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2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識(shí)精要 11.不等式教案 新人教A版 1、不等式的性質(zhì)： （1）同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若，則（若，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，則（若，則）；（3）左右同正不等式：兩邊可以同時(shí)乘方或開(kāi)方：若，則或；（4）若，，則；若，，則。 特別提醒：如果對(duì)不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)代數(shù)式，要注意它的正負(fù)號(hào)，如果正負(fù)號(hào)未定，要注意分類討論。 如（1）對(duì)于實(shí)數(shù)中，給出下列命題：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，則。其中正確的命題是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知，，則的取值范圍是______（答：）；（3）已知，且則的取值范圍是______（答：） 2. 不等式大小比較的常用方法：（1）作差：作差后通過(guò)分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量（一般先把要比較的代數(shù)式與“0”比，與“1”比，然后再比較它們的大小）或放縮法 ；(8)圖象法：利用有關(guān)函數(shù)的圖象（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)的圖象），直接比較大小。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。 如（1）設(shè)，比較的大?。ù穑寒?dāng)時(shí)，（時(shí)取等號(hào)）；當(dāng)時(shí)，（時(shí)取等號(hào)））； （2）設(shè)，，，試比較的大?。ù穑海? （3）比較1+與的大?。ù穑寒?dāng)或時(shí)，1+＞；當(dāng)時(shí)，1+＜；當(dāng)時(shí)，1+＝） 特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法，此法尤其適用于不成立的命題。 3. 利用重要不等式求函數(shù)最值時(shí)，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針。常用的方法為：拆、湊、平方。 如（1）下列命題中正確的是 A、的最小值是2 B、的最小值是2 C、的最大值是 D、的最小值是 （答：C）； （2）若，則的最小值是______（答：）； （3）正數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)_____（答：）； 4.常用不等式有： （1） (根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用) ； （2）a、b、cR，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）； （3）若，則（糖水的濃度問(wèn)題）。 如如果正數(shù)、滿足，則的取值范圍是_________（答：） 5．一元一次不等式的解法 Ⅰ、：⑴若，則 ；⑵若，則 ； Ⅱ、： ⑴若，則 ； ⑵若，則 ； 5．一元二次不等式的解法 ①化為標(biāo)準(zhǔn)式（二次系數(shù)為零），判斷判別式的正負(fù)（優(yōu)先考慮因式分解），時(shí)求根，比較根的大小，寫出結(jié)論 則（Ⅰ） （Ⅱ）若二次函數(shù)系數(shù)含參數(shù)且未指明不為零時(shí)，需驗(yàn)證 若解集為R呢？ 如：關(guān)于x的不等式對(duì)x∈R恒成立，則a的取值范圍 。 略解（Ⅰ）（Ⅱ） 6．確定二元一次不等式表示的區(qū)域的步驟： ①在平面直線坐標(biāo)系中作出直線 . ②在直線的一側(cè)任取一點(diǎn)，特殊地，當(dāng)C≠0時(shí)，常把原點(diǎn)作為特殊點(diǎn) .③將代入 Ax+ By+ C 求值若 ，則包含此點(diǎn) P 的半平面為不等式所表示的平面區(qū)域，不包含此點(diǎn) P 的半平面為不等式 所表示的平面區(qū)域. 也可采用：把二元一次不等式改寫成或的形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)域。 提醒：（1）畫不等式 Ax+ By+ C≥0所表示的平面區(qū)域時(shí)，區(qū)域包括邊界線，因此，將邊界直線畫成實(shí)線；無(wú)等號(hào)時(shí)區(qū)域不包括邊界線，用虛線表示不包含直線. （2）表示直線的上方，表示直線的下方. （3）設(shè)點(diǎn)，，若與同號(hào)，則P，Q在直線的同側(cè)，異號(hào)則在直線的異側(cè)。 如已知點(diǎn)A（—2，4），B（4，2），且直線與線段AB恒相交，則的取值范圍是__________（答：） 7．簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃： （1）線性規(guī)劃問(wèn)題中的有關(guān)概念： ①滿足關(guān)于的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件。 ②關(guān)于變量的解析式叫目標(biāo)函數(shù)，關(guān)于變量一次式的目標(biāo)函數(shù)叫線性目標(biāo)函數(shù)； ③求目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，稱為線性規(guī)劃問(wèn)題； ④滿足線性約束條件的解（）叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域； ⑤使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解； （2）求解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟是什么？①根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的約束條件列出不等式；②作出可行域，寫出目標(biāo)函數(shù)；③確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解。 