2019-2020年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊二 幾類典型的隨機(jī)分布3完整講義（學(xué)生版）知識(shí)內(nèi)容1 離散型隨機(jī)變量及其分布列離散型隨機(jī)變量如果在試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，并且是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量叫做一個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用大寫字母表示如果隨機(jī)變量的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的分布列將離散型隨機(jī)變量所有可能的取值與該取值對(duì)應(yīng)的概率列表表示：我們稱這個(gè)表為離散型隨機(jī)變量的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量的分布列2幾類典型的隨機(jī)分布兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量的分布列為其中，則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布二點(diǎn)分布舉例：某次抽查活動(dòng)中，一件產(chǎn)品合格記為，不合格記為，已知產(chǎn)品的合格率為，隨機(jī)變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則的分布列滿足二點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布又稱分布，由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，所以這種分布又稱為伯努利分布超幾何分布一般地，設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品，其中一類有件，從所有物品中任取件，這件中所含這類物品件數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為時(shí)的概率為，為和中較小的一個(gè)我們稱離散型隨機(jī)變量的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱服從參數(shù)為，的超幾何分布在超幾何分布中，只要知道，和，就可以根據(jù)公式求出取不同值時(shí)的概率，從而列出的分布列二項(xiàng)分布1獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)如果每次試驗(yàn)，只考慮有兩個(gè)可能的結(jié)果及，并且事件發(fā)生的概率相同在相同的條件下，重復(fù)地做次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，那么一般就稱它們?yōu)榇为?dú)立重復(fù)試驗(yàn)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率為2二項(xiàng)分布若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率是，其中于是得到的分布列由于表中的第二行恰好是二項(xiàng)展開式各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，所以稱這樣的散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作二項(xiàng)分布的均值與方差：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，則，正態(tài)分布1 概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時(shí)，直方圖上面的折線所接近的曲線在隨機(jī)變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量，則這條曲線稱為的概率密度曲線曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是，而隨機(jī)變量落在指定的兩個(gè)數(shù)之間的概率就是對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積2正態(tài)分布定義：如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨(dú)立的偶然因素所引起的，而且每一個(gè)偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量的概率分布近似服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量，簡(jiǎn)稱正態(tài)變量正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為，其中，是參數(shù)，且，式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布通常記作正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布重要結(jié)論：正態(tài)變量在區(qū)間，內(nèi)，取值的概率分別是，正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為，在區(qū)間之外的取值的概率是，故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的原則若，為其概率密度函數(shù)，則稱為概率分布函數(shù)，特別的，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對(duì)密度曲線的理解即可3離散型隨機(jī)變量的期望與方差1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能的取的值是，這些值對(duì)應(yīng)的概率是，則，叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱期望）離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平2離散型隨機(jī)變量的方差一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是，這些值對(duì)應(yīng)的概率是，則叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)的大?。