2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第29講 等比數(shù)列教案 新人教版一課標(biāo)要求：1通過實例，理解等比數(shù)列的概念；2探索并掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和的公式；3能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。二命題走向等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點?？陀^性的試題考察等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、求和公式等基礎(chǔ)知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對基本的運算要求比較高，解答題大多以數(shù)列知識為工具。預(yù)測07年高考對本講的考察為：（1）題型以等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主的12道客觀題目；（2）關(guān)于等比數(shù)列的實際應(yīng)用問題或知識交匯題的解答題也是重點；（3）解決問題時注意數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，象通過逆推思想、函數(shù)與方程、歸納猜想、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等，它將能靈活考察考生運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力。三要點精講1等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：數(shù)列對于數(shù)列（1）（2）（3）都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2，5，。（注意：“從第二項起”、“常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項都不為零）2等比數(shù)列通項公式為：。說明：（1）由等比數(shù)列的通項公式可以知道：當(dāng)公比時該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項公式知：若為等比數(shù)列，則。3等比中項如果在中間插入一個數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項（兩個符號相同的非零實數(shù)，都有兩個等比中項）。4等比數(shù)列前n項和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前n項和是，當(dāng)時， 或；當(dāng)q=1時，（錯位相減法）。說明：（1）和各已知三個可求第四個；（2）注意求和公式中是，通項公式中是不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時，必要時應(yīng)討論的情況。四典例解析題型1：等比數(shù)列的概念例1“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；“公比為的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”；“a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac”；“a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”，以上四個命題中，正確的有（ ）A1個 B2個 C3個 D4個解析：四個命題中只有最后一個是真命題。命題1中未考慮各項都為0的等差數(shù)列不是等比數(shù)列；命題2中可知an+1=an，an+1<an未必成立，當(dāng)首項a1<0時，an<0，則an>an，即an+1>an，此時該數(shù)列為遞增數(shù)列；命題3中，若a=b=0，cR，此時有，但數(shù)列a,b,c不是等比數(shù)列，所以應(yīng)是必要而不充分條件，若將條件改為b=，則成為不必要也不充分條件。點評：該題通過一些選擇題的形式考察了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論，為此我們要注意一些有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。例2命題1：若數(shù)列an的前n項和Sn=an+b(a1)，則數(shù)列an是等比數(shù)列；命題2：若數(shù)列an的前n項和Sn=an2+bn+c(a0)，則數(shù)列an是等差數(shù)列；命題3：若數(shù)列an的前n項和Sn=nan，則數(shù)列an既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；上述三個命題中，真命題有（ ）A0個 B1個 C2個 D3個解析： 由命題1得，a1=a+b，當(dāng)n2時，an=SnSn1=(a1)an1。若an是等比數(shù)列，則=a，即=a，所以只有當(dāng)b=1且a0時，此數(shù)列才是等比數(shù)列。由命題2得，a1=a+b+c，當(dāng)n2時，an=SnSn1=2na+ba，若an是等差數(shù)列，則a2a1=2a，即2ac=2a，所以只有當(dāng)c=0時，數(shù)列an才是等差數(shù)列。由命題3得，a1=a1，當(dāng)n2時，an=SnSn1=a1，顯然an是一個常數(shù)列，即公差為0的等差數(shù)列，因此只有當(dāng)a10；即a1時數(shù)列an才又是等比數(shù)列。點評：等比數(shù)列中通項與求和公式間有很大的聯(lián)系，上述三個命題均涉及到Sn與an的關(guān)系，它們是an=，正確判斷數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列，都必須用上述關(guān)系式，尤其注意首項與其他各項的關(guān)系。上述三個命題都不是真命題，選擇A。題型2：等比數(shù)列的判定例3（xx全國理，20）（）已知數(shù)列cn，其中cn2n3n，且數(shù)列cn1pcn為等比數(shù)列，求常數(shù)p；（）設(shè)an、bn是公比不相等的兩個等比數(shù)列，cn=an+bn，證明數(shù)列cn不是等比數(shù)列。解析：（）解：因為cn1pcn是等比數(shù)列，故有：（cn1pcn）2（cn2pcn1）（cnpcn1），將cn2n3n代入上式，得：2n13n1p（2n3n）22n23n2p（2n13n1）2n3np（2n13n1），即（2p）2n（3p）3n2（2p）2n1（3p）3n1（2p）2n1（3p）3n1，整理得（2p）（3p）2n3n0，解得p=2或p=3。