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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章《基本不等式》教案2 新人教A版必修5 授課類型：新授課 【教學(xué)目標(biāo)】 1．知識與技能：進一步掌握基本不等式；會應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值；能夠解決一些簡單的實際問題 2．過程與方法：通過兩個例題的研究，進一步掌握基本不等式，并會用此定理求某些函數(shù)的最大、最小值。 3．情態(tài)與價值：引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。 【教學(xué)重點】 基本不等式的應(yīng)用 【教學(xué)難點】 利用基本不等式求最大值、最小值。 【教學(xué)過程】 1.課題導(dǎo)入 1．重要不等式： 如果 2．基本不等式：如果a,b是正數(shù)，那么 3.我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù). 成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù)。 2.講授新課 例1（1）用籬笆圍成一個面積為100m的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？ （2）段長為36 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少? 解：（1）設(shè)矩形菜園的長為x m，寬為y m，則xy=100，籬笆的長為2（x+y） m。由， 可得 ， 。等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y時成立，此時x=y=10. 因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m. （2）解法一：設(shè)矩形菜園的寬為x　m，則長為（36－2x）m，其中0＜x＜，其面積S＝x（36－2x）＝2x（36－2x）≤ 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝36－2x，即x＝9時菜園面積最大，即菜園長9m，寬為9 m時菜園面積最大為81 m2 解法二：設(shè)矩形菜園的長為x m.,寬為y m ,則2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜園的面積為xy m。由 ，可得 當(dāng)且僅當(dāng)x=y,即x=y=9時，等號成立。 因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園的面積最大，最大面積是81m 歸納：1.兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時成立. 2.兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2，等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時成立. 例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？ 分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理。 解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得 當(dāng) 因此，當(dāng)水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元 評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件。 歸納：用均值不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進行： (1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)； (2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題； (3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值； (4)正確寫出答案. 3.隨堂練習(xí) 1.已知x≠0，當(dāng)x取什么值時，x2＋的值最小?最小值是多少? 2．課本第113頁的練習(xí)1、2、3、4 4.課時小結(jié) 本節(jié)課我們用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系順利解決了函數(shù)的一些最值問題。在用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應(yīng)注意考查下列三個條件：(1)函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；(2)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；(3)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三取等。 5.評價設(shè)計 課本第113頁習(xí)題[A]組的第2、4題 【板書設(shè)計】