2019-2020年高中數(shù)學(xué)指數(shù)與指數(shù)冪的運算教案13（第二課時） 蘇教版必修1導(dǎo)入新課思路1.碳14測年法.原來宇宙射線在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳14,并與氧結(jié)合成二氧化碳后進(jìn)入所有活組織,先為植物吸收,再為動物吸收,只要植物和動物生存著,它們就會不斷地吸收碳14在機體內(nèi)保持一定的水平.而當(dāng)有機體死亡后,即會停止吸收碳14,其組織內(nèi)的碳14便以約5 730年的半衰期開始衰變并消失.對于任何含碳物質(zhì)只要測定剩下的放射性碳14的含量,便可推斷其年代(半衰期:經(jīng)過一定的時間,變?yōu)樵瓉淼囊话?.引出本節(jié)課題:指數(shù)與指數(shù)冪的運算之分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.思路2.同學(xué)們,我們在初中學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì),那么整數(shù)指數(shù)冪是否可以推廣呢？答案是肯定的.這就是本節(jié)的主講內(nèi)容,教師板書本節(jié)課題指數(shù)與指數(shù)冪的運算之分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.推進(jìn)新課新知探究提出問題(1)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是什么？(2)觀察以下式子,并總結(jié)出規(guī)律：a0,=a2=a;=a4=a;=a3=a;=a5=a.(3)利用(2)的規(guī)律,你能表示下列式子嗎？,(x>0,m,nN*,且n>1).(4)你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎？(5)你能推廣到一般的情形嗎？活動：學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪及運算性質(zhì),仔細(xì)觀察,特別是每題的開始和最后兩步的指數(shù)之間的關(guān)系,教師引導(dǎo)學(xué)生體會方根的意義,用方根的意義加以解釋,指點啟發(fā)學(xué)生類比(2)的規(guī)律表示,借鑒(2)(3),我們把具體推廣到一般,對寫正確的同學(xué)及時表揚,其他學(xué)生鼓勵提示.討論結(jié)果：(1)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：an=aaaa,a0=1(a0);00無意義;a-n=(a0);aman=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.(2)a2是a10的5次方根；a4是a8的2次方根；a3是a12的4次方根；a5是a10的2次方根.實質(zhì)上=a,=a,=a,=a結(jié)果的a的指數(shù)是2,4,3,5分別寫成了,形式上變了,本質(zhì)沒變.根據(jù)4個式子的最后結(jié)果可以總結(jié)：當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時,根式可以寫成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式（分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式）.(3)利用(2)的規(guī)律,=5,=7,=a,=x.(4)53的四次方根是5,75的三次方根是7,a7的五次方根是a,xm的n次方根是x.結(jié)果表明方根的結(jié)果和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是相通的.(5)如果a>0,那么am的n次方根可表示為m=a,即a=m(a>0,m,nN*,n>1).綜上所述,我們得到正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,教師板書:規(guī)定:正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a=m(a>0,m,nN*,n>1).提出問題負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是怎樣規(guī)定的?你能得出負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義嗎?你認(rèn)為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義?綜合上述,如何規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義?分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義中,為什么規(guī)定a0,去掉這個規(guī)定會產(chǎn)生什么樣的后果?既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是否也適用于有理數(shù)指數(shù)冪呢?活動：學(xué)生回想初中學(xué)習(xí)的情形,結(jié)合自己的學(xué)習(xí)體會回答,根據(jù)零的整數(shù)指數(shù)冪的意義和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義來類比,把正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義融合起來,與整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)類比可得有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì),教師在黑板上板書,學(xué)生合作交流,以具體的實例說明a0的必要性,教師及時作出評價.討論結(jié)果：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是:a-n=(a0),nN*.