2019-2020年高三數(shù)學(xué)上冊 14.3空間直線和平面的位置關(guān)系教案（2） 滬教版一、教學(xué)內(nèi)容分析空間的角，是對由點、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進行定量分析的一個重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，前面我們已研究了兩異面直線所成的角，本節(jié)研究直線與平面所成的角課本通過一個標(biāo)槍的實例說明了直線與平面所成的角有它的實際背景.接著借助圖1422引出了一系列概念. 對于空間角的計算，總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的角，并把它置于一個平面圖形，而且是一個三角形的內(nèi)角來解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來實現(xiàn)的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用通過空間角的計算和應(yīng)用進一步培養(yǎng)運算能力、邏輯推理能力及空間想象能力求直線和平面所成的角的方法是：射影轉(zhuǎn)化法.具體步驟如下：找過斜線上一點與平面垂直的直線；連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；把該角置于三角形中計算.注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若為線面角，為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計理解并掌握斜線在平面內(nèi)的射影、直線和平面所成角的概念，根據(jù)概念先找直線射影后確定線面夾角從而熟練求解直線和平面所成角，培養(yǎng)化歸能力、分析能力、觀察思考能力和空間想象能力等. 培養(yǎng)立體感、數(shù)學(xué)美感，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)特別是立體幾何的興趣.三、教學(xué)重點及難點 斜線在平面內(nèi)的射影、直線和平面所成角的概念，求直線與平面所成角的基本方法，難點是確定直線在平面上的射影四、教學(xué)用具準(zhǔn)備投影儀，ppt演示五、教學(xué)流程設(shè)計鞏固探究引入作業(yè)總結(jié)應(yīng)用六、教學(xué)過程設(shè)計一、 情景引入運動員起跑時，腿部與地面給你怎樣一種形象？運動員投出的標(biāo)槍落地以后，標(biāo)槍一定會垂直地面嗎？大都是怎樣的狀態(tài)？ 說明 運動員投出的標(biāo)槍落地以后，大多是插在地面上的，它們的狀態(tài)有時“偏陡”些，有時“偏平”些，如何描述標(biāo)槍落地時“偏陡”或“偏平”的程度呢？這就涉及到標(biāo)槍所在的直線與地面所成角的大小了，這節(jié)課我們要研究直線與平面所成的角二、學(xué)習(xí)新課問題1：（1）前面我們學(xué)習(xí)了直線與平面垂直，這其實是直線和平面相交的一種特殊情況，我們對它的研究，是將其轉(zhuǎn)化為考察直線和平面內(nèi)直線的位置關(guān)系來進行的，它體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法？（2）類比上述數(shù)學(xué)思想方法，我們該如何刻畫一條直線與一個平面所成的角呢？說明 引導(dǎo)學(xué)生回顧直線與平面垂直的位置關(guān)系研究中體現(xiàn)的“平面化、降維”的數(shù)學(xué)思想方法，通過對已學(xué)知識與思想方法的回憶，尋找新知識的“生長點”，同時滲透類比的數(shù)學(xué)思想方法.定義：1平面的斜線當(dāng)直線與平面相交且不垂直時，叫做直線與平面斜交，叫做平面的斜線.斜線與平面的交點叫做斜足，斜線上一點與斜足間的線段叫做這個點到平面的斜線段如圖14222射影如圖1422，設(shè)直線與平面斜交于點，過上任意點，作平面的垂線，垂足為，我們把點叫做點在平面上的射影，直線叫做直線在平面上的射影， 3直線和平面所成角規(guī)定直線與其平面上的射影所成的銳角叫做直線與平面所成的角我們規(guī)定，當(dāng)直線與平面垂直時，它們所成的角等于；圖 1422若直線與平面平行或直線在平面上時，它們所成的角為；說明教師邊畫出課本圖形14-22，邊講解點O點A在平面上的射影AO點A到平面的垂線段直線AM平面的一條斜線M斜足線段AM斜線段直線OM斜線AM在平面上的射影線段OM斜線段AM在平面上的射影問題2： 1直線與平面所成的角的大小與點在上的取法有關(guān)嗎？2直線和平面所成角的范圍是多少？ 3證明：與平面內(nèi)經(jīng)過點的直線所成的所有角中，最小說明 直線與平面所成的角的大小與點在上的取法無關(guān)；直線和平面所成角的范圍是；斜線和平面所成角的范圍是 2例題分析例1已知正方體中的棱長為， （1） 求直線和平面所成的角；（2）求直線和平面所成的角；（3）求直線和平面所成的角解：（1）；（2）；（3）.