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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三課時 兩角和與差的正切教案 蘇教版必修4 教學(xué)目標(biāo)： 掌握T（α＋β），T（α－β)的推導(dǎo)及特征，能用它們進(jìn)行有關(guān)求值、化簡；提高學(xué)生簡單的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì). 教學(xué)重點： 兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)及特征. 教學(xué)難點： 靈活應(yīng)用公式進(jìn)行化簡、求值. 教學(xué)過程： Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ（S（α＋β）） sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β）） cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ（C（α＋β）） cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ（C（α－β）） 要準(zhǔn)確把握上述各公式的結(jié)構(gòu)特征. Ⅱ.講授新課一、推導(dǎo)公式 上述公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，我們不難得出： 當(dāng)cos（α＋β）≠0時 tan（α＋β）＝＝ 如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0，我們可以 將分子、分母都除以cosαcosβ，從而得到： tan（α＋β）＝ 不難發(fā)現(xiàn)，這一式子描述了兩角α與β的和的正切與這兩角的正切的關(guān)系. 同理可得：tan（α－β）＝ 或?qū)⑸鲜街械摩掠茫麓妫部傻玫酱耸? 這一式子又描述了兩角α與β的差的正切與這兩角的正切的關(guān)系. 所以，我們將這兩式分別稱為兩角和的正切公式、兩角差的正切公式， 簡記為T（α＋β），T（α－β）. 但要注意：運用公式T（αβ）時必須限定α、β、αβ都不等于＋kπ（k∈Z），因為tan（＋kπ）不存在. 下面我們看一下它們的應(yīng)用 二、例題講解 ［例1］不查表求tan75，tan15的值. 解：tan75＝tan（45＋30） ＝＝＝2＋ tan15＝tan（45－30） ＝＝＝2－ ［例2］求下列各式的值 （1） （2） (1)分析：觀察題目結(jié)構(gòu)，聯(lián)想學(xué)過的公式，不難看出可用兩角差的正切公式. 解：＝tan（71－26）＝tan45＝1 (2)分析：雖不可直接使用兩角和的正切公式，但經(jīng)過變形可使用之求解. 解：由tan150＝tan（75＋75）＝ 得：＝2 ＝2＝2cot150＝2cot（180－30）＝－2cot30＝－2 說明：要熟練掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，以靈活應(yīng)用. ［例3］利用和角公式計算的值. 分析：因為tan45＝1，所以原式可看成 這樣,我們可以運用正切的和角公式，把原式化為tan（45＋15）,從而求得原式的值. 解：∵tan45＝1 ∴＝＝tan（45＋15)＝tan60＝ 說明：在解三角函數(shù)題目時，要注意“1”的妙用. ［例4］若tan（α＋β）＝，tan（β－）＝，求tan（α＋）的值. 分析：注意已知角與所求角的關(guān)系，則可發(fā)現(xiàn)（α＋）＋（β－）＝α＋β，所以可將α＋化為（α＋β）－（β－），從而求得tan（α＋）的值. 解：tan（α＋）＝tan［（α＋β）－（β－)］ ＝ 將tan（α＋β）＝，tan（β－)＝代入上式，則，原式＝＝ ［例5］已知tanα＝，tan（α－β）＝－，求tan（β－2α). 解：∵α＋（α－β）＝2α－β ∴tan（β－2α）＝tan［－（2α－β）］ ＝－tan（2α－β）＝－tan［α＋（α－β)］ ＝＝＝－ 4.證明tan－tan＝ 分析：細(xì)心觀察已知等式中的角，發(fā)現(xiàn)它們有隱含關(guān)系：＋＝2x，－＝x ∴sinx＝sincos－cossin ① cosx＋cos2x＝2coscos ② ①②即得： ＝－＝tan－tan. Ⅲ.課堂練習(xí) 1.化簡下列各式 (1)tan（α＋β）（1－tanαtanβ） (2) －1 (3) 解：（1）tan（α＋β）（1－tanαtanβ） ＝（1－tanαtanβ）＝tanα＋tanβ (2) －1＝－1 ＝1＋tanαtanβ－1＝tanαtanβ (3) ＝tan［（α－β）＋β］＝tanα 說明：這一題目若將tan（α－β）用兩角差的正切公式展開，則誤入歧途，要注意整體思想. 2.求值： (1) (2) (3)tan21（1＋tan24）＋tan24 解：(1) ＝tan（35＋25）＝tan60＝ (2) ＝tan（86－26）＝tan60＝ （3）分析：因為tan21＝tan（45－24）＝ 又因為tan45＝1 所以，1＋tan24＝1＋tan45tan24 這樣，可將原式化為： tan（45－24）（1＋tan45tan24）＋tan24 從而求得原式的值. 解：tan21（1＋tan24）＋tan24 ＝tan（45－24）（1＋tan45tan24）＋tan24 ＝（1＋tan45tan24）＋tan24＝1 Ⅳ.課時小結(jié) 正切的和、差角公式以及它們的等價變形. 即：tan（αβ）＝ Tanαtanβ＝tan（αβ）［1tanαtanβ］ 1tanαtanβ＝ 這些公式在化簡、求值、證明三角恒等式時都有不少用處. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P105習(xí)題 1，2，3，4