2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第04講 基本初等函數(shù)教案 新人教版一課標要求1指數(shù)函數(shù)（1）通過具體實例（如細胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內殘留量的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景；（2）理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算。（3）理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點；（4）在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。2對數(shù)函數(shù)（1）理解對數(shù)的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運算的作用；（2）通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點；3知道指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（a0，a1）。二命題走向指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三類常見的重要函數(shù)，在歷年的高考題中都占據(jù)著重要的地位。從近幾年的高考形勢來看，對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質為依托，結合運算推理，能運用它們的性質解決具體問題。為此，我們要熟練掌握指數(shù)、對數(shù)運算法則，明確算理，能對常見的指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)進行變形處理。預測xx年對本節(jié)的考察是：1題型有兩個選擇題和一個解答題；2題目形式多以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為載體的復合函數(shù)來考察函數(shù)的性質。同時它們與其它知識點交匯命題，則難度會加大。三要點精講1指數(shù)與對數(shù)運算（1）根式的概念：定義：若一個數(shù)的次方等于，則這個數(shù)稱的次方根。即若，則稱的次方根，1）當為奇數(shù)時，次方根記作；2）當為偶數(shù)時，負數(shù)沒有次方根，而正數(shù)有兩個次方根且互為相反數(shù)，記作。性質：1）；2）當為奇數(shù)時，；3）當為偶數(shù)時，。（2）冪的有關概念規(guī)定：1）N*；2）； n個3）Q，4）、N* 且。性質：1）、Q）；2）、 Q）；3） Q）。（注）上述性質對r、R均適用。（3）對數(shù)的概念定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數(shù)稱以為底N的對數(shù)，記作其中稱對數(shù)的底，N稱真數(shù)。1）以10為底的對數(shù)稱常用對數(shù)，記作；2）以無理數(shù)為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，記作；基本性質：1）真數(shù)N為正數(shù)（負數(shù)和零無對數(shù)）；2）；3）；4）對數(shù)恒等式：。運算性質：如果則1）；2）；3）R）。換底公式：1）；2）。2指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（1）指數(shù)函數(shù)：定義：函數(shù)稱指數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域為R；2）函數(shù)的值域為；3）當時函數(shù)為減函數(shù)，當時函數(shù)為增函數(shù)。函數(shù)圖像：1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經過點（0，1），且圖象都在第一、二象限；2）指數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當時，圖象向左無限接近軸，當時，圖象向右無限接近軸）；3）對于相同的，函數(shù)的圖象關于軸對稱。