2019-2020年高中數(shù)學知識精要 15.解析幾何-直線與圓教案 新人教A版1、直線的傾斜角：（1）定義：在平面直角坐標系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。當直線與軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為0；（2）傾斜角的范圍。如（1）直線的傾斜角的范圍是_（答：）；（2）過點的直線的傾斜角的范圍值的范圍是_（答：）2、直線的斜率：（1）定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，即tan(90)；傾斜角為90的直線沒有斜率；（2）斜率公式：經(jīng)過兩點、的直線的斜率為；（3）直線的方向向量，直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系？（4）應用：證明三點共線： 。提醒：（1）直線的傾斜角一定存在，但斜率不一定存在。（2）直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系：若直線存在斜率k，而傾斜角為，則k=tan.當傾斜角是銳角是，斜率k隨著傾斜角的增大而增大。當是鈍角時，k與同增減.（3）斜率的求法：OK 依據(jù)傾斜角：，牢記圖像 依據(jù)兩點的坐標：依據(jù)直線方程：化為斜截式當已知k，求傾斜角時：k0時，=arctank；k<0時，=+arctank。（4）（你知道如何由直線的方向向量來求斜率嗎？） 如(1) 兩條直線斜率相等是這兩條直線平行的_條件（答：既不充分也不必要）；（2）實數(shù)滿足 ()，則的最大值、最小值分別為_（答：）3、直線的方程：（1）點斜式：已知直線過點斜率為，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。（2）斜截式：已知直線在軸上的截距為和斜率，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。（3）兩點式：已知直線經(jīng)過、兩點，則直線方程為，它不包括垂直于坐標軸的直線。（4）截距式：已知直線在軸和軸上的截距為,則直線方程為，它不包括垂直于坐標軸的直線和過原點的直線。（5）一般式：任何直線均可寫成(A,B不同時為0)的形式。如（1）經(jīng)過點（2，1）且方向向量為=(1,)的直線的點斜式方程是_（答：）；（2）直線，不管怎樣變化恒過點_（答：）；（3）若曲線與有兩個公共點，則的取值范圍是_（答：）提醒：(1)直線方程的各種形式都有局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？）；(2)直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過原點；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為或直線過原點。如過點，且縱橫截距的絕對值相等的直線共有_條（答：3）4.設(shè)直線方程的一些常用技巧：（1）知直線縱截距，常設(shè)其方程為；（2）知直線橫截距，常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為0的直線)；（3）知直線過點，當斜率存在時，常設(shè)其方程為，當斜率不存在時，則其方程為；（4）與直線平行的直線可表示為（）；（5）與直線垂直的直線可表示為.（6）已知直線l1：A1x+B1y+C1=0，直線l2：A2x+B2y+C2=0，則方程A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0表示過l1與l2交點的直線系（不含l2）.不僅可以建立直線方程還可解決直線過定點問題.提醒：（1）求直線方程的基本思想和方法是恰當選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解。（2）求解直線方程的最后結(jié)果，如無特別強調(diào)，都應寫成一般式.（3）求一個角的平分線所在的直線方程的方法：法一、利用角的平分線所在的直線的方向向量由頂點坐標（含線段端點）或直線方程求得角兩邊的方向向量；求出角平分線的方向向量由點斜式或點向式得出角平分線方程。直線的點向式方程：過P（），其方向向量為，其方程為法二、利用角平分線定理：法三、利用點到直線的距離公式：設(shè)為角平分線所在直線上的任意一點，通過到兩邊距離相等而得.5、點到直線的距離及兩平行直線間的距離：（1）點到直線的距離；（2）兩平行線間的距離為。提醒：（1）公式要求直線方程為一般式.（2）求平行直線間的距離時，一定要把 x、y項系數(shù)化成對應相等的系數(shù).6、直線與直線的位置關(guān)系：（1）平行（斜率）且（在軸上截距）；（2）相交；（3）重合且。提醒：（1） 、僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件！為什么？（2）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線與直線垂直。如（1）設(shè)直線和，當_時；當_時；當_時與相交；當_時與重合（答：1；3）；（2）已知直線的方程為，則與平行，且過點（1，3）的直線方程是_（答：）；（3）兩條直線與相交于第一象限，則實數(shù)的取值范圍是_（答：）；（4）設(shè)分別是ABC中A、B、C所對邊的邊長，則直線與的位置關(guān)系是_（答：垂直）；（5）已知點是直線上一點，是直線外一點，則方程0所表示的直線與的關(guān)系是_（答：平行）；（6）直線過點（，），且被兩平行直線和所截得的線段長為9，則直線的方程是_（答：）7.對稱是平面幾何的基本變換，有關(guān)對稱的一些結(jié)論 點（，）關(guān)于軸、軸、原點、直線y=x的對稱點分別是（，），（，），（，），（，） 如何求點A (，）關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點?點關(guān)于直線的對稱點是什么？ 直線Ax+By+C=0關(guān)于軸、軸、原點、直線y=x的對稱的直線方程分別是什么，關(guān)于點（，）對稱的直線方程又是什么？你能用哪些方法來求一條直線關(guān)于另一條直線的對稱直線？ 如何處理與光的入射與反射問題？8、圓的方程：圓的標準方程：。