x散程度）的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)衡量離散型隨機(jī)變量波動(dòng)大小的量3為隨機(jī)變量，為常數(shù)，則；4 典型分布的期望與方差：二點(diǎn)分布：在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為，在次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，則，超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布，則，4事件的獨(dú)立性如果事件是否發(fā)生對(duì)事件發(fā)生的概率沒有影響，即，這時(shí)，我們稱兩個(gè)事件，相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件如果事件，相互獨(dú)立，那么這個(gè)事件都發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即，并且上式中任意多個(gè)事件換成其對(duì)立事件后等式仍成立5條件概率對(duì)于任何兩個(gè)事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)“”來表示把由事件與的交（或積），記做（或）典例分析二項(xiàng)分布的概率計(jì)算【例1】 已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則等于 【例2】 甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，比賽采取五局三勝制，無論哪一方先勝三局則比賽結(jié)束，假定甲每局比賽獲勝的概率均為，則甲以的比分獲勝的概率為（ ）A B C D【例3】 某籃球運(yùn)動(dòng)員在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進(jìn)3個(gè)球的概率 （用數(shù)值表示）【例4】 某人參加一次考試，道題中解對(duì)道則為及格，已知他的解題正確率為，則他能及格的概率為_（保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位小數(shù)）【例5】 接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為，現(xiàn)有5人接種了該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為 （精確到）【例6】 從一批由9件正品，3件次品組成的產(chǎn)品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到兩次次品的概率（結(jié)果保留位有效數(shù)字）【例7】 一臺(tái)型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床在一小時(shí)內(nèi)不需要人照看的概為，有四臺(tái)這種型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床各自獨(dú)立工作，則在一小時(shí)內(nèi)至多有臺(tái)機(jī)床需要工人照看的概率是（ ）A B C D 【例8】 設(shè)在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同，若已知事件至少發(fā)生一次的概率等于，求事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率【例9】 我艦用魚雷打擊來犯的敵艦，至少有枚魚雷擊中敵艦時(shí)，敵艦才被擊沉如果每枚魚雷的命中率都是，當(dāng)我艦上的個(gè)魚雷發(fā)射器同是向敵艦各發(fā)射枚魚雷后，求敵艦被擊沉的概率（結(jié)果保留位有效數(shù)字）【例10】 某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中的任意連續(xù)取出2件，求次品數(shù)的概率分布列及至少有一件次品的概率【例11】 某公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請(qǐng)兩位專家，獨(dú)立地對(duì)每位大學(xué)生的創(chuàng)業(yè)方案進(jìn)行評(píng)審假設(shè)評(píng)審結(jié)果為“支持”或“不支持”的概率都是若某人獲得兩個(gè)“支持”，則給予萬元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲得一個(gè)“支持”，則給予萬元的資助；若未獲得“支持”，則不予資助求： 該公司的資助總額為零的概率； 該公司的資助總額超過萬元的概率【例12】 某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，顧客可采用一次性付款或分期付款購買根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用一次性付款的概率是，經(jīng)銷一件該商品，若顧客采用一次性付款，商場(chǎng)獲得利潤元；若顧客采用分期付款，商場(chǎng)獲得利潤元 求位購買該商品的顧客中至少有位采用一次性付款的概率； 求位位顧客每人購買件該商品，商場(chǎng)獲得利潤不超過元的概率【例13】 某萬國家具城進(jìn)行促銷活動(dòng)，促銷方案是：顧客每消費(fèi)元，便可獲得獎(jiǎng)券一張，每張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為，若中獎(jiǎng)，則家具城返還顧客現(xiàn)金元某顧客消費(fèi)了元，得到3張獎(jiǎng)券求家具城恰好返還該顧客現(xiàn)金元的概率；求家具城至少返還該顧客現(xiàn)金元的概率【例14】 某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各株大樹是否成活互不影響求移栽的4株大樹中：至少有1株成活的概率；兩種大樹各成活1株的概率【例15】 一個(gè)口袋中裝有個(gè)紅球（且）和個(gè)白球，一次摸獎(jiǎng)從中摸兩個(gè)球，兩個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng)試用表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率；若，求三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率；記三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率為當(dāng)取多少時(shí)，最大？【例16】 袋子和中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，從中摸出一個(gè)紅球的概率為從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止求恰好摸5次停止的概率；記5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布若兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為，將中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，求的值【例17】 設(shè)飛機(jī)有兩個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)，飛機(jī)有四個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)，如有半數(shù)或半數(shù)以上的發(fā)動(dòng)機(jī)沒有故障，就能夠安全飛行，現(xiàn)設(shè)各個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)生故障的概率是的函數(shù)，其中為發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)后所經(jīng)歷的時(shí)間，為正的常數(shù)，試討論飛機(jī)與飛機(jī)哪一個(gè)安全？