，函數(shù)值的變化特征：（2）對數(shù)函數(shù)：定義：函數(shù)稱對數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域為；2）函數(shù)的值域為R；3）當時函數(shù)為減函數(shù)，當時函數(shù)為增函數(shù)；4）對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。函數(shù)圖像：1）對數(shù)函數(shù)的圖象都經過點（0，1），且圖象都在第一、四象限；2）對數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當時，圖象向上無限接近軸；當時，圖象向下無限接近軸）；4）對于相同的，函數(shù)的圖象關于軸對稱。函數(shù)值的變化特征：，.，. 四典例解析題型1：指數(shù)運算例1（1）計算：；（2）化簡：。解：（1）原式=；（2）原式=。點評：根式的化簡求值問題就是將根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，然后利用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質求解，對化簡求值的結果，一般用分數(shù)指數(shù)冪的形式保留；一般的進行指數(shù)冪運算時，化負指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分數(shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分數(shù)運算，同時兼顧運算的順序。例2已知，求的值。解：，又，。點評：本題直接代入條件求解繁瑣，故應先化簡變形，創(chuàng)造條件簡化運算。題型2：對數(shù)運算例3計算（1）；（2）；（3）。解：（1）原式 ；（2）原式 ；（3）分子=；分母=；原式=。點評：這是一組很基本的對數(shù)運算的練習題，雖然在考試中這些運算要求并不高，但是數(shù)式運算是學習數(shù)學的基本功，通過這樣的運算練習熟練掌握運算公式、法則，以及學習數(shù)式變換的各種技巧。例4設、為正數(shù)，且滿足 （1）求證：；（2）若，求、的值。證明：（1）左邊；解：（2）由得，由得 由得由得，代入得， 由、解得，從而。點評：對于含對數(shù)因式的證明和求值問題，還是以對數(shù)運算法則為主，將代數(shù)式化簡到最見形式再來處理即可。題型3：指數(shù)、對數(shù)方程例5設關于的方程R），（1）若方程有實數(shù)解，求實數(shù)b的取值范圍；（2）當方程有實數(shù)解時，討論方程實根的個數(shù)，并求出方程的解。解：（1）原方程為，時方程有實數(shù)解；（2）當時，方程有唯一解；當時，.的解為；令的解為；綜合、，得1）當時原方程有兩解：；2）當時，原方程有唯一解；3）當時，原方程無解。點評：具有一些綜合性的指數(shù)、對數(shù)問題，問題的解答涉及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)、參數(shù)討論、方程討論等各種基本能力，這也是指數(shù)、對數(shù)問題的特點，題型非常廣泛，應通過解題學習不斷積累經驗。例6（xx遼寧 文13）方程的解為 。解：考察對數(shù)運算。原方程變形為，即，得。且有。從而結果為。點評：上面兩例是關于含指數(shù)式、對數(shù)式等式的形式，解題思路是轉化為不含指數(shù)、對數(shù)因式的普通等式或方程的形式，再來求解。題型4：指數(shù)函數(shù)的概念與性質例7設（ ）A0 B1 C2 D3解：C；，。點評：利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念，求解函數(shù)的值。例8已知試求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間。解：令，則x=，tR。所以即，（xR）。因為f(x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故只需討論f(x)在0，+）上的單調性。任取，且使，則（1）當a>1時，由，有，所以，即f(x)在0，+上單調遞增。（2）當0<a<1時，由，有，所以，即f(x)在0，+上單調遞增。綜合所述，0，+是f(x)的單調增區(qū)間，（，0）是f(x)的單調區(qū)間。點評：求解含指數(shù)式的函數(shù)的定義域、值域，甚至是證明函數(shù)的性質都需要借助指數(shù)函數(shù)的性質來處理。特別是分兩種情況來處理。題型5：指數(shù)函數(shù)的圖像與應用例9若函數(shù)的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是（ ）Am1 B1m<0 Cm1 D0<m1解：，畫圖象可知1m<0。答案為B。