2019-2020年高中數(shù)學(xué) 統(tǒng)計(jì) 板塊六 回歸分析完整講義（學(xué)生版）知識(shí)內(nèi)容一隨機(jī)抽樣1隨機(jī)抽樣：滿足每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是均等的抽樣，共有三種經(jīng)常采用的隨機(jī)抽樣方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：從元素個(gè)數(shù)為的總體中不放回地抽取容量為的樣本，如果每一次抽取時(shí)總體中的各個(gè)個(gè)體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽出辦法：抽簽法：用紙片或小球分別標(biāo)號(hào)后抽簽的方法隨機(jī)數(shù)表法：隨機(jī)數(shù)表是使用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)的應(yīng)用程序生成隨機(jī)數(shù)的功能生成的一張數(shù)表表中每一位置出現(xiàn)各個(gè)數(shù)字的可能性相同隨機(jī)數(shù)表法是對(duì)樣本進(jìn)行編號(hào)后，按照一定的規(guī)律從隨機(jī)數(shù)表中讀數(shù)，并取出相應(yīng)的樣本的方法簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是最簡(jiǎn)單、最基本的抽樣方法系統(tǒng)抽樣：將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本的抽樣方法抽出辦法：從元素個(gè)數(shù)為的總體中抽取容量為的樣本，如果總體容量能被樣本容量整除，設(shè)，先對(duì)總體進(jìn)行編號(hào)，號(hào)碼從到，再?gòu)臄?shù)字到中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)作為起始數(shù)，然后順次抽取第個(gè)數(shù)，這樣就得到容量為的樣本如果總體容量不能被樣本容量整除，可隨機(jī)地從總體中剔除余數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣方法進(jìn)行抽樣系統(tǒng)抽樣適用于大規(guī)模的抽樣調(diào)查，由于抽樣間隔相等，又被稱為等距抽樣分層抽樣：當(dāng)總體有明顯差別的幾部分組成時(shí)，要反映總體情況，常采用分層抽樣，使總體中各個(gè)個(gè)體按某種特征分成若干個(gè)互不重疊的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣分層抽樣的樣本具有較強(qiáng)的代表性，而且各層抽樣時(shí)，可靈活選用不同的抽樣方法，應(yīng)用廣泛2簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣必須具備下列特點(diǎn)：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣要求被抽取的樣本的總體個(gè)數(shù)是有限的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)小于等于樣本總體的個(gè)數(shù)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是從總體中逐個(gè)抽取的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種不放回的抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的每個(gè)個(gè)體入樣的可能性均為3系統(tǒng)抽樣時(shí)，當(dāng)總體個(gè)數(shù)恰好是樣本容量的整數(shù)倍時(shí)，取；若不是整數(shù)時(shí)，先從總體中隨機(jī)地剔除幾個(gè)個(gè)體，使得總體中剩余的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除因?yàn)槊總€(gè)個(gè)體被剔除的機(jī)會(huì)相等，因而整個(gè)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)仍然相等，為二頻率直方圖列出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖的步驟：計(jì)算極差：找出數(shù)據(jù)的最大值與最小值，計(jì)算它們的差；決定組距與組數(shù)：取組距，用決定組數(shù)；決定分點(diǎn)：決定起點(diǎn)，進(jìn)行分組；列頻率分布直方圖：對(duì)落入各小組的數(shù)據(jù)累計(jì)，算出各小數(shù)的頻數(shù)，除以樣本容量，得到各小組的頻率繪制頻率分布直方圖：以數(shù)據(jù)的值為橫坐標(biāo)，以的值為縱坐標(biāo)繪制直方圖，知小長(zhǎng)方形的面積組距頻率頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖各個(gè)長(zhǎng)方形上邊的中點(diǎn)用線段連接起來(lái)，就得到頻率分布折線圖，一般把折線圖畫成與橫軸相連，所以橫軸左右兩端點(diǎn)沒(méi)有實(shí)際意義總體密度曲線：樣本容量不斷增大時(shí)，所分組數(shù)不斷增加，分組的組距不斷縮小，頻率分布直方圖可以用一條光滑曲線來(lái)描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線總體密度曲線精確地反映了一個(gè)總體在各個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律三莖葉圖制作莖葉圖的步驟：將數(shù)據(jù)分為“莖”、“葉”兩部分；將最大莖與最小莖之間的數(shù)字按大小順序排成一列，并畫上豎線作為分隔線；將各個(gè)數(shù)據(jù)的“葉”在分界線的一側(cè)對(duì)應(yīng)莖處同行列出 