既然負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是這樣規(guī)定的,類比正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可得正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義.規(guī)定:正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a=(a>0,m,nN*,n>1).規(guī)定:零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是:零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零,零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.教師板書分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義就是:正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a=(a>0,m,nN*,n>1),正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a=(a>0,m,nN*,n>1),零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零,零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.若沒有a0這個條件會怎樣呢?如(-1)=3-1=-1,(-1)=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個式子出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果,這只說明分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于零時是無意義的.因此在把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)時,切記要使底數(shù)大于零,如無a0的條件,比如式子3a2=|a|,同時負(fù)數(shù)開奇次方是有意義的,負(fù)數(shù)開奇次方時,應(yīng)把負(fù)號移到根式的外邊,然后再按規(guī)定化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,也就是說,負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在有意義的情況下總表示正數(shù),而不是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上.規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì):對任意的有理數(shù)r,s,均有下面的運算性質(zhì):（1）aras=ar+s(a>0,r,sQ),（2）(ar)s=ars(a>0,r,sQ),（3）(ab)r=arbr(a>0,b>0,rQ).我們利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可以解決一些問題,來看下面的例題.應(yīng)用示例思路1例1求值:8;25()-5;().活動：教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解題的方法,利用冪的運算性質(zhì)計算出數(shù)值或化成最簡根式,根據(jù)題目要求,把底數(shù)寫成冪的形式,8寫成23,25寫成52, 寫成2-1,寫成()4,利用有理數(shù)冪的運算性質(zhì)可以解答,完成后,把自己的答案用投影儀展示出來.解：8=(23)=2=22=4;25=(52)=5=5-1=;()-5=(2-1)-5=2-1(-5)=32;()=()=()-3=.點評：本例主要考查冪值運算,要按規(guī)定來解.在進(jìn)行冪值運算時,要首先考慮轉(zhuǎn)化為指數(shù)運算,而不是首先轉(zhuǎn)化為熟悉的根式運算,如8=4.例2用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式.a3;a2;(a>0).活動：學(xué)生觀察、思考,根據(jù)解題的順序,把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,再由冪的運算性質(zhì)來運算,根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時,要由里往外依次進(jìn)行,把握好運算性質(zhì)和順序,學(xué)生討論交流自己的解題步驟,教師評價學(xué)生的解題情況,鼓勵學(xué)生注意總結(jié).解：a3=a3a=a=a;a2=a2a=a=a;=(aa)=(a)=a.點評：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進(jìn)行根式運算時,其順序是先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,再由冪的運算性質(zhì)來運算.對于計算的結(jié)果,不強求統(tǒng)一用什么形式來表示,沒有特別要求,就用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式來表示,但結(jié)果不能既有分?jǐn)?shù)指數(shù)又有根式,也不能既有分母又有負(fù)指數(shù).例3計算下列各式（式中字母都是正數(shù)）:（1）(2ab)(-6ab)(-3ab);（2）(mn)8.活動：先由學(xué)生觀察以上兩個式子的特征,然后分析,四則運算的順序是先算乘方,再算乘除,最后算加減,有括號的先算括號內(nèi)的,整數(shù)冪的運算性質(zhì)及運算規(guī)律擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后,其運算順序仍符合我們以前的四則運算順序,再解答,把自己的答案用投影儀展示出來,相互交流,其中要注意到（1）小題是單項式的乘除運算,可以用單項式的乘除法運算順序進(jìn)行,要注意符號,第（2）小題是乘方運算,可先按積的乘方計算,再按冪的乘方進(jìn)行計算,熟悉后可以簡化步驟.