2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.2幾種常見的平面變換2.2.3變換的復(fù)合與矩陣的乘法反射變換教學(xué)案蘇教版選修41反射變換矩陣和反射變換像，這樣將一個平面圖形F變?yōu)殛P(guān)于定直線或定點(diǎn)對稱的平面圖形的變換矩陣，我們稱之為反射變換矩陣，對應(yīng)的變換叫做反射變換相應(yīng)地，前者叫做軸反射，后者稱做中心反射其中定直線稱為反射軸，定點(diǎn)稱做反射點(diǎn)2線性變換二階非零矩陣對應(yīng)的變換把直線變?yōu)橹本€，這種把直線變?yōu)橹本€的變換稱為線性變換二階零矩陣把平面上所有的點(diǎn)都變換到坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)，此時為線性變換的退化情況點(diǎn)在反射變換作用下的象例1(1)矩陣將點(diǎn)A(2,5)變成了什么圖形？畫圖并指出該變換是什么變換(2)矩陣將點(diǎn)A(2,7)變成了怎樣的圖形？畫圖并指出該變換是什么變換思路點(diǎn)撥先通過反射變換求出變換后點(diǎn)的坐標(biāo)，再畫出圖形即可看出是什么變換精解詳析(1)因為 ，即點(diǎn)A(2,5)經(jīng)過變換后變?yōu)辄c(diǎn)A(2,5)，它們關(guān)于y軸對稱，所以該變換為關(guān)于y軸對稱的反射變換(如圖1)(2)因為 ，即點(diǎn)A(2,7)經(jīng)過變換后變?yōu)辄c(diǎn)A(7,2)，它們關(guān)于yx對稱，所以該變換為關(guān)于直線yx對稱的反射變換(如圖2)(1)點(diǎn)在反射變換作用下對應(yīng)的象還是點(diǎn)(2)常見的反射變換矩陣：表示關(guān)于原點(diǎn)對稱的反射變換矩陣，表示關(guān)于x軸對稱的反射變換矩陣，表示關(guān)于y軸對稱的反射變換矩陣，表示關(guān)于直線yx對稱的反射變換矩陣，表示關(guān)于直線yx對稱的反射變換矩陣1計算下列各式，并說明其幾何意義(1) ；(2) ；(3) .解：(1) ；(2) ；(3) .三個矩陣對應(yīng)的變換分別是將點(diǎn)(5,3)作關(guān)于x軸反射變換、關(guān)于原點(diǎn)的中心反射變換以及關(guān)于直線yx的軸反射變換，得到的點(diǎn)分別是(5，3)，(5，3)和(3,5)2求出ABC分別在M1，M2，M3對應(yīng)的變換作用下的幾何圖形，并畫出示意圖，其中A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)解：在M1下，AA(0,0)，BB(2,0)，CC(1,2)；在M2下，AA(0,0)，BB(2,0)，CC(1，2)；在M3下，AA(0,0)，BB(2,0)，CC(1，2)圖形分別為曲線在反射變換作用下的象例2橢圓y21在經(jīng)過矩陣對應(yīng)的變換后所得的曲線是什么圖形？思路點(diǎn)撥先通過反射變換求出曲線方程，再通過方程判斷圖形的形狀精解詳析任取橢圓y21上的一點(diǎn)P(x0，y0)，它在矩陣對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻(x，y)則有 ，故.因為點(diǎn)P在橢圓y21上，所以y1，x1；因此x1.從而所求曲線方程為x21，是橢圓矩陣把一個圖形變換為與之關(guān)于直線yx對稱的圖形，反射變換對應(yīng)的矩陣要區(qū)分類型：點(diǎn)對稱、軸對稱3求曲線y(x>0)在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到的曲線解：矩陣對應(yīng)的變換是關(guān)于原點(diǎn)對稱的變換，因此，得到的曲線為y(x<0)4求直線y4x在矩陣作用下變換所得的圖形解：任取直線y4x在矩陣作用下變換所得的圖形上的一點(diǎn)P(x，y)，一定存在變換前的點(diǎn)P(x，y)與它對應(yīng)，使得 ，即(*)又點(diǎn)P(x，y)在直線y4x上，所以y4x，從而有yx，從而直線y4x在矩陣作用下變換成直線yx.根據(jù)(*)，它們關(guān)于直線yx對稱如圖所示1計算 ，并說明其幾何意義解： ，其幾何意義是：由矩陣M確定的變換是關(guān)于直線yx的軸反射變換，將點(diǎn)(x，y)變換為點(diǎn)(y，x)2在矩陣變換下，圖(1)，(2)中的ABO變成了ABO，其中點(diǎn)A的象為點(diǎn)A，點(diǎn)B的象為點(diǎn)B，試判斷相應(yīng)的幾何變換是什么？解：(1)對應(yīng)的是關(guān)于原點(diǎn)的中心反射變換，矩陣形式為.(2)對應(yīng)的是關(guān)于y軸的軸反射變換，矩陣形式為.3求ABC在經(jīng)過矩陣對應(yīng)的變換后所得圖形的面積，其中A(1,0)，B(2,0)，C(5,4)解：矩陣確定的變換是關(guān)于y軸的軸反射變換，它將點(diǎn)(x，y)變換為點(diǎn)(x，y)所以平面ABC在經(jīng)過矩陣對應(yīng)的變換后所得圖形是與原圖形全等的三角形，故只需求出ABC的面積即可所以所求圖形的面積為6.4求出曲線yex先在矩陣對應(yīng)的變換，后在矩陣對應(yīng)的變換作用下形成的曲線，并說明兩次變換后對應(yīng)的是什么變換？解：因為矩陣對應(yīng)的變換是關(guān)于y軸的軸反射變換，變換后曲線為yex.又因為矩陣對應(yīng)的變換是關(guān)于原點(diǎn)O的中心反射變換，變換后曲線為yex，即yex.兩次變換對應(yīng)的變換是關(guān)于x軸的軸反射變換5變換T使圖形F：yx21變?yōu)镕：y|x21|，試求變換T對應(yīng)的變換矩陣A.解：當(dāng)x(，1)(1，)時，A；當(dāng)x1,1時，A.6若曲線1經(jīng)過反射變換T變成曲線1，求變換T對應(yīng)的矩陣(寫出兩個不同的矩陣)解：T或T.7求關(guān)于直線y3x對稱的反射變換所對應(yīng)的矩陣A.解：在平面上任取一點(diǎn)P(x，y)，令點(diǎn)P關(guān)于y3x的對稱點(diǎn)為P(x，y)則化簡得 .關(guān)于直線y3x對稱的反射變換對應(yīng)的矩陣為A.8已知矩陣M，N.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線2xy10在變換TM，TN先后作用下得到曲線F，求曲線F的方程解：TM是關(guān)于直線yx對稱的反射變換，直線2xy10在TM的作用下得到直線F：2yx10.設(shè)P(x0，y0)為F上的任意一點(diǎn)，它在TN的作用下變?yōu)镻(x，y)， ，即點(diǎn)P在直線F上，2y0x010，即2xy10.所求曲線F的方程為2xy10.