2019-2020年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊一 離散型隨機(jī)變量及其分布列1完整講義（學(xué)生版）知識內(nèi)容1 離散型隨機(jī)變量及其分布列離散型隨機(jī)變量如果在試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，并且是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量叫做一個隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用大寫字母表示如果隨機(jī)變量的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的分布列將離散型隨機(jī)變量所有可能的取值與該取值對應(yīng)的概率列表表示：我們稱這個表為離散型隨機(jī)變量的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量的分布列2幾類典型的隨機(jī)分布兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量的分布列為其中，則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布二點(diǎn)分布舉例：某次抽查活動中，一件產(chǎn)品合格記為，不合格記為，已知產(chǎn)品的合格率為，隨機(jī)變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則的分布列滿足二點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布又稱分布，由于只有兩個可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，所以這種分布又稱為伯努利分布超幾何分布一般地，設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品，其中一類有件，從所有物品中任取件，這件中所含這類物品件數(shù)是一個離散型隨機(jī)變量，它取值為時的概率為，為和中較小的一個我們稱離散型隨機(jī)變量的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱服從參數(shù)為，的超幾何分布在超幾何分布中，只要知道，和，就可以根據(jù)公式求出取不同值時的概率，從而列出的分布列二項(xiàng)分布1獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)如果每次試驗(yàn)，只考慮有兩個可能的結(jié)果及，并且事件發(fā)生的概率相同在相同的條件下，重復(fù)地做次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，那么一般就稱它們?yōu)榇为?dú)立重復(fù)試驗(yàn)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率為2二項(xiàng)分布若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率是，其中于是得到的分布列由于表中的第二行恰好是二項(xiàng)展開式各對應(yīng)項(xiàng)的值，所以稱這樣的散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作二項(xiàng)分布的均值與方差：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，則，正態(tài)分布1 概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時，直方圖上面的折線所接近的曲線在隨機(jī)變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量，則這條曲線稱為的概率密度曲線曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是，而隨機(jī)變量落在指定的兩個數(shù)之間的概率就是對應(yīng)的曲邊梯形的面積2正態(tài)分布定義：如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨(dú)立的偶然因素所引起的，而且每一個偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量的概率分布近似服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量，簡稱正態(tài)變量正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為，其中，是參數(shù)，且，式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布通常記作正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布重要結(jié)論：正態(tài)變量在區(qū)間，內(nèi)，取值的概率分別是，正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為，在區(qū)間之外的取值的概率是，故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的原則若，為其概率密度函數(shù)，則稱為概率分布函數(shù)，特別的，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對密度曲線的理解即可3離散型隨機(jī)變量的期望與方差1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：一般地，設(shè)一個離散型隨機(jī)變量所有可能的取的值是，這些值對應(yīng)的概率是，則，叫做這個離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡稱期望）離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個離散型隨機(jī)變量的平均取值水平2離散型隨機(jī)變量的方差一般地，設(shè)一個離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是，這些值對應(yīng)的概率是，則叫做這個離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對于期望的平均波動的大?。x散程度）的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個衡量離散型隨機(jī)變量波動大小的量3為隨機(jī)變量，為常數(shù)，則；4 典型分布的期望與方差：二點(diǎn)分布：在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為，在次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，則，超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布，則，4事件的獨(dú)立性如果事件是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，即，這時，我們稱兩個事件，相互獨(dú)立，并把這兩個事件叫做相互獨(dú)立事件如果事件，相互獨(dú)立，那么這個事件都發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即，并且上式中任意多個事件換成其對立事件后等式仍成立5條件概率對于任何兩個事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號“”來表示把由事件與的交（或積），記做（或）典例分析【例1】 以下隨機(jī)變量中，不是離散型隨機(jī)變量的是： 某城市一天之內(nèi)發(fā)生的火警次數(shù)； 某城市一天之內(nèi)的溫度【例2】 下列隨機(jī)變量中，不是離散隨機(jī)變量的是（ ）A從10只編號的球 （ 0號到9號） 中任取一只，被取出的球的號碼 B拋擲兩個骰子，所得的最大點(diǎn)數(shù)C區(qū)間內(nèi)任一實(shí)數(shù)與它四舍五入取整后的整數(shù)的差值 D一電信局在未來某日內(nèi)接到的電話呼叫次數(shù)【例3】 寫出下列各隨機(jī)變量可能的取值 小明要去北京旅游，可能乘火車、汽車，也可能乘飛機(jī)，他的旅費(fèi)分別為元、元和 元，記他的旅費(fèi)為； 正方體的骰子，各面分別刻著，隨意擲兩次，所得的點(diǎn)數(shù)之和【例4】 寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果一袋中裝有5只同樣大小的白球，編號為1，2，3，4，5 現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3只球，被取出的球的最大號碼數(shù)；某單位的某部電話在單位時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)注意事件與數(shù)字間的對應(yīng)關(guān)系【例5】 拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為，那么表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是（ ）A一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)B兩顆都是2點(diǎn)C兩顆都是4點(diǎn)D一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn)【例6】 如果是一個離散型隨機(jī)變量，則假命題是（ ）A取每一個可能值的概率都是非負(fù)數(shù)；B取所有可能值的概率之和為1；C取某幾個值的概率等于分別取其中每個值的概率之和；D在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和