點評：本題考察了復雜形式的指數(shù)函數(shù)的圖像特征，解題的出發(fā)點仍然是兩種情況下函數(shù)的圖像特征。例10設函數(shù)的取值范圍。解：由于是增函數(shù)，等價于1)當時，式恒成立；2)當時，式化為，即；3)當時，式無解；綜上的取值范圍是。點評：處理含有指數(shù)式的不等式問題，借助指數(shù)函數(shù)的性質將含有指數(shù)式的不等式轉化為普通不等式問題（一元一次、一元二次不等式）來處理。題型6：對數(shù)函數(shù)的概念與性質例11（1）函數(shù)的定義域是（ ）A B C D（2）（xx湖北）設f(x)，則的定義域為（ ）A B(4,1)(1，4) C(2,1)(1，2) D(4,2)(2，4)解：（1）D（2）B。點評：求函數(shù)定義域就是使得解析是有意義的自變量的取值范圍，在對數(shù)函數(shù)中只有真數(shù)大于零時才有意義。對于抽象函數(shù)的處理要注意對應法則的對應關系。例12對于， （1）函數(shù)的“定義域為R”和“值域為R”是否是一回事；（2）結合“實數(shù)a的取何值時在上有意義”與“實數(shù)a的取何值時函數(shù)的定義域為”說明求“有意義”問題與求“定義域”問題的區(qū)別；（3）結合（1）（2）兩問，說明實數(shù)a的取何值時的值域為（4）實數(shù)a的取何值時在內是增函數(shù)。解：記，則；（1）不一樣；定義域為R恒成立。得：，解得實數(shù)a的取值范圍為。值域為R：值域為R至少取遍所有的正實數(shù)，則，解得實數(shù)a的取值范圍為。（2）實數(shù)a的取何值時在上有意義：命題等價于對于任意恒成立，則或，解得實數(shù)a得取值范圍為。實數(shù)a的取何值時函數(shù)的定義域為：由已知得二次不等式的解集為可得，則a=2。故a的取值范圍為2。區(qū)別：“有意義問題”正好轉化成“恒成立問題”來處理，而“定義域問題”剛好轉化成“取遍所有問題”來解決（這里轉化成了解集問題，即取遍解集內所有的數(shù)值）（3）易知得值域是，又得值域是，得，故a得取值范圍為1，1。（4）命題等價于在上為減函數(shù)，且對任意的恒成立，則，解得a得取值范圍為。點評：該題主要考察復合對數(shù)函數(shù)的定義域、值域以及單調性問題。解題過程中遇到了恒成立問題，“恒為正”與“取遍所有大于零的數(shù)”不等價，同時又考察了一元二次函數(shù)函數(shù)值的分布情況，解題過程中結合三個“二次”的重要結論來進行處理。題型7：對數(shù)函數(shù)的圖像及應用例13當a>1時，函數(shù)y=logax和y=(1a)x的圖象只可能是( )解：當a>1時，函數(shù)y=logax的圖象只能在A和C中選，又a>1時，y=(1a)x為減函數(shù)。答案：B點評：要正確識別函數(shù)圖像，一是熟悉各種基本函數(shù)的圖像，二是把握圖像的性質，根據(jù)圖像的性質去判斷，如過定點、定義域、值域、單調性、奇偶性。例14設A、B是函數(shù)y= log2x圖象上兩點, 其橫坐標分別為a和a+4, 直線l: x=a+2與函數(shù)y= log2x圖象交于點C, 與直線AB交于點D。（1）求點D的坐標；（2）當ABC的面積大于1時, 求實數(shù)a的取值范圍。解：（1）易知D為線段AB的中點, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4)，所以由中點公式得D(a+2, log2 )。（2）SABC=S梯形AACC+S梯形CCBB- S梯形AABB= log2, 其中A,B,C為A,B,C在x軸上的射影。由SABC= log2>1, 得0< a<22。點評：解題過程中用到了對數(shù)函數(shù)性質，注意底數(shù)分類來處理，根據(jù)函數(shù)的性質來處理復雜問題。題型8：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合問題例15在xOy平面上有一點列P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn)，對每個自然數(shù)n點Pn位于函數(shù)y=xx()x(0<a<1)的圖象上，且點Pn,點(n,0)與點(n+1,0)構成一個以Pn為頂點的等腰三角形。(1)求點Pn的縱坐標bn的表達式；(2)若對于每個自然數(shù)n，以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形，求a的取值范圍；(3)設Cn=lg(bn)(nN*),若a取(2)中確定的范圍內的最小整數(shù)，問數(shù)列Cn前多少項的和最大？試說明理由。解：(1)由題意知：an=n+,bn=xx()。