四統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)；用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)的離散程序可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述極差又叫全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差，反映一組數(shù)據(jù)的變動(dòng)幅度；樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)平均數(shù)波動(dòng)的大小，樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根一般地，設(shè)樣本的元素為樣本的平均數(shù)為，定義樣本方差為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差簡(jiǎn)化公式：五獨(dú)立性檢驗(yàn)1兩個(gè)變量之間的關(guān)系；常見(jiàn)的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系；另一類是變量間存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有一定隨機(jī)性的當(dāng)一個(gè)變量取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系2散點(diǎn)圖：將樣本中的個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)描在平面直角坐標(biāo)系中，就得到了散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖形象地反映了各個(gè)數(shù)據(jù)的密切程度，根據(jù)散點(diǎn)圖的分布趨勢(shì)可以直觀地判斷分析兩個(gè)變量的關(guān)系3如果當(dāng)一個(gè)變量的值變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也在變大，則這種相關(guān)稱為正相關(guān)；此時(shí)，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)在從左下角到右上角的區(qū)域反之，一個(gè)變量的值變大時(shí)，另一個(gè)變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān)此時(shí)，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)在從左上角到右下角的區(qū)域散點(diǎn)圖可以判斷兩個(gè)變量之間有沒(méi)有相關(guān)關(guān)系4統(tǒng)計(jì)假設(shè)：如果事件與獨(dú)立，這時(shí)應(yīng)該有，用字母表示此式，即，稱之為統(tǒng)計(jì)假設(shè)5（讀作“卡方”）統(tǒng)計(jì)量：統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一個(gè)非常有用的統(tǒng)計(jì)量，它的表達(dá)式為，用它的大小可以用來(lái)決定是否拒絕原來(lái)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)如果的值較大，就拒絕，即認(rèn)為與是有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量的兩個(gè)臨界值：、；當(dāng)時(shí)，有的把握說(shuō)事件與有關(guān)；當(dāng)時(shí)，有的把握說(shuō)事件與有關(guān)；當(dāng)時(shí)，認(rèn)為事件與是無(wú)關(guān)的獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想與反證法類似，由結(jié)論不成立時(shí)推出有利于結(jié)論成立的小概率事件發(fā)生，而小概率事件在一次試驗(yàn)中通常是不會(huì)發(fā)生的，所以認(rèn)為結(jié)論在很大程度上是成立的1獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟：統(tǒng)計(jì)假設(shè)：；列出聯(lián)表；計(jì)算統(tǒng)計(jì)量；查對(duì)臨界值表，作出判斷2幾個(gè)臨界值：聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)：如果對(duì)于某個(gè)群體有兩種狀態(tài)，對(duì)于每種狀態(tài)又有兩個(gè)情況，這樣排成一張的表，如下：狀態(tài)狀態(tài)合計(jì)狀態(tài)狀態(tài)如果有調(diào)查得來(lái)的四個(gè)數(shù)據(jù)，并希望根據(jù)這樣的個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)上述的兩種狀態(tài)與是否有關(guān)，就稱之為聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)六回歸分析1回歸分析：對(duì)于具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析，即回歸分析就是尋找相關(guān)關(guān)系中這種非確定關(guān)系的某種確定性回歸直線：如果散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)都大致分布在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線2最小二乘法：記回歸直線方程為：，稱為變量對(duì)變量的回歸直線方程，其中叫做回歸系數(shù)是為了區(qū)分的實(shí)際值，當(dāng)取值時(shí)，變量的相應(yīng)觀察值為，而直線上對(duì)應(yīng)于的縱坐標(biāo)是設(shè)的一組觀察值為，且回歸直線方程為，當(dāng)取值時(shí)，的相應(yīng)觀察值為，差刻畫了實(shí)際觀察值與回歸直線上相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)之間的偏離程度，稱這些值為離差我們希望這個(gè)離差構(gòu)成的總離差越小越好，這樣才能使所找的直線很貼近已知點(diǎn)記，回歸直線就是所有直線中取最小值的那條這種使“離差平方和為最小”的方法，叫做最小二乘法用最小二乘法求回歸系數(shù)有如下的公式：，其中上方加“”，表示是由觀察值按最小二乘法求得的回歸系數(shù)3線性回歸模型：將用于估計(jì)值的線性函數(shù)作為確定性函數(shù)；的實(shí)際值與估計(jì)值之間的誤差記為，稱之為隨機(jī)誤差；將稱為線性回歸模型產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有：所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)即模型近似引起的誤差；忽略了某些因素的影響，通常這些影響都比較??