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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 平面向量的正交分解與坐標(biāo)運(yùn)算教案 理 教材分析 這節(jié)課通過建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合平面向量基本定理，給出了向量的另一種表示———坐標(biāo)表示，這樣使平面中的向量與它的坐標(biāo)建立起了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后導(dǎo)出了向量的加法、減法及實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算，這就為利用“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問題搭起了橋梁，更突出也更簡(jiǎn)化了向量的應(yīng)用．所以，一定要讓學(xué)生重點(diǎn)掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以利于掌握坐標(biāo)形式下的向量的一些關(guān)系式及運(yùn)用．教學(xué)難點(diǎn)是讓學(xué)生建立起平面向量的坐標(biāo)概念． 教學(xué)目標(biāo) 1. 理解平面向量坐標(biāo)概念，領(lǐng)會(huì)它的引入過程，進(jìn)一步體會(huì)一一對(duì)應(yīng)的思想意識(shí)． 2. 理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，并能應(yīng)用坐標(biāo)運(yùn)算解決一些問題． 3. 增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)，領(lǐng)會(huì)“沒有運(yùn)算，向量只是一個(gè)‘路標(biāo)’，因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無限”的說法． 任務(wù)分析 1. 有了平面向量的基本定理，就不難有平面向量的正交分解，有了坐標(biāo)系下點(diǎn)與坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，也就容易有在直角坐標(biāo)平面內(nèi)的向量與坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng)． 2. 可以從兩個(gè)角度來理解平面向量的坐標(biāo)表示： （1）設(shè)i，j為x，y軸方向上的單位向量，則任一向量ａ可唯一地表示為xi＋yj，即唯一對(duì)應(yīng)數(shù)對(duì)（x，y），所以可以說a＝（x，y）． （2）任一向量ａ可平移成，一一對(duì)應(yīng)點(diǎn)A（x，y），從而可說a＝（x，y）． 3. 在接觸過xOy平面內(nèi)一點(diǎn)到它的坐標(biāo)的這種形、數(shù)過渡的基礎(chǔ)上，容易接受由向量到坐標(biāo)的這種代數(shù)化的過渡． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問題情景 1. 光滑斜面上的木塊所受重力可以分解為平行斜面使木塊下滑的力F1和木塊產(chǎn)生的垂直于斜面的壓力F2（如圖）． 一個(gè)向量也可以分解為兩個(gè)互相垂直的向量的線性表達(dá)，這種情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，許多有關(guān)向量問題將變得較為簡(jiǎn)單． 2. 在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示，那么對(duì)平面直角坐標(biāo)內(nèi)的每一個(gè)向量，可否用實(shí)數(shù)對(duì)來表示？又如何表示呢？ 二、建立模型 1. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，先分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底．對(duì)于平面上一個(gè)向量a，由平面向量的基本定理，知有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使ａ＝xi＋yj，這樣平面內(nèi)任一向量a都可由x，y唯一確定，（x，y）叫a的坐標(biāo)，記作a＝（x，y）． 顯然，i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）． 若把ａ的起點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，即ａ＝，則點(diǎn)A的位置由ａ唯一確定．設(shè)＝xi＋yj，則的坐標(biāo)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，點(diǎn)A的坐標(biāo)（x，y）也就是的坐標(biāo)．因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一對(duì)實(shí)數(shù)（即坐標(biāo)）唯一表示． 2. 學(xué)生思考討論 已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b，a－b，λa的坐標(biāo)嗎？ ∵ａ＝（x1，y1），b＝（x2，y2）， ∴ａ＝x1ｉ＋y1ｊ，b＝x2ｉ＋y2ｊ． ∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j， ∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2，y1＋y2）． 同理ａ＋ｂ＝（x1－x2，y1－y2），λａ＝（λx1，λy1）． 上述結(jié)論可表述為：兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）；實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)． 三、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 1. 已知A（x1，y1），B（x2，y2），求AB→的坐標(biāo)． 解：如圖39-3，AB→＝－＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）． 總結(jié)：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)． 思考：能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為（x2－x1，y2－y1）的P點(diǎn)嗎？ 平移到，則P（x2－x1，y2－y1）． 2. 已知A（－2，1），B（－1，3），C（3，4）． （1）求－的坐標(biāo)．　?。?）求ABCD中D點(diǎn)的坐標(biāo)． 放開思考，展開討論，看學(xué)生們有哪些不同方法． （1）解法1：∵＝（1，2），＝（5，3）， ∴－＝（1，2）－（5，3）＝（－4，－1）． 解法2：－＝＝（－4，－1）． （2）解法1：設(shè)D（x，y），＝，即（1，2）＝（3－x，4－y）， ∴x＝y(tǒng)＝2，D（2，2）． 思考：你能比較出對(duì)（2）的兩種解法在思想方法上的異同點(diǎn)嗎？ （解法1是間接的思想，即方程的思想，解法2是直接的思想） 3. 在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（3，2），點(diǎn)B（－2，4），求向量＋的方向和長(zhǎng)度． 解：由已知，得＝（3，2），＝（－2，4）． 設(shè)＝＋，則＝＋＝（3，2）＋（－2，4）＝（1，6）． 由兩點(diǎn)的距離公式，得 設(shè)相對(duì)x軸正向的轉(zhuǎn)角為α，則 查表或使用計(jì)算器，得α＝8032′． 答：向量的方向偏離ｘ軸正向約為8032′，長(zhǎng)度等于，向量的方向偏離x軸正向約為11634′，長(zhǎng)度等于2． ［練　習(xí)］ 1. 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求3a＋4b的坐標(biāo)． 2. 設(shè)a＋b＝（－4，－3），a－b＝（2，1），求a，b． 解法1：∵2a＝（－4，－3）＋（2，1）＝（－2，－2）， 2b＝（－4，－3）－（2，1）＝（－6，－4）， ∴a＝（－1，－1），b＝（－3，－2）． 解法2：設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則 3. 已知ａ＝（1，1），ｂ＝（1，－1），ｃ＝（－1，2），試以ａ，ｂ為基底來表示ｃ． 解：設(shè)c＝k1a＋k2a，即（－1，2）＝k1（1，1）＋k2（1，－1），即（－1，2）＝（k1＋k2，k1－k2）， 四、拓展延伸 1. 在直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（x1，y1），B（x2，y2），求線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：設(shè)點(diǎn)M（x，y）是線段AB的中點(diǎn)（如圖39-5），則＝（＋）． 將上式換為向量的坐標(biāo)，得 （x，y）＝［（x1，y1 ）＋（x2，y2 ）］． 即. 這里得到的公式叫作線段中點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算公式，簡(jiǎn)稱中點(diǎn)公式． 2. 對(duì)于向量a，b，c，若存在不全為0的實(shí)數(shù)k1，k2，k3，使k1a＋k2b＋k3c＝0，則稱a，b，c三個(gè)向量線性相關(guān)，試研究三個(gè)向量＝（3，5），＝（0，－1），＝（－3，－4）是否線性相關(guān)． 解法1：顯然有＋＋＝0，∴三者線性相關(guān)． 解法2：由k1＋k2＋k3＝0， 即k1（3，5）＋k2（0，－1）＋k3（－3，－4）＝0， 即（3k1－3k3，5k1－k2－4k3）＝（0，0）， 取k1＝k2＝k3＝1，則＋＋＝0，故三個(gè)向量線性相關(guān)． 點(diǎn)　評(píng) 這篇案例設(shè)計(jì)完整，思路自然．由斜邊上物體所受重力的分解，聯(lián)想到向量應(yīng)有常見的正交分解；由點(diǎn)的坐標(biāo)表示，結(jié)合平面向量基本定理聯(lián)想到向量也有坐標(biāo)形式．這為鍛煉學(xué)生的類比聯(lián)想能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)地提出問題、解決問題的能力提供了平臺(tái)．向量用坐標(biāo)表示即把向量代數(shù)化，增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，也增強(qiáng)了一一對(duì)應(yīng)的意識(shí)，為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)打下了良好的基礎(chǔ)．