（這里不考慮其它故障）【例18】 假設(shè)飛機(jī)的每一臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)在飛行中的故障率都是，且各發(fā)動(dòng)機(jī)互不影響如果至少的發(fā)動(dòng)機(jī)能正常運(yùn)行，飛機(jī)就可以順利地飛行問對(duì)于多大的而言，四發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)比二發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)更安全？【例19】 一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是設(shè)為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求的分布列；設(shè)為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求的分布列；求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率【例20】 一個(gè)質(zhì)地不均勻的硬幣拋擲次，正面向上恰為次的可能性不為，而且與正面向上恰為次的概率相同令既約分?jǐn)?shù)為硬幣在次拋擲中有次正面向上的概率，求【例21】 某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為，計(jì)算（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位）5次預(yù)報(bào)中恰有次準(zhǔn)確的概率；次預(yù)報(bào)中至少有次準(zhǔn)確的概率；5次預(yù)報(bào)中恰有次準(zhǔn)確，且其中第次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率；【例22】 某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第層可以?？咳粼撾娞菰诘讓虞d有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為，求至少有兩位乘客在20層下的概率【例23】 10個(gè)球中有一個(gè)紅球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第次才取得次紅球的概率【例24】 某車間為保證設(shè)備正常工作，要配備適量的維修工設(shè)各臺(tái)設(shè)備發(fā)生的故障是相互獨(dú)立的，且每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率都是試求：若由一個(gè)人負(fù)責(zé)維修20臺(tái)，求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率；若由3個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)設(shè)備，求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率，并進(jìn)行比較說明哪種效率高【例25】 是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為觀察3個(gè)試驗(yàn)組，求至少有1個(gè)甲類組的概率（結(jié)果保留四位有效數(shù)字）【例26】 已知甲投籃的命中率是，乙投籃的命中率是，兩人每次投籃都不受影響，求投籃3次甲勝乙的概率（保留兩位有效數(shù)字）【例27】 若甲、乙投籃的命中率都是，求投籃次甲勝乙的概率（）【例28】 省工商局于某年3月份，對(duì)全省流通領(lǐng)域的飲料進(jìn)行了質(zhì)量監(jiān)督抽查，結(jié)果顯示，某種剛進(jìn)入市場(chǎng)的飲料的合格率為，現(xiàn)有甲，乙，丙人聚會(huì)，選用瓶飲料，并限定每人喝瓶，求：甲喝瓶合格的飲料的概率；甲，乙，丙人中只有人喝瓶不合格的飲料的概率（精確到）【例29】 在一次考試中出了六道是非題，正確的記“”號(hào)，不正確的記“”號(hào)若某考生隨手記上六個(gè)符號(hào)，試求：全部是正確的概率；正確解答不少于4道的概率；至少答對(duì)道題的概率【例30】 某大學(xué)的校乒乓球隊(duì)與數(shù)學(xué)系乒乓球隊(duì)舉行對(duì)抗賽，校隊(duì)的實(shí)力比系隊(duì)強(qiáng)，當(dāng)一個(gè)校隊(duì)隊(duì)員與系隊(duì)隊(duì)員比賽時(shí)，校隊(duì)隊(duì)員獲勝的概率為現(xiàn)在校、系雙方商量對(duì)抗賽的方式，提出了三種方案：雙方各出人；雙方各出人；雙方各出人三種方案中場(chǎng)次比賽中得勝人數(shù)多的一方為勝利問：對(duì)系隊(duì)來說，哪一種方案最有利？二項(xiàng)分布的期望與方差【例31】 已知，求與【例32】 已知，則與的值分別為（ ）A和 B和 C和 D和【例33】 已知隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，則它的期望 ，方差 【例34】 已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則二項(xiàng)分布的參數(shù)，的值分別為 ， 【例35】 一盒子內(nèi)裝有個(gè)乒乓球，其中個(gè)舊的，個(gè)新的，每次取一球，取后放回，取次，則取到新球的個(gè)數(shù)的期望值是 【例36】 同時(shí)拋擲枚均勻硬幣次，設(shè)枚硬幣正好出現(xiàn)枚正面向上，枚反面向上的次數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望是（ ）A B C D【例37】 某服務(wù)部門有個(gè)服務(wù)對(duì)象，每個(gè)服務(wù)對(duì)象是否需要服務(wù)是獨(dú)立的，若每個(gè)服務(wù)對(duì)象一天中需要服務(wù)的可能性是，則該部門一天中平均需要服務(wù)的對(duì)象個(gè)數(shù)是（ ）A B C D【例38】 一個(gè)袋子里裝有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)黃球，從中同時(shí)取出個(gè)，則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是_（用數(shù)字作答）【例39】 同時(shí)拋擲枚均勻硬幣次，設(shè)枚硬幣正好出現(xiàn)枚正面向上，枚反面向上的次數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望是（ ）A B C D【例40】 某批數(shù)量較大的商品的次品率是，從中任意地連續(xù)取出件，為所含次品的個(gè)數(shù)，求【例41】 甲、乙、丙人投籃，投進(jìn)的概率分別是 現(xiàn)3人各投籃1次，求3人都沒有投進(jìn)的概率； 用表示乙投籃3次的進(jìn)球數(shù)，求隨機(jī)變量的概率分布及數(shù)學(xué)期望【例42】 拋擲兩個(gè)骰子，當(dāng)至少有一個(gè)點(diǎn)或點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功 求一次試驗(yàn)中成功的概率； 求在次試驗(yàn)中成功次數(shù)的分布列及的數(shù)學(xué)期望與方差【例43】 某尋呼臺(tái)共有客戶人，若尋呼臺(tái)準(zhǔn)備了份小禮品，邀請(qǐng)客戶在指定時(shí)間來領(lǐng)取假設(shè)任一客戶去領(lǐng)獎(jiǎng)的概率為問：尋呼臺(tái)能否向每一位顧客都發(fā)出獎(jiǎng)邀請(qǐng)？