2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 概率單元綜合測試 北師大版選修2-3一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1已知隨機變量XB，則P(X2)等于()A.B.C.D答案D解析P(X2)C24.2設(shè)隨機變量XB(n，p)，且E(X)1.6，D(X)1.28，則()An8，p0.2Bn4，p0.4Cn5，p0.32Dn7，p0.45答案A解析XB(n，p)，E(X)np，D(X)np(1p)，從而有，解得n8，p0.2.3從某地區(qū)的兒童中挑選體操運動員，已知兒童體型合格的概率為，身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格的概率為，從中任選一兒童，這兩項至少有一項合格的概率是(假定體型與身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格與否相互之間沒有影響)()A.BC.D答案D解析設(shè)“兒童體型合格”為事件A，“身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格”為事件B，則P(A)，P(B).又A、B相互獨立，則、也相互獨立，則P()P()P()，故至少有一項合格的概率為P1P()，選D.4(xx新課標(biāo)理，5)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為()A.BC.D答案D解析四位同學(xué)安排有16種方式，周六、周日都有同學(xué)參加以有下方式，周六1人，周日3人；周六2人；周六3人，周日1人；所以共有2CCA14，由古典概型的概率得P.計算古典概型的概率，要將基本事件空間和滿足條件的基本事件數(shù)逐一計算準(zhǔn)確5盒中有10只螺絲釘，其中有3只是壞的，現(xiàn)從盒中隨機取2只，那么在第一只取為好的前提下，至多1只是壞的概率為()A.B1C.D答案B解析設(shè)事件A表示“抽取第一只為好的”，事件B為“抽取的兩只中至多1只是壞的”，P(A)，P(AB)，P(B|A)1.6某商場買來一車蘋果，從中隨機抽取了10個蘋果，其質(zhì)量(單位：g)分別為：150,152,153,149,148,146,151,150,152,147.由此可估計這車蘋果的單個蘋果質(zhì)量的均值是()A150.2 gB149.8 gC149.4 gD147.8 g答案B7某班有48名學(xué)生，某次數(shù)學(xué)成績經(jīng)計算得到的平均分為70分，標(biāo)準(zhǔn)差為S.后來發(fā)現(xiàn)成績記錄有誤，學(xué)生甲得80分卻識記為50分，學(xué)生乙得70分卻誤記為100分，更正后計算標(biāo)準(zhǔn)差為S1，則S與S1之間的大小關(guān)系是()AS1>SBS1SCS>S1D無法判斷答案C8設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布XN(2,2)，則D的值為()A1B2C.D4答案C解析由XN(2,2)，即D(X)2，DD(X).9袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率是，現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸出1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止，每個球每一次被取到的機會是等可能的，那么甲取到白球的概率是()A.BC.D答案D解析設(shè)袋中有白球n個，則從中任取2個球都是白球的概率是，解得n3，即袋中有4個黑球3個白球設(shè)甲取到白球時取球的次數(shù)為X，則甲取到白球有：X1、X3、X5所求的概率為PP(X1)P(X3)P(X5).10.(xx浙江理，9)已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍(lán)球(m3，n3)，從乙盒中隨機抽取i(i1,2)個球放入甲盒中(a)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為i(i1,2)；(b)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i1,2)則()Ap1>p2，E(1)<E(2)Bp1<p2，E(1)>E(2)Cp1>p2，E(1)>E(2)Dp1<p2，E(1)<E(2)答案C解析p1，p2，p1p2>0，故p1>p2，E(1)01，E(2)，由上面比較可知E(1)>E(2)，故選C.二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)11加工某一零件需經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為、，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為_答案解析本題考查獨立事件，對立事件有關(guān)概率的基本知識以及計算方法設(shè)加工出來的零件為次品為事件A，則為加工出來的零件為正品P(A)1P()1(1)(1)(1).12某人乘公交車前往火車站，由于交通擁擠，所需時間X(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(50,102)則他在3070分鐘內(nèi)趕上火車的概率為_答案0.954解析因為XN(50,102)即50，10，所以P(30<X<70)P(50210<X<50210)0.954.13.將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣湫∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是，則小球落入A袋中的概率為_答案解析小球落入B袋中的概率為P1()2，小球落入A袋中的概率為P1P1.14某種動物從出生起算起，活到10歲的概率為0.9，活到15歲的概率為0.3，現(xiàn)在一個10歲的這種動物，則它活到15歲的概率為_答案解析設(shè)事件A“能活到10歲”，事件B為“能活到15歲”， 則P(A)0.9，P(B)0.3，而所求的概率為P(B|A)由于BA，故ABB，于是P(B|A).15(xx廣東理，13)已知隨機變量X服從二項分布B(n，p)若E(X)30，D(X)20，則p_.答案解析依題可得E(X)np30且D(x)np(1p)20，解得p.三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分)16.(xx安徽理，17)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)解析(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A.P(A).(2)X的可能取值為200,300,400.P(X)200.P(X300).P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列為X200300400PEX200300400350.17.小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團還是參加學(xué)校排球隊游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點，再從A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8(如圖)這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X.