；由于測(cè)量工具等原因，存在觀測(cè)誤差4線性回歸系數(shù)的最佳估計(jì)值：利用最小二乘法可以得到的計(jì)算公式為，其中，由此得到的直線就稱為回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程其中，分別為，的估計(jì)值，稱為回歸截距，稱為回歸系數(shù)，稱為回歸值5相關(guān)系數(shù)： 6相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：；越接近于1，的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；越接近于0，的線性相關(guān)程度越弱可見(jiàn)，一條回歸直線有多大的預(yù)測(cè)功能，和變量間的相關(guān)系數(shù)密切相關(guān)7轉(zhuǎn)化思想：根據(jù)專業(yè)知識(shí)或散點(diǎn)圖，對(duì)某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù)8一些備案回歸（regression）一詞的來(lái)歷：“回歸”這個(gè)詞英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Francils Galton提出來(lái)的1889年，他在研究祖先與后代的身高之間的關(guān)系時(shí)發(fā)現(xiàn)，身材較高的父母，他們的孩子也較高，但這些孩子的平均身高并沒(méi)有他們父母的平均身高高；身材較矮的父母，他們的孩子也較矮，但這些孩子的平均身高卻比他們父母的平均身高高Galton把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢(shì)稱為“回歸現(xiàn)象”后來(lái)，人們把由一個(gè)變量的變化去推測(cè)另一個(gè)變量的變化的方法稱為回歸分析回歸系數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程：，把上式看成的二次函數(shù)，的系數(shù)，因此當(dāng)時(shí)取最小值同理，把的展開(kāi)式按的降冪排列，看成的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)取最小值解得：，其中，是樣本平均數(shù)9 對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)的步驟：提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)：變量不具有線性相關(guān)關(guān)系；如果以的把握作出推斷，那么可以根據(jù)與（是樣本容量）在相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表中查出一個(gè)的臨界值（其中稱為檢驗(yàn)水平）；計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)；作出統(tǒng)計(jì)推斷：若，則否定，表明有的把握認(rèn)為變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系；若，則沒(méi)有理由拒絕，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒(méi)有充分理由認(rèn)為變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系說(shuō)明：對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，一般取檢驗(yàn)水平，即可靠程度為這里的指的是線性相關(guān)系數(shù)，的絕對(duì)值很小，只是說(shuō)明線性相關(guān)程度低，不一定不相關(guān)，可能是非線性相關(guān)的某種關(guān)系這里的是對(duì)抽樣數(shù)據(jù)而言的有時(shí)即使，兩者也不一定是線性相關(guān)的故在統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，不能就數(shù)據(jù)論數(shù)據(jù)，要結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行合理解釋典例分析題型一 線性相關(guān)及回歸【例1】 已知變量與之間的相關(guān)系數(shù)是，查表得到相關(guān)系數(shù)臨界值，要使可靠性不低于，則變量與之間（ ）A不具有線性相關(guān)關(guān)系B具有線性相關(guān)關(guān)系C線性相關(guān)關(guān)系還待進(jìn)一步確定D具有確定性關(guān)系【例2】 當(dāng)相關(guān)系數(shù)時(shí)，表明（ ）A現(xiàn)象之間完全無(wú)關(guān) B相關(guān)程度較小 C現(xiàn)象之間完全相關(guān) D無(wú)直線相關(guān)關(guān)系【例3】 下列結(jié)論中，能表示變量具有線性相關(guān)關(guān)系的是（ ）A B C D 【例4】 下列現(xiàn)象的相關(guān)密切程度最高的是（ ）A某商店的職工人數(shù)與商品銷售額之間的相關(guān)系數(shù)B流通費(fèi)用水平與利潤(rùn)率之間的相關(guān)關(guān)系為C商品銷售額與利潤(rùn)率之間的相關(guān)系數(shù)為D商品銷售額與流通費(fèi)用水平的相關(guān)系數(shù)為【例5】 在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中，下列說(shuō)法正確的是（ ）若的值為6635，我們有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺?。粡莫?dú)立性檢驗(yàn)可知有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，我們說(shuō)某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺?。