（）證明：設(shè)an、bn的公比分別為p、q，pq，cn=an+bn。為證cn不是等比數(shù)列只需證c22c1c3。事實上，c22（a1pb1q）2a12p2b12q22a1b1pq，c1c3（a1b1）（a1p2b1q2）a12p2b12q2a1b1（p2q2），由于pq，p2q22pq，又a1、b1不為零，因此c22c1c3，故cn不是等比數(shù)列。點評：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運算能力。例4（xx京春，21）如圖31，在邊長為l的等邊ABC中，圓O1為ABC的圖31內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無限繼續(xù)下去.記圓On的面積為an（nN*），證明an是等比數(shù)列；證明：記rn為圓On的半徑，則r1=tan30=。=sin30=，所以rn=rn1（n2），于是a1=r12=，故an成等比數(shù)列。點評：該題考察實際問題的判定，需要對實際問題情景進行分析，最終對應(yīng)數(shù)值關(guān)系建立模型加以解析。題型3：等比數(shù)列的通項公式及應(yīng)用例5一個等比數(shù)列有三項，如果把第二項加上4，那么所得的三項就成為等差數(shù)列，如果再把這個等差數(shù)列的第三項加上32，那么所得的三項又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列。解析：設(shè)所求的等比數(shù)列為a，aq，aq2；則2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=3或a=，q=5；故所求的等比數(shù)列為2，6,18或，。點評：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較繁。例6（xx年陜西卷）已知正項數(shù)列，其前項和滿足且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項解析：10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3。又10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0an+an1>0 , anan1=5 (n2)。當(dāng)a1=3時，a3=13，a15=73，a1, a3,a15不成等比數(shù)列a13；當(dāng)a1=2時,，a3=12， a15=72，有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3。點評：該題涉及等比數(shù)列的求和公式與等比數(shù)列通項之間的關(guān)系，最終求得結(jié)果。題型4：等比數(shù)列的求和公式及應(yīng)用例7（1）（xx年遼寧卷）在等比數(shù)列中,前項和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（ ）A B C D（2）（xx年北京卷）設(shè)，則等于（ ）AB C D（3）（1996全國文，21）設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S3S62S9，求數(shù)列的公比q；解析：（1）因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列，則即，所以，故選擇答案C。（2）D；（3）解：若q=1，則有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。因a10，得S3+S62S9，顯然q=1與題設(shè)矛盾，故q1。由S3+S6=2S9，得，整理得q3（2q6q31）=0，由q0，得2q6q31=0，從而（2q31）（q31）=0，因q31，故q3=，所以q=。點評：對于等比數(shù)列求和問題要先分清數(shù)列的通項公式，對應(yīng)好首項和公比求出最終結(jié)果即可。例8（1）（xx江蘇，18）設(shè)an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a1b11，a2a4b3，b2b4a3分別求出an及bn的前10項的和S10及T10；（2）（xx全國春季北京、安徽，20）在1與2之間插入n個正數(shù)a1，a2，a3，an，使這n2個數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入n個正數(shù)b1，b2，b3，bn，使這n2個數(shù)成等差數(shù)列.記Ana1a2a3an，Bnb1b2b3bn.（）求數(shù)列An和Bn的通項；（）當(dāng)n7時，比較An與Bn的大小，并證明你的結(jié)論。（3）（xx天津理，22）已知an是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a10，a23，an1an（an12）（an22），n3，4，5，（）求a3；（）證明anan22，n3，4，5，；（）求an的通項公式及其前n項和Sn。解析：（1）an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a2a42a3，b2b4b32已知a2a4b3，b2b4a3，b32a3，a3b32得 b32b32b30 b3，a3由a11，a3知an的公差為d，S1010a1由b11，b3知bn的公比為q或q當(dāng)q時，當(dāng)q時，。（2）（）設(shè)公比為q，公差為d，等比數(shù)列1，a1，a2，an，2，等差數(shù)列1，b1，b2，bn，2。則A1a11q A21q1q2 A31q1q21q3又an21qn12得qn12，Anqq2qnq（n1，2，3）又bn21（n1）d2 （n1）d1B1b11d B2b2b11d12d Bn1d1ndn（）AnBn，當(dāng)n7時證明：當(dāng)n7時，2358An Bn7，AnBn設(shè)當(dāng)nk時，AnBn，則當(dāng)nk1時，又Ak+1且AkBk Ak1kAk1Bk1又k8，9，10 Ak1Bk10，綜上所述，AnBn成立.（3）（）解：由題設(shè)得a3a410，且a3、a4均為非負(fù)整數(shù)，所以a3的可能的值為1，2，5，10若a31，則a410，a5，與題設(shè)矛盾若a35，則a42，a5，與題設(shè)矛盾若a310，則a41，a560，a6，與題設(shè)矛盾.所以a32.（）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n3，a3a12，等式成立；假設(shè)當(dāng)nk（k3）時等式成立，即akak22,由題設(shè)ak1ak（ak12）（ak22），因為akak220，所以ak1ak12，也就是說，當(dāng)nk1時，等式ak1ak12成立；根據(jù)和，對于所有n3，有an+1=an1+2。