(2)函數(shù)y=xx()x(0<a<10)遞減，對每個自然數(shù)n,有bn>bn+1>bn+2。則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn，即()2+()1>0，解得a<5(1+)或a>5(1)。 5(1)<a<10。(3)5(1)<a<10，a=7bn=xx()。數(shù)列bn是一個遞減的正數(shù)數(shù)列，對每個自然數(shù)n2,Bn=bnBn1。于是當bn1時，Bn<Bn1，當bn<1時，BnBn1，因此數(shù)列Bn的最大項的項數(shù)n滿足不等式bn1且bn+1<1，由bn=xx()1得：n20。n=20。點評：本題題設從函數(shù)圖像入手，體現(xiàn)數(shù)形結合的優(yōu)越性，最終還是根據(jù)函數(shù)性質結合數(shù)列知識，以及三角形的面積解決了實際問題。例16已知函數(shù)為常數(shù)）（1）求函數(shù)f(x)的定義域；（2）若a=2，試根據(jù)單調性定義確定函數(shù)f(x)的單調性。（3）若函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)，求a的取值范圍。解：（1）由a0，x0 f(x)的定義域是。（2）若a=2，則設 ， 則故f(x)為增函數(shù)。（3）設 f(x)是增函數(shù)，f(x1)f(x2)即 聯(lián)立、知a1，a(1，+)。點評：該題屬于純粹的研究復合對函數(shù)性質的問題，我們抓住對數(shù)函數(shù)的特點，結合一般函數(shù)求定義域、單調性的解題思路，對“路”處理即可。題型9：課標創(chuàng)新題例17對于在區(qū)間上有意義的兩個函數(shù)f(x)與g(x)，如果對任意的，均有，則稱f(x)與g(x)在上是接近的，否則稱f(x)與g(x)在上是非接近的，現(xiàn)有兩個函數(shù)與，給定區(qū)間。（1）若與在給定區(qū)間上都有意義，求a的取值范圍；（2）討論與在給定區(qū)間上是否是接近的。解：（1）兩個函數(shù)與在給定區(qū)間有意義，因為函數(shù)給定區(qū)間上單調遞增，函數(shù)在給定區(qū)間上恒為正數(shù)，故有意義當且僅當；（2）構造函數(shù)，對于函數(shù)來講， 顯然其在上單調遞減，在上單調遞增。且在其定義域內一定是減函數(shù)。由于，得所以原函數(shù)在區(qū)間內單調遞減，只需保證當時，與在區(qū)間上是接近的； 當時，與在區(qū)間上是非接近的。點評：該題屬于信息給予的題目，考生首先理解“接近”與“非接近”的含義，再對含有對數(shù)式的函數(shù)的是否“接近”進行研究，轉化成含有對數(shù)因式的不等式問題，解不等式即可。例18設，且，求的最小值。解：令 ，。 由得， ，即， ， ，當時，。點評：對數(shù)函數(shù)結合不等式知識處理最值問題，這是出題的一個亮點。同時考察了學生的變形能力。五思維總結1（其中）是同一數(shù)量關系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進行它們之間的相互轉化，選擇最好的形式進行運算.在運算中，根式常?；癁橹笖?shù)式比較方便，而對數(shù)式一般應化為同應化為同底；2要熟練運用初中學習的多項式各種乘法公式；進行數(shù)式運算的難點是運用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆項、添項、換元等等，這些都是經常使用的變換技巧，必須通過各種題型的訓練逐漸積累經驗；3解決含指數(shù)式或對數(shù)式的各種問題，要熟練運用指數(shù)、對數(shù)運算法則及運算性質，更關鍵是熟練運用指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質，其中單調性是使用率比較高的知識；4指數(shù)、對數(shù)函數(shù)值的變化特點（上面知識結構表中的12個小點）是解決含指數(shù)、對數(shù)式的問題時使用頻繁的關鍵知識，要達到滾瓜爛熟，運用自如的水平，在使用時常常還要結合指數(shù)、對數(shù)的特殊值共同分析；5含有參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的討論問題是重點題型，解決這類問題的最基本的分類方案是以“底”大于1或小于1分類；6在學習中含有指數(shù)、對數(shù)的復合函數(shù)問題大多數(shù)都是以綜合形式出現(xiàn)，如與其它函數(shù)（特別是二次函數(shù)）形成的復合函數(shù)問題，與方程、不等式、數(shù)列等內容形成的各類綜合問題等等，因此要努力提高綜合能力。