2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.1二階矩陣與平面向量2.1.2二階矩陣與平面列向量的乘法教學(xué)案蘇教版選修4-21二階矩陣與平面列向量的乘法規(guī)則(1)行矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則： ；(2)二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則： .一般地，前一個(gè)矩陣的列數(shù)與后一個(gè)矩陣的行數(shù)相等時(shí)才能進(jìn)行乘法運(yùn)算2二階矩陣與平面列向量乘法的幾何意義(1)一個(gè)列向量左乘一個(gè)22矩陣M后得到一個(gè)新的列向量，如果列向量表示一個(gè)點(diǎn)P(x，y)，那么列向量左乘矩陣M后的列向量就對(duì)應(yīng)平面上的一個(gè)新的點(diǎn)(2)對(duì)于平面上的任意一個(gè)點(diǎn)(向量)(x，y)，若按照對(duì)應(yīng)法則T，總能對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)點(diǎn)(向量)(x，y)，則稱(chēng)T為一個(gè)變換，簡(jiǎn)記為：T：(x，y)(x，y)或T：.(3)一般地，對(duì)于平面向量變換T，如果變換規(guī)則為T(mén)：，那么根據(jù)二階矩陣與平面列向量的乘法規(guī)則可以改寫(xiě)為T(mén)： 的矩陣形式，反之亦然(a、b、c、dR)(4)由矩陣M確定的變換，通常記為T(mén)M，根據(jù)變換的定義，它是平面內(nèi)點(diǎn)集到自身的一個(gè)映射，平面內(nèi)的一個(gè)圖形它在TM的作用下得到一個(gè)新的圖形二階矩陣與平面列向量相乘例1設(shè)A，Z，Y，求AZ和AY.思路點(diǎn)撥利用二階矩陣和平面列向量的乘法公式求解精解詳析AZ ，AY .若矩陣A，列向量為，則A ，其結(jié)果仍是一個(gè)列向量，同時(shí)應(yīng)注意，給出點(diǎn)的坐標(biāo)可寫(xiě)成列向量的形式1計(jì)算：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .2給定向量，矩陣A，B，C，D，計(jì)算A，B，C，D.解：根據(jù)矩陣與向量的乘法，得A ，B ，C ，D .坐標(biāo)變換與矩陣乘法的互化例2(1)已知變換 ，試將它寫(xiě)成坐標(biāo)變換的形式；(2)已知變換，試將它寫(xiě)成矩陣的乘法形式思路點(diǎn)撥直接應(yīng)用二階矩陣與向量乘積的規(guī)定精解詳析(1).故它表示的坐標(biāo)變換為.(2) .對(duì)于 ，首先由二階矩陣與平面列向量乘法得 ，再由向量相等，得3已知，試將它寫(xiě)成二階矩陣與平面向量相乘的形式解：因?yàn)樗约?.故 .4解下列用矩陣表達(dá)式表示的方程組(1) ；(2) .解：(1)由 ，得，即解得(2)由 ，得，即解得求變換矩陣?yán)?已知變換T：平面上的點(diǎn)P(2，1)，Q(1,2)分別變換成點(diǎn)P1(3，4)，Q1(0,5)，求變換矩陣A.思路點(diǎn)撥由題意可知，變換矩陣A為二階矩陣，根據(jù)二階矩陣與列向量的乘法，可列出方程組，解方程組即可求出二階矩陣中的各元素精解詳析設(shè)所求的變換矩陣A.依題意可得 ， ，即解得所以所求的變換矩陣A.求變換矩陣的常用方法是待定系數(shù)法，要正確利用條件，合理準(zhǔn)確計(jì)算5若點(diǎn)A(1,1)在矩陣M對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B(1,1)，求矩陣M.解：由M，得，所以即所以M.6設(shè)矩陣M對(duì)應(yīng)的線性變換把點(diǎn)A(1,2)變成點(diǎn)A(2,3)，把點(diǎn)B(1,3)變成點(diǎn)B(2,1)，那么這個(gè)線性變換把點(diǎn)C(5,10)變成什么？解：設(shè)變換矩陣M，M .M .解得M.M .該線性變換把點(diǎn)C(5,10)變成了點(diǎn)C(6,1)1給定向量，利用矩陣與向量的乘法，試說(shuō)明下列矩陣把向量分別變成了什么向量(1)；(2)；(3).解：(1) .(2) .(3) .2求點(diǎn)(x，y)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)解： ，所以點(diǎn)(x，y)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,2y)3(1)已知 ，試將它寫(xiě)成坐標(biāo)變換的形式；(2)已知，試將它寫(xiě)成矩陣的乘法形式解：(1).(2) .4計(jì)算 ，并解釋計(jì)算結(jié)果的幾何意義解： .幾何意義：表示點(diǎn)(3,1)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變成點(diǎn)(5，1)5已知在一個(gè)二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下，點(diǎn)A(1,2)變成了點(diǎn)A(7,10)，點(diǎn)B(2,0)變成了點(diǎn)B(2,4)，求矩陣M.解：設(shè)M，則 ， ，即解得所以M.6已知點(diǎn)(x，y)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)辄c(diǎn)(1,1)，試求x，y的值解：由 ，得解得7已知矩陣T，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,0)在矩陣T的變換下得到點(diǎn)P.設(shè)b0，當(dāng)POA的面積為，POA時(shí)，求a，b的值解：由 ，得點(diǎn)P坐標(biāo)為(a，b)又b0，所以SPOA1b.所以b2.又POA，所以a2.即a2，b2.8.已知圖形F表示的四邊形ABCD如圖所示，若由二階矩陣M確定的變換T，使F上點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半而橫坐標(biāo)不變求矩陣M.解：圖形F對(duì)應(yīng)的矩陣為，變換后的圖形F對(duì)應(yīng)的矩陣為，設(shè)M，則有解得M.