說明 通過本例熟練掌握正方體的棱與面、對角線與面的關(guān)系，掌握求平面的斜線與平面所成角的其本步驟：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來.OACB例2如圖, BOC在內(nèi),OA是的斜線, AOB=AOC=60,OA=OB=OC=a,求:OA和平面所成角的大小分析：此題關(guān)鍵是確定在內(nèi)的射影.在本例中，可直接作于，進而證明，從而確認(rèn)是在內(nèi)的射影.也可過作于，進而證明在上.可求得OA和平面所成角的大小為.說明正確確定點在平面上的射影的位置，是求直線與平面所成角的關(guān)鍵，只有確定了射影的位置，才能將空間問題順利地轉(zhuǎn)化為平面的問題.確定點在平面上的射影位置有以下幾種方法：（1） 斜線上任意一點在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；（2） 利用已知的垂直關(guān)系得出線面垂直，確定射影.例3在例1的正方體中，若分別是的中點，求和平面所成的角.分析：在本例中仍可“一找二證三求”來求和平面所成的角.但是正方體的體對角線，而平面是正方體的面對角線所在的面，因此可以通過證明來說明和平面所成的角為.說明 直線和平面所成的角，包括直線和平面垂直，直線和平面平行或在平面內(nèi)，即角和角情況，所以求直線和平面所成角時，可先看是否是以上兩種特例.3問題拓展例4如圖，已知在平面內(nèi)，求證：點在平面上的射影在的平分線上證明：作，垂足分別為，連結(jié)， ，又，平面，同理在和，即點在平面上的射影在的平分線上 說明 本題給出了一個很重要的結(jié)論：平面的一條斜線，如果和這個平面內(nèi)斜線為頂點的角的兩邊成等角，那么這條斜線在這個平面上的射影是這個角的平分線所在的直線，這個結(jié)論在解答一些問題時常常用到，如前面的例2.三、鞏固練習(xí)PFEDCBA練習(xí)：1.如圖,已知六邊形ABCDEF是邊長為a的正六邊形,PA垂直于六邊形ABCDEF所在的平面M,并且PA=a,求點P與正六邊形各頂點連線和平面M所成的角2課本頁練習(xí).說明通過練習(xí)進一步掌握求直線和平面所成角的基本步驟.掌握直線與平面所成角的有關(guān)概念.四、課堂小結(jié)求直線與平面所成角解題的一般步驟是：（1）找出這個角；（2）證明該角符合題意；（3）作出這個角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度問題不論哪種情況都?xì)w結(jié)到兩條直線所成角的問題，即在線線成角中找到答案.五、作業(yè)布置1如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.2A是BCD所在平面外的點，BAC=CAD=DAB=60，AB=3，AC=AD=2. （1）求證：ABCD； （2）求AB與平面BCD所成角的余弦值.說明 通過作業(yè)進一步掌握求直線和平面所成角的基本步驟.掌握確定點在平面上的射影的方法.六、教學(xué)設(shè)計說明直線與平面所成的角，是對由點、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進行定量分析的一個重要概念.研究時要分清：斜線、垂線、直線，因此涉及的概念較多，為了便于學(xué)生理解記憶，要注意邊講邊畫圖，并在圖上注出有關(guān)概念的名稱.為了更好的理解直線與平面所成的角的概念，引導(dǎo)學(xué)生回顧直線與平面垂直的位置關(guān)系研究中體現(xiàn)的“平面化、降維”的數(shù)學(xué)思想方法，通過對已學(xué)知識與思想方法的回憶，尋找新知識的“生長點”，同時滲透類比的數(shù)學(xué)思想方法.接著通過例1，掌握求直線和平面所成的角的常用方法：射影轉(zhuǎn)化法.具體步驟如下：找過斜線上一點與平面垂直的直線；連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；把該角置于三角形中計算.通過例2，了解正確確定點在平面上的射影的位置，是求直線與平面所成角的關(guān)鍵，只有確定了射影的位置，才能將空間問題順利地轉(zhuǎn)化為平面的問題.而確定點在平面上的射影位置有以下幾種方法：（1） 斜線上任意一點在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；（2） 利用已知的垂直關(guān)系得出線面垂直，確定射影.通過例3，對直線與平面所成的角的范圍更準(zhǔn)確、全面的理解.通過例4，了解一個很重要的結(jié)論：平面的一條斜線，如果和這個平面內(nèi)斜線為頂點的角的兩邊成等角，那么這條斜線在這個平面上的射影是這個角的平分線所在的直線，這個結(jié)論在解答一些問題時常常用到.總之，對于直線與平面所成的角的計算，總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的角，并把它置于一個平面圖形，而且是一個三角形的內(nèi)角來解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來實現(xiàn)的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用通過空間角的計算和應(yīng)用進一步培養(yǎng)運算能力、邏輯推理能力及空間想象能力