)，所以須根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于p、q的方程組，解出p、q.解:設(shè)ttanA，則tan(A)由3tanA2tan(A) 得3t解之得t或t2.當(dāng)t時(shí)，tan(A)， PtanAtan(A)，qtanAtan(A) .當(dāng)t2時(shí)，tan(A) 3，PtanAtan(A)5，qtanAtan(A)6滿足條件的p、q的值為：評(píng)述：(1)“列方程求解未知數(shù)”是基本的數(shù)學(xué)思想方法.(2)如果tan、tan是某一元二次方程的根，則由韋達(dá)定理可與公式T(+)聯(lián)系起來(lái)；若cos、sin是某一元二次方程的根，則由韋達(dá)定理與公式sin2cos21聯(lián)系起來(lái).