若能使每一位領(lǐng)獎(jiǎng)人都得到禮品，尋呼臺(tái)至少應(yīng)準(zhǔn)備多少禮品？【例44】 某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有，參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有，假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒有影響任選1名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；任選3名下崗人員，記為3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)，求的分布和期望【例45】 設(shè)進(jìn)入某商場(chǎng)的每一位顧客購買甲種商品的概率為，購買乙種商品的概率為，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨(dú)立，各顧客之間購買商品也是相互獨(dú)立的記表示進(jìn)入商場(chǎng)的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求的分布及期望【例46】 某班級(jí)有人，設(shè)一年天中，恰有班上的（）個(gè)人過生日的天數(shù)為，求的期望值以及至少有兩人過生日的天數(shù)的期望值【例47】 購買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)元，若投保人在購買保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得元的賠償金假定在一年度內(nèi)有人購買了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金元的概率為求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率；設(shè)保險(xiǎn)公司開辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為元，為保證盈利的期望不小于，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)（單位：元）【例48】 某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對(duì)5家小型煤礦進(jìn)行安全檢查（簡(jiǎn)稱安檢）若安檢不合格，則必須進(jìn)行整改若整改后復(fù)查仍不合格，則強(qiáng)行關(guān)閉設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨(dú)立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率是，整改后安檢合格的概率是，計(jì)算（結(jié)果精確到）恰好有兩家煤礦必須整改的概率；平均有多少家煤礦必須整改；至少關(guān)閉一家煤礦的概率【例49】 設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作若一周5個(gè)工作日里均無故障，可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障可獲利潤5萬元，只發(fā)生兩次故障可獲利潤0萬元，發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元求一周內(nèi)期望利潤是多少？（精確到）【例50】 在汶川大地震后對(duì)唐家山堰塞湖的搶險(xiǎn)過程中，武警官兵準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油罐已知只有發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆每次射擊是相互獨(dú)立的，且命中的概率都是求油罐被引爆的概率；如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為，求的分布列及【例51】 某商場(chǎng)準(zhǔn)備在國慶節(jié)期間舉行促銷活動(dòng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該商場(chǎng)決定從種服裝商品，種家電商品，種日用商品中，選出種商品進(jìn)行促銷活動(dòng)試求選出的種商品中至少有一種是日用商品的概率；商場(chǎng)對(duì)選出的某商品采用的促銷方案是有獎(jiǎng)銷售，即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高元，同時(shí)，若顧客購買該商品，則允許有次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，若中獎(jiǎng)，則每次中獎(jiǎng)都獲得數(shù)額為的獎(jiǎng)金假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)與否的概率都是，請(qǐng)問：商場(chǎng)應(yīng)將每次中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額最高定為多少元，才能使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利?【例52】 將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣湫∏蛟谙侣涞倪^程中，將次遇到黑色障礙物，最后落入袋或袋中已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是 求小球落入袋中的概率； 在容器入口處依次放入個(gè)小球，記為落入袋中的小球個(gè)數(shù)，試求的概率和的數(shù)學(xué)期望【例53】 一個(gè)袋中有大小相同的標(biāo)有1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球，某人做如下游戲，每次從袋中拿一個(gè)球（拿后放回），記下標(biāo)號(hào)若拿出球的標(biāo)號(hào)是3的倍數(shù)，則得1分，否則得分 求拿4次至少得2分的概率； 求拿4次所得分?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望【例54】 某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)五位的二進(jìn)制數(shù)，其中的各位數(shù)中，出現(xiàn)的概率為，出現(xiàn)的概率為記，當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)， 求的概率； 求的概率分布和期望【例55】 某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2 min 求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率； 求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間的分布列及期望