2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.3圓的方程2.3.2圓的一般方程課堂探究新人教B版必修探究一 二元二次方程表示圓的條件方程x2y2DxEyF0表示圓的兩種判斷方法：(1)(配方法)對(duì)形如x2y2DxEyF0的二元二次方程可以通過(guò)配方變形成“標(biāo)準(zhǔn)”形式后，觀察是否表示圓；(2)(運(yùn)用圓的一般方程的判斷方法求解)即通過(guò)判斷D2E24F是否為正，確定它是否表示圓【典型例題1】 若關(guān)于x，y的方程x2mxyy22xyn0表示的曲線是圓，則mn的取值范圍是()A. B. C. D.解析：因?yàn)閤2mxyy22xyn0表示圓，所以解得n，所以mn.答案：A探究二 用待定系數(shù)法求圓的方程1用待定系數(shù)法求圓的方程的大致步驟如下：2對(duì)圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的選擇：(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑來(lái)列方程的問(wèn)題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件和圓心或半徑都無(wú)直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再利用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).【典型例題2】 (1)已知A(1,1)，B(6,0)，C(1,7)，則ABC的外接圓的方程是_解析：設(shè)圓的方程是x2y2DxEyF0，將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，解方程組得D6，E8，F(xiàn)0，從而圓的方程為x2y26x8y0.答案：x2y26x8y0(2)求圓心在yx上且過(guò)兩點(diǎn)(2,0)，(0，4)的圓的一般方程，并把它化成標(biāo)準(zhǔn)方程解：探究三 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題圓是一個(gè)雙重對(duì)稱圖形，與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題可結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)解決，解決的方法可以是直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)代入法等(1)直接法：根據(jù)題設(shè)，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，并找出動(dòng)點(diǎn)所滿足的關(guān)系式；(2)定義法：當(dāng)所列出的關(guān)系式符合圓的定義時(shí)，可利用定義寫出點(diǎn)的軌跡方程；(3)相關(guān)點(diǎn)代入法：若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)因?yàn)閳A上的另一動(dòng)點(diǎn)Q(x1，y1)而運(yùn)動(dòng)，且x1，y1可用x，y表示，則將Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知圓的方程，求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【典型例題3】 已知一曲線是與兩定點(diǎn)(0,0)和(3,0)距離之比為m(m>0)的點(diǎn)的軌跡，求此曲線方程，并說(shuō)明是什么曲線思路分析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，將題設(shè)條件等式用方程給出，化簡(jiǎn)方程為最簡(jiǎn)形式即可解：設(shè)所求曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x，y)，由題意得，m，即(m21)x2(m21)y26m2x9m20.當(dāng)m1時(shí)，x，其軌跡為兩點(diǎn)的中垂線；當(dāng)m1時(shí)，方程可化為2y22，其軌跡是以為圓心，以為半徑的圓點(diǎn)評(píng) 求軌跡方程與軌跡是不同的，求軌跡方程時(shí)只需要求出方程，求軌跡時(shí)，不僅要求出軌跡方程，還要指出方程表示的圖形，如果方程中含有參數(shù)要分類討論，如有不符合條件的點(diǎn)要舍去【典型例題4】 已知點(diǎn)P在圓C：x2y28x6y210上運(yùn)動(dòng)，求線段OP的中點(diǎn)M的軌跡方程解法一：設(shè)點(diǎn)M(x，y)，點(diǎn)P(x0，y0)，則所以因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在圓C：x2y28x6y210上，所以x20y208x06y0210.所以(2x)2(2y)28(2x)6(2y)210.即點(diǎn)M的軌跡方程為x2y24x3y0.解法二：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，連接OC，PC，取線段OC的中點(diǎn)A，連接MA.圓C的方程可化為(x4)2(y3)24，圓心C(4,3)，|CP|2，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.如圖所示，在OCP中，M，A分別是OP，OC的中點(diǎn)，則|MA|CP|，即|MA|1.又當(dāng)O，C，P三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|1.所以點(diǎn)M的軌跡是以A為圓心，1為半徑的圓所以點(diǎn)M的軌跡方程為(x2)221.探究四 求圓關(guān)于點(diǎn)(線)對(duì)稱的圓1求圓C：(xa)2(yb)2r2關(guān)于點(diǎn)P(x0，y0)對(duì)稱的圓的方程，首先要找出圓心C(a，b)關(guān)于點(diǎn)P(x0，y0)的對(duì)稱點(diǎn)，得到對(duì)稱圓的圓心，半徑不變，即得所求圓的方程2求圓關(guān)于直線mxnyp0對(duì)稱的圓的方程，只需求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)即可【典型例題5】 試求圓C：x2y2x2y0關(guān)于直線l：xy10對(duì)稱的曲線C的方程思路分析：對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)變化、半徑不變，另外可利用相關(guān)點(diǎn)法來(lái)求解法一：設(shè)P(x，y)為所求曲線C上任意一點(diǎn)，P關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為P(x0，y0)，則P(x0，y0)在圓C上由題意可得解得 (*)因?yàn)镻(x0，y0)在圓C上，所以x20y20x02y00，將(*)代入，得(y1)2(x1)2(y1)2(x1)0.化簡(jiǎn)，得x2y24x3y50，即曲線C的方程是x2y24x3y50.解法二：(特殊對(duì)稱)圓C關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形仍然是圓，且半徑不變，故只需求圓心C，圓心C關(guān)于直線l：xy10的對(duì)稱點(diǎn)為C，因此所求圓C的方程為(x2)22.