如（1）線性目標(biāo)函數(shù)z=2x－y在線性約束條件下，取最小值的最優(yōu)解是____（答：（－1，1））；（2）點(diǎn)（－２，）在直線2x－3y+6=0的上方，則的取值范圍是_________（答：）；（3）不等式表示的平面區(qū)域的面積是_________（答：8）； （4）如果實(shí)數(shù)滿足，則的最大值_________（答：21） （3）在求解線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)要注意：①將目標(biāo)函數(shù)改成斜截式方程；②尋找最優(yōu)解時(shí)注意作圖規(guī)范。 8．簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；（2）將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫曲線；并注意奇穿過(guò)偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集。 如（1）解不等式。（答：或）； （2）不等式的解集是____（答：或）； （3）設(shè)函數(shù)、的定義域都是R，且的解集為，的解集為，則不等式的解集為_(kāi)_____（答：）； （4）要使?jié)M足關(guān)于的不等式（解集非空）的每一個(gè)的值至少滿足不等式中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.（答：） 9．分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。如（1）解不等式（答：）；（2）關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)___________（答：）. 10．含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤幔瘮?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵．”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是…”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說(shuō)明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集. 提醒：解含有參數(shù)的不等式要注意對(duì)字母參數(shù)的討論，如果遇到下述情況則一般需要討論： ①不等式兩端乘除一個(gè)含參數(shù)的式子時(shí)，則需討論這個(gè)式子的正、負(fù)、零性. ②在求解過(guò)程中，需要使用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，則需對(duì)它們的底數(shù)進(jìn)行討論. ③在解含有字母的一元二次不等式時(shí)，需要考慮相應(yīng)的二次函數(shù)的開(kāi)口方向，對(duì)應(yīng)的一元二次方程根的狀況（有時(shí)要分析△），比較兩個(gè)根的大小,設(shè)根為（或更多）但含參數(shù)，要分、、討論。 如（1）若，則的取值范圍是__________（答：或）； （2）解不等式（答：時(shí)，；時(shí)，或；時(shí)，或） 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。如關(guān)于的不等式 的解集為，則不等式的解集為_(kāi)_________（答：（－1,2）） 11.不等式的恒成立,能成立,恰成立等問(wèn)題：不等式恒成立問(wèn)題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法） （1).恒成立問(wèn)題 若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上 若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上 如（1）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是______（答：）； （2）不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍_____（答：）； （3）若不等式對(duì)滿足的所有都成立，則的取值范圍_____（答：（,））； （4）若不等式對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____（答：）； （5）若不等式對(duì)的所有實(shí)數(shù)都成立，求的取值范圍.（答：） （2). 能成立問(wèn)題 若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間上； 若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間上的. 如已知不等式在實(shí)數(shù)集上的解集不是空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍______（答：） （3). 恰成立問(wèn)題 若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價(jià)于不等式的解集為； 若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價(jià)于不等式的解集為. 12．含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)： 同號(hào)或有； 異號(hào)或有. 如設(shè)，實(shí)數(shù)滿足，求證： 13．絕對(duì)值不等式的解法： （1）分段討論法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）：如解不等式（答：）； （2）利用絕對(duì)值的定義； （3）數(shù)形結(jié)合； 如解不等式（答：） （4）兩邊平方： 如若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____。（答：） 14．證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）后通過(guò)分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1的大小，然后作出結(jié)論。). 常用的放縮技巧有： ； （程度大） ； （程度?。? 如（1）已知，求證： ； (2) 已知，求證：； （3）已知，且，求證：； (4)若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：（5）已知，求證：； (6)若，求證：； (7)已知，求證：； （8）求證：。