解：（1）原式=2(-6)(-3)ab=4ab0=4a;（2）(mn)8=(m)8(n)8=mn=m2n-3=.點評：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不表示相同因式的積,而是根式的另一種寫法.有了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,就可把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算法則進(jìn)行運算了.本例主要是指數(shù)冪的運算法則的綜合考查和應(yīng)用.變式訓(xùn)練求值:(1)3;(2).解：(1)3=3333=3=32=9；(2)=(=(=.例4計算下列各式:（1）();（2）(a0）.活動：先由學(xué)生觀察以上兩個式子的特征,然后分析,化為同底.利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪計算,在第（1）小題中,只含有根式,且不是同次根式,比較難計算,但把根式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪再計算,這樣就簡便多了,第（2）小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運算法則計算,最后寫出解答.解：（1）原式=(25-125)25=(5-5)5=5-5=5-5=-5;（2）=a=a=.思路2例1比較,的大小.活動：學(xué)生努力思考,積極交流,教師引導(dǎo)學(xué)生解題的思路,由于根指數(shù)不同,應(yīng)化成統(tǒng)一的根指數(shù),才能進(jìn)行比較,又因為根指數(shù)最大的是6,所以我們應(yīng)化為六次根式,然后,只看被開方數(shù)的大小就可以了.解：因為=,=,而125123121,所以>>.所以>>.點評：把根指數(shù)統(tǒng)一是比較幾個根式大小的常用方法.例2求下列各式的值:(1);(2)2.活動：學(xué)生觀察以上幾個式子的特征,既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式,應(yīng)把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運算法則計算,如果根式中根指數(shù)不同,也應(yīng)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,然后分析解答,對(1)應(yīng)由里往外=,對(2)化為同底的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,及時對學(xué)生活動進(jìn)行評價.解：(1)=34(3)=(3)=(3)=3=;(2)=23()(322)=23=23=6.例3計算下列各式的值:（1）(ab2)-1(ab-3)(b)7;（2）;(3).活動：先由學(xué)生觀察以上三個式子的特征,然后交流解題的方法,把根式用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫出,利用指數(shù)的運算性質(zhì)去計算,教師引導(dǎo)學(xué)生,強化解題步驟,對(1)先進(jìn)行積的乘方,再進(jìn)行同底數(shù)冪的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再進(jìn)行同底數(shù)冪的乘法,對（2）把分?jǐn)?shù)指數(shù)化為根式,然后通分化簡,對（3）把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù),進(jìn)行積的乘方,再進(jìn)行同底數(shù)冪的運算.解：(1)原式=(ab2)(ab-3)(b)=ababb=ab=ab0=a;另解：原式=(ab-2abb)=(ab)=(a2b0)=a;（2）原式=;（3）原式=（ab）-3(b-4a-1)=ab-2b-2a=ab-2+2=a-1=.例4已知a0,對于0r8,rN*,式子()8-rr能化為關(guān)于a的整數(shù)指數(shù)冪的情形有幾種？活動：學(xué)生審題,考慮與本節(jié)知識的聯(lián)系,教師引導(dǎo)解題思路,把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運算法則計算,即先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,再進(jìn)行冪的乘方,化為關(guān)于a的指數(shù)冪的情形,再討論,及時評價學(xué)生的作法.解：()8-rr=aa=a=a.16-3r能被4整除才行,因此r=0,4,8時上式為關(guān)于a的整數(shù)指數(shù)冪.點評：本題中確定整數(shù)的指數(shù)冪時,可由范圍的從小到大依次驗證,決定取舍.利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式運算時,結(jié)果可以化為根式形式或保留分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.例5已知f（x）=exe-x,g（x）=ex+e-x.（1）求f（x）2g（x）2的值；（2）設(shè)f（x）f（y）=4,g（x）g（y）=8,求的值.活動：學(xué)生觀察題目的特點,說出解題的辦法,整體代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果學(xué)生有難度,教師可以提示引導(dǎo),對（1）為平方差,利用公式因式分解可將代數(shù)式化簡,對(2)難以發(fā)現(xiàn)已知和未知的關(guān)系,可寫出具體算式,予以探求.解：(1)f（x）2g（x）2=f（x）+g（x）f（x）g（x）=（exe-x+ex+e-x）（exe-xexe-x）=2ex（2e-x）=4e0=4;另解：(1)f（x）2g（x）2=(ex-e-x)2-(ex+e-x)2=e2x-2exe-x+e-2x-e2x-2exe-x-e-2x=-4ex-x=-4e0=-4;(2)f（x）f（y）=（exe-x）（eye-y）=ex+y+e-(x+y)ex-ye-(x-y)=g（x+y）g（xy）=4,同理可得g（x）g（y）=g（x+y）+g（xy）=8,得方程組解得g（x+y）=6,g（xy）=2.