（）解：由a2k1a2（k1）12，a10，及a2ka2（k1）2，a23得a2k12（k1），a2k2k1，k1，2，3，即ann（1）n，n1，2，3，。所以Sn點評：本小題主要考查數(shù)列與等差數(shù)列前n項和等基礎(chǔ)知識，以及準(zhǔn)確表述，分析和解決問題的能力。題型5：等比數(shù)列的性質(zhì)例9（1）（xx江蘇3）在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項a13，前三項和為21，則a3a4a5（ ）（A）33 （B）72 （C）84 （D）189（2）（xx上海，12）在等差數(shù)列an中，若a100，則有等式a1+a2+an=a1+a2+a19n（n19，nN成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列bn中，若b91，則有等式 成立。解析：（1）答案：C；解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>0)，由題意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0，求得q=2(q=3舍去)，所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故選C。（2）答案：b1b2bnb1b2b17n（n17，nN*）；解：在等差數(shù)列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，所以a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1，又a1a19，a2a18，a19nan1a1a2ana19a18an1a1a2a19n，若a90，同理可得a1a2ana1a2a17n，相應(yīng)地等比數(shù)列bn中，則可得：b1b2bnb1b2b17n（n17，nN*）。點評：本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)概念及其有關(guān)計算能力。例10（1）設(shè)首項為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項和為80，前2n項和為6560，且前n項中數(shù)值最大的項為54，求此數(shù)列的首項和公比q。（2）在和之間插入n個正數(shù)，使這個數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的n個數(shù)之積。（3）設(shè)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，項數(shù)是偶數(shù)，它的所有項的和等于偶數(shù)項和的4倍，且第二項與第四項的積是第3項與第4項和的9倍，問數(shù)列l(wèi)gan的前多少項和最大？(lg2=0 3,lg3=0.4)解析：（1）設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，依題意設(shè)：a10，Sn=80 ，S2n=6560。 S2n2Sn ，q1；從而 =80，且=6560。兩式相除得1+qn=82 ，即qn=81。a1=q10 即q1,從而等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，故前n項中數(shù)值最大的項為第n項。a1qn-1=54,從而(q1)qn-1=qn-qn-1=54。qn-1=8154=27 q=3。a1=q1=2故此數(shù)列的首為2，公比為3。（2）解法1：設(shè)插入的n個數(shù)為，且公比為q，則。解法2：設(shè)插入的n個數(shù)為，。（3）解法一 設(shè)公比為q,項數(shù)為2m,mN*，依題意有：，化簡得，設(shè)數(shù)列l(wèi)gan前n項和為Sn，則Sn=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1nq1+2+(n1)=nlga1+n(n1)lgq=n(2lg2+lg3)n(n1)lg3=()n2+(2lg2+lg3)n可見，當(dāng)n=時，Sn最大，而=5,故lgan的前5項和最大，解法二 接前，,于是lgan=lg108()n1=lg108+(n1)lg，數(shù)列l(wèi)gan是以lg108為首項，以lg為公差的等差數(shù)列，令lgan0，得2lg2(n4)lg30，n=5.5，由于nN*,可見數(shù)列l(wèi)gan的前5項和最大。點評：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較繁；第二種解法利用等比數(shù)列的性質(zhì)，與“首末項等距”的兩項積相等，這在解題中常用到。題型6：等差、等比綜合問題例11（xx年廣東卷）已知公比為的無窮等比數(shù)列各項的和為9，無窮等比數(shù)列各項的和為。()求數(shù)列的首項和公比；()對給定的，設(shè)是首項為，公差為的等差數(shù)列求數(shù)列的前10項之和。解析：()依題意可知：，()由()知,，所以數(shù)列的的首項為,公差，,即數(shù)列的前10項之和為155。點評：對于出現(xiàn)等差、等比數(shù)列的綜合問題，一定要區(qū)分開各自的公式，不要混淆。五思維總結(jié)1等比數(shù)列的知識要點（可類比等差數(shù)列學(xué)習(xí)）（1）掌握等比數(shù)列定義q（常數(shù)）（nN），同樣是證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù)，也可由anan2來判斷；（2）等比數(shù)列的通項公式為ana1qn1；（3）對于G 是a、b 的等差中項，則G2ab，G；（4）特別要注意等比數(shù)列前n 項和公式應(yīng)分為q1與q1兩類，當(dāng)q1時，Snna1，當(dāng)q1時，Sn，Sn。2等比數(shù)列的判定方法定義法：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列；等比中項：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列。3等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項，是等差數(shù)列的第項，且，公比為，則有；對于等比數(shù)列，若，則，也就是：，如圖所示：。若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項的和，那么，成等比數(shù)列。如下圖所示：