蝗魪慕y(tǒng)計(jì)量中求出有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有的可能性使得判斷出現(xiàn)錯(cuò)誤；以上三種說(shuō)法都不正確【例6】 設(shè)兩個(gè)變量和之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是，關(guān)于的回歸直線的斜率是，縱截距是，那么必有（ ） A與的符號(hào)相同 B與的符號(hào)相同C與的相反 D與的符號(hào)相反【例7】 定義：點(diǎn)與直線的“縱向距離”為已知三點(diǎn)，存在直線，使三點(diǎn)到直線的“縱向距離的平方和”最小求直線的方程和的最小值；判斷點(diǎn)與直線的位置關(guān)系【例8】 （xx寧夏海南卷理）對(duì)變量，有觀測(cè)數(shù)據(jù)，得散點(diǎn)圖1；對(duì)變量，有觀測(cè)數(shù)據(jù)，得散點(diǎn)圖2 由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷A變量與正相關(guān)，與正相關(guān)B變量與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān)C變量與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)D變量與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān)【例9】 為了考查兩個(gè)變量和之間的線性關(guān)系，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立做了次和次的試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法求得回歸直線分別為，已知兩人得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中，變量和的數(shù)據(jù)的平均值都對(duì)應(yīng)相等，那么下列說(shuō)法正確的是（）A直線和一定有交點(diǎn) B直線一定平行于直線C直線一定與重合 D以上都不對(duì)【例10】 某地高校教育經(jīng)費(fèi)與高校學(xué)生人數(shù)連續(xù)6年的統(tǒng)計(jì)資料如下：教育經(jīng)費(fèi)（萬(wàn)元）316343373 393418455在校學(xué)生（萬(wàn)人） 11 16 18 20 22 25試求回歸直線方程，估計(jì)教育經(jīng)費(fèi)為500萬(wàn)元時(shí)的在校學(xué)生數(shù)【例11】 一家庭問(wèn)題研究機(jī)構(gòu)想知道是否夫妻所受的教育越高越不愿生孩子，現(xiàn)隨機(jī)抽樣了對(duì)夫妻，計(jì)算夫妻所受教育的總年數(shù)與孩子數(shù)，得結(jié)果如下191721181512142013112321試求對(duì)回歸直線方程【例12】 某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出與銷售額（單位：百萬(wàn)元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：畫出散點(diǎn)圖；求回歸直線方程【例13】 某五星級(jí)大飯店的住屋率與每天每間客房的成本（元）如下： 10075 65 55 50 xx2500 2800 3200 4000試求對(duì)回歸直線；若的表示不變，以小數(shù)表示（如表為），求新的回歸直線【例14】 某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了至月份每月號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：日 期月日月日月日月日月日月日晝夜溫差（）就診人數(shù)（個(gè)）該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取組，用剩下的組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)若選取的月與月的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)至月份的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)人，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試問(wèn)該小組所得線性回歸方程是否理想?【例15】 某種產(chǎn)品的產(chǎn)量與單位在成本的資料如下：產(chǎn)量（千件）234 345單位成本（元/件） 73 72 71 73 69 68試求：計(jì)算相關(guān)系數(shù)；對(duì)直線回歸方程；指出產(chǎn)量每增加件時(shí)，單位成本平均下降了多少元？【例16】 求回歸直線方程以下是收集到的某城市的新房屋銷售價(jià)格與房屋的大小的數(shù)據(jù)：房屋大?。ǎ?銷售價(jià)格（萬(wàn)元） 畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；用最小二乘法求回歸直線方程；估計(jì)該城市一個(gè)平米的房屋銷售價(jià)格大約為多少？寫一個(gè)程序，計(jì)算出和的值，再比較大小【例17】 （07廣東）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù) 3 4 5 6 3 4 請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?（參考數(shù)值：）【例18】 測(cè)定某肉雞的生長(zhǎng)過(guò)程，每?jī)芍苡涗浺淮坞u的重量，數(shù)據(jù)如下表：（周） 2 4 6 8 10 12 14（） 由經(jīng)驗(yàn)知生長(zhǎng)曲線為，試求對(duì)的回歸曲線方程【例19】 為了研究某種細(xì)菌隨時(shí)間x變化的繁殖個(gè)數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)123456繁殖個(gè)數(shù)612254995190作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；求出y對(duì)x的回歸方程