所以=3.點評：將已知條件變形為關(guān)于所求量g（x+y）與g（xy）的方程組,從而使問題得以解決,這種處理問題的方法在數(shù)學(xué)上稱之為方程法,方程法所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想即方程思想,是數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想.知能訓(xùn)練課本P54練習(xí) 1、2、3.補充練習(xí)教師用實物投影儀把題目投射到屏幕上讓學(xué)生解答,教師巡視,啟發(fā),對做得好的同學(xué)給予表揚鼓勵.1.(1)下列運算中,正確的是( )A.a2a3=a6B.(-a2)3=(-a3)2C.(-1)0=0D.(-a2)3=-a6(2)下列各式,（各式的nN,aR）中,有意義的是( )A. B. C. D.(3)等于( )A.a B.a2 C.a3 D.a4(4)把根式2改寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為( )A.-2(a-b) B.-2(a-b)C.-2(a-b) D.-2(a-b)(5)化簡（ab）（-3ab）（ab）的結(jié)果是( )A.6a B.-a C.-9a D.9a2.計算：(1)0.027（）-2+2563-1+（21）0=_.(2)設(shè)5x=4,5y=2,則52x-y=_.3.已知x+y=12,xy=9且xy,求的值.答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)83.解：=.因為x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=427.又因為xy,所以x-y=-233=-63.所以原式=.拓展提升1.化簡.活動：學(xué)生觀察式子特點,考慮x的指數(shù)之間的關(guān)系可以得到解題思路,應(yīng)對原式進(jìn)行因式分解,根據(jù)本題的特點,注意到:x-1=(x)3-13=(x-1)(x+x+1);x+1=(x)3+13=(x+1)(x-x+1);x-x=x(x)2-1=x(x-1)(x+1).構(gòu)建解題思路教師適時啟發(fā)提示.解：=x-1+x-x+1-x-x=-x.點撥:解這類題目,要注意運用以下公式,(a-b)(a+b)=a-b,(ab)2=a2ab+b,(ab)(aab+b)=ab.2.已知a+a=3,探究下列各式的值的求法.(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3).解：(1)將a+a=3,兩邊平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7;(2)將a+a-1=7兩邊平方,得a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47;(3)由于a-a=(a)3-(a)3,所以有=a+a-1+1=8.點撥:對“條件求值”問題,一定要弄清已知與未知的聯(lián)系,然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值.課堂小結(jié)活動：教師,本節(jié)課同學(xué)們有哪些收獲?請把你的學(xué)習(xí)收獲記錄在你的筆記本上,同學(xué)們之間相互交流.同時教師用投影儀顯示本堂課的知識要點:(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義就是:正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a=m(a>0,m,nN*,n>1),正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a=(a>0,m,nN*,n>1),零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零,零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(2)規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).(3)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì):對任意的有理數(shù)r、s,均有下面的運算性質(zhì):aras=ar+s(a>0,r,sQ),(ar)s=ars(a>0,r,sQ),(ab)r=arbr(a>0,b>0,rQ).(4)說明兩點:分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是一種規(guī)定,我們前面所舉的例子只表明這種規(guī)定的合理性,其中沒有推出關(guān)系.整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對任意的有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用.因而分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化,也可以利用(an)=am來計算.作業(yè)課本P59習(xí)題2.1A組 2、4.設(shè)計感想本節(jié)課是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義的引出及應(yīng)用,分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴(kuò)充,要讓學(xué)生反復(fù)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,教學(xué)中可以通過根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化來鞏固加深對這一概念的理解,用觀察、歸納和類比的方法完成,由于是硬性的規(guī)定,沒有合理的解釋,因此多安排一些練習(xí),強化訓(xùn)練,鞏固知識,要輔助以信息技術(shù)的手段來完成大容量的課堂教學(xué)任務(wù).