若X0就參加學(xué)校合唱團，否則就參加學(xué)校排球隊(1)求小波參加學(xué)校合唱團的概率；(2)求X的分布列和均值解析(1)從8個點中任取兩點為向量終點的不同取法共有C28種X0時，兩向量夾角為直角共有8種情形，所以小波參加學(xué)校合唱團的概率為P(X0).(2)兩向量數(shù)量積X的所有可能取值為2，1,0,1，X2時，有2種情形；X1時，有8種情形；X1時，有10種情形所以X的分布列為：X2101PE(X)(2)(1)01.18.(xx陜西理，19)設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為T，T只與道路暢通狀況有關(guān)，對其容量為100的樣本進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下：T(分鐘)25303540頻數(shù)(次)20304010(1)求T的分布列與均值E(T)；(2)劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率解析(1)由統(tǒng)計結(jié)果可得T的頻率分布為T(分鐘)25303540頻率0.20.30.40.1以頻率估計概率得T的分布列為T25303540P0.20.30.40.1從而E(T)250.2300.3350.4400.132(分鐘)(2)設(shè)T1、T2分別表示往、返所需時間，T1、T2的取值相互獨立，且與T的分布列相同設(shè)事件A表示“劉教授共用時間不超過120分鐘”，由于講座時間為50分鐘，所以事件A對應(yīng)于“劉教授在路途中的時間不超過70分鐘”P()P(T1T270)P(T135，T240)P(T140，T235)P(T140，T240)0.40.10.10.40.10.10.09，故P(A)1P()0.91.19.一名博彩者，放6個白球和6個紅球在一個袋子中，定下規(guī)矩：凡是愿意摸彩者，每人交1元作為手續(xù)費，然后可以一次從袋中摸出5個球，中彩情況如下表：摸5個球中彩發(fā)放獎品有5個白球1頂帽子(價值20元)恰有4個白球1張賀卡(價值2元)恰有3個白球紀(jì)念品(價值0.5元)其他同樂一次(無任何獎品)試計算：(1)摸一次能獲得20元獎品的概率(2)按摸10 000次統(tǒng)計，這個人能否賺錢？如果賺錢，則凈賺多少錢？解析(1)摸一次能獲得20元獎品的概率是P，(2)如果把取到的白球作為隨機變量X，則P(X5)，P(X4)，P(X3)，P(X2)P(X1)P(X0)，所以博彩者的收入這一隨機變量Y(可以為負(fù)數(shù))的分布列為：Y1910.51P所以收入的隨機變量Y的均值為E(Y)(19)(1)0.510.4 318.故這個可以賺錢，且摸10 000次凈收入的期望為4 318元20.(xx湖北理，20)某廠用鮮牛奶在某臺設(shè)備上生產(chǎn)A，B兩種奶制品生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時，獲利1 000元；生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸，使用設(shè)備1.5小時，獲利1 200元要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品時間之和不超過12小時假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W(單位：噸)是一個隨機變量，其分布列為W121518P0.30.50.2該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z(單位：元)是一個隨機變量(1)求Z的分布列和均值；(2)若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10 000元的概率解析(1)設(shè)每天A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為x，y，相應(yīng)的獲利為z，則有(1)目標(biāo)函數(shù)為z1 000x1 200y. 圖1 圖2 圖3當(dāng)W12時，(1)表示的平面區(qū)域如圖1，三個頂點分別為A(0,0)，B(2.4,4.8)，C(6,0)將z1 000x1 200y變形為yx，當(dāng)x2.4，y4.8時，直線l：yx，在y軸上截距最大，最大獲利Zzmax2.41 0004.81 2008 160(元)當(dāng)W15時，(1)表示的平面區(qū)域如圖2，三個頂點分別為A(0,0)，B(3,6)，C(7.5,0)將z1 000x1 200y變形為yx，當(dāng)x3，y6時，直線l：yx在y軸上的截距最大，最大獲利Zzmax31 00061 20010 200(元)當(dāng)W18時 ，(1)表示的平面區(qū)域如圖3，四個頂點分別為A(0,0)，B(3,6)，C(6,4)，D(9,0)將z1 000x1 200y變形為yx，當(dāng)x6，y4時，直線l：yx在y軸上的截距最大，最大獲利Zzmax61 00041 20010 800.故最大獲利Z的分布列為Z8 16010 20010 800P0.30.50.2因此，E(Z)8 1600.310 2000.510 8000.29 708.(2)由(1)知，一天最大獲利超過10 000元的概率p1P(Z10 000)0.50.20.7，由二項分布，3天中至少有1天最大獲利超過10 000元的概率為p1(1p1)310.330.973.21.(xx山東理，18)乒乓球臺面被網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個不相交的區(qū)域A、B，乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C、D.某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球規(guī)定：回球一次，落點在C上記3分，在D上記1分，其它情況記0分對落點在A上的來球，隊員小明回球的落點在C上的概率為，在D上的概率為；對落點在B上的來球，小明回球的落點在C上的概率為，在D上的概率為.假設(shè)共有兩次來球且落在A、B上各一次，小明的兩次回球互不影響求：(1)小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；(2)兩次回球結(jié)束后，小明得分之和的分布列與均值解析(1)記Ai為事件“小明對落點在A上的來球回球的得分為i分”(i0,1,3)，則P(A3)，P(A1)，P(A0)1；記Bi為事件“小明對落點在B上的來球回球的得分為i分”(i0,1,3)，則P(B3)，P(B1)，P(B0)1.記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”由題意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的獨立性和互斥性，P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3)P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3)，所以小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率為.(2)由題意，隨機變量可能的取值為0、1、2、3、4、6，由事件的獨立性和互斥性，得P(0)P(A0B0)，P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1)，P(2)P(A1B1)，P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3)，P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3)，P(6)P(A3B3).可得隨機變量的分布列為：012346P所以，均值E012346.