圓的一般方程：，特別提醒：只有當時，方程才表示圓心為，半徑為的圓（二元二次方程表示圓的充要條件是什么？ （且且）；在圓的標準方程中有三個參數(shù)；在圓的一般方程中，也有三個參數(shù)。所以說三個互相獨立的條件確定一個圓。在平面幾何中也是熟悉的事實：不共線的三點唯一地確定一個圓。確定一個圓，包括確定圓的位置和大小兩個方面。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。又稱圓心是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件。圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為。在參數(shù)方程中，當為參數(shù)，為常量時表示一個圓，有幾何意義；而當為參數(shù)，為常量時，表示一條直線，也有幾何意義。圓的參數(shù)方程的主要應用是三角換元：；。為直徑端點的圓方程過兩圓交點的圓系方程設(shè)圓，圓有公共點，則經(jīng)過圓和圓的公共點的圓系方程為：（其中為參數(shù)，方程不包括圓。）在有些問題中需檢驗圓是否也為所求；當時，該方程是一條直線的方程，此直線就是兩圓的公共弦所在直線。3. 過直線與圓的交點的圓系方程設(shè)直線與圓有公共點，則過其交點的圓系方程為。如（1）圓C與圓關(guān)于直線對稱，則圓C的方程為_（答：）；（2）圓心在直線上，且與兩坐標軸均相切的圓的標準方程是_（答：或）；（3）已知是圓（為參數(shù)，上的點，則圓的普通方程為_，P點對應的值為_，過P點的圓的切線方程是_（答：；）；（4）如果直線將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么的斜率的取值范圍是_（答：0，2）；（5）方程x2+yx+y+k=0表示一個圓，則實數(shù)k的取值范圍為_（答：）；（6）若（為參數(shù)，若，則b的取值范圍是_（答：）8、點與圓的位置關(guān)系：已知點及圓，（1）點M在圓C外；（2）點M在圓C內(nèi)；（3）點M在圓C上。如點P(5a+1,12a)在圓(x)y2=1的內(nèi)部,則a的取值范圍是_（答：）9、直線與圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相離、相切。可從代數(shù)和幾何兩個方面來判斷：（1）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況）：相交；相離；相切；（2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大?。涸O(shè)圓心到直線的距離為，則相交；相離；相切。提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡捷。如（1）圓與直線，的位置關(guān)系為_（答：相離）；（2）若直線與圓切于點，則的值_（答：2）；（3）直線被曲線所截得的弦長等于 （答：）；（4）一束光線從點A(1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）；（5）已知是圓內(nèi)一點，現(xiàn)有以為中點的弦所在直線和直線，則A，且與圓相交 B，且與圓相交C，且與圓相離 D，且與圓相離（答：C）；（6）已知圓C：，直線L：。求證：對，直線L與圓C總有兩個不同的交點；設(shè)L與圓C交于A、B兩點，若，求L的傾斜角；求直線L中，截圓所得的弦最長及最短時的直線方程. （答：或最長：，最短：）10、圓與圓的位置關(guān)系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷）：已知兩圓的圓心分別為，半徑分別為，則（1）當時，兩圓外離；（2）當時，兩圓外切；（3）當時，兩圓相交；（4）當時，兩圓內(nèi)切；（5）當時，兩圓內(nèi)含。如雙曲線的左焦點為F1，頂點為A1、A2，P是雙曲線右支上任意一點，則分別以線段PF1、A1A2為直徑的兩圓位置關(guān)系為 （答：內(nèi)切）特別提醒：圓系方程有哪些？（04年上海卷.文理8）圓心在直線上的圓C與y軸交于兩點, 則圓C的方程為 .兩圓相交弦所在直線方程的求法：圓C1的方程為：x2+y2+D1x+E1y+C1=0.圓C2的方程為：x2+y2+D2x+E2y+C2=0. 把兩式相減得相交弦所在直線方程為：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0注意：兩圓相切要區(qū)分內(nèi)切還是外切.11、圓的切線與弦長：(1)切線：過圓上一點圓的切線方程是：，過圓上一點圓的切線方程是：，一般地，如何求圓的切線方程？（抓住圓心到直線的距離等于半徑）；從圓外一點引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件，運用幾何方法（抓住圓心到直線的距離等于半徑）來求；過兩切點的直線（即“切點弦”）方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點為直徑端點的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過兩切點的直線方程；切線長：過圓（）外一點所引圓的切線的長為（）；如設(shè)A為圓上動點，PA是圓的切線，且|PA|=1，則P點的軌跡方程為_（答：）；（2）弦長問題：圓的弦長的計算：常用弦心距，弦長一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來解：；過兩圓、交點的圓(公共弦)系為，當時，方程為兩圓公共弦所在直線方程.。12.解決直線與圓的關(guān)系問題時，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等)!圓心在過切點垂直于切線的直線上垂徑定理：弦的垂直平分線過圓心（弦的中點與圓心的連線垂直弦所在的直線）弦心距的d、半徑r、弦長l的關(guān)系是什么？ 12.圓上一定到某點或者某條直線的距離的最大、最小值的求法。（04年全國卷三. 文16）設(shè)P為圓上的動點，則點P到直線的距離的最小值為 . 點評：通過參數(shù)法，將幾何問題轉(zhuǎn)化為三角值域研究. 也可設(shè)切線，由求出C，最后由兩平行線間距離公式求出最小值.注意防止由于“零截距”和“無斜率”造成丟解