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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第37講 空間夾角和距離教案 新人教版 一．課標要求： 1．能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角和距離； 2．能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。 二．命題走向 空間的夾角和距離問題是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對本講的考察主要有以下情況：（1）空間的夾角；（2）空間的距離；（3）空間向量在求夾角和距離中的應(yīng)用。 預(yù)測xx年高考對本講內(nèi)容的考察將側(cè)重空間向量的應(yīng)用求夾角、求距離。課本淡化了利用空間關(guān)系找角、求距離這方面內(nèi)容的講解，而是加大了向量在這方面內(nèi)容應(yīng)用的講解，因此作為立體幾何的解答題，用向量方法處理有關(guān)夾角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度。 題型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考察。 三．要點精講 1．空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。 （1）異面直線所成的角的范圍是。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決。 具體步驟如下： ①利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選擇在特殊的位置上； ②證明作出的角即為所求的角； ③利用三角形來求角。 （2）直線與平面所成的角的范圍是。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。 D B A C 具體步驟如下： ①找過斜線上一點與平面垂直的直線； ②連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角； ③把該角置于三角形中計算。 注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若θ為線面角，α為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有； （3）確定點的射影位置有以下幾種方法： ①斜線上任意一點在平面上的射影必在斜線在平面的射影上； ②如果一個角所在的平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線上；如果一條直線與一個角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個角的平分線上； ③兩個平面相互垂直，一個平面上的點在另一個平面上的射影一定落在這兩個平面的交線上； ④利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點在底面上的射影的位置： a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果頂點到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)； c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對棱互相垂直，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的垂心； （4）二面角的范圍在課本中沒有給出，一般是指，解題時要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法 ①棱上一點雙垂線法：在棱上任取一點，過這點在兩個平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角； ②面上一點三垂線法：自二面角的一個面上一點向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即垂足），斜足與面上一點連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角； ③空間一點垂面法：自空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。 斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：(為原斜面面積,為射影面積,為斜面與射影所成二面角的平面角)這個公式對于斜面為三角形,任意多邊形都成立.是求二面角的好方法.當(dāng)作二面角的平面角有困難時,如果能找得斜面面積的射影面積,可直接應(yīng)用公式,求出二面角的大小。 2．空間的距離 （1）點到直線的距離：點Ｐ到直線的距離為點Ｐ到直線的垂線段的長，常先找或作直線所在平面的垂線，得垂足為Ａ，過Ａ作的垂線，垂足為Ｂ連ＰＢ，則由三垂線定理可得線段ＰＢ即為點Ｐ到直線的距離。在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的長即可。 點到平面的距離：點Ｐ到平面的距離為點Ｐ到平面的垂線段的長．常用求法①作出點Ｐ到平面的垂線后求出垂線段的長；②轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線上兩點Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距離ＡＢ，ＡＣ的比為，則點Ａ，Ｂ到平面的距離之比也為．特別地，ＡＢ＝ＡＣ時，點Ａ，Ｂ到平面的距離相等；③體積法 （2）異面直線間的距離：異面直線間的距離為間的公垂線段的長．常有求法①先證線段ＡＢ為異面直線的公垂線段，然后求出ＡＢ的長即可．②找或作出過且與平行的平面，則直線到平面的距離就是異面直線間的距離．③找或作出分別過且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離．④根據(jù)異面直線間的距離公式求距離。 （3）直線到平面的距離：只存在于直線和平面平行之間．為直線上任意一點到平面間的距離。 （4）平面與平面間的距離：只存在于兩個平行平面之間．為一個平面上任意一點到另一個平面的距離。 以上所說的所有距離：點線距，點面距，線線距，線面距，面面距都是對應(yīng)圖形上兩點間的最短距離。所以均可以用求函數(shù)的最小值法求各距離。 3．空間向量的應(yīng)用 a b E F （1）用法向量求異面直線間的距離 如右圖所示，a、b是兩異面直線，是a和b 的法向量，點E∈a，F(xiàn)∈b，則異面直線 a與b之間的距離是 ； A B C α （2）用法向量求點到平面的距離 如右圖所示，已知AB是平面α的 一條斜線，為平面α的法向量，則 A到平面α的距離為； （3）用法向量求直線到平面間的距離 首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問題轉(zhuǎn)化成直線上一點到平面的距離問題。 （4）用法向量求兩平行平面間的距離 首先必須確定兩個平面是否平行，這時可以在一個平面上任取一點，將兩平面間的距離問題轉(zhuǎn)化成點到平面的距離問題。 （5）用法向量求二面角 α β 如圖，有兩個平面α與β，分別作這兩個平面的法向量與，則平面α與β所成的角跟法向量與所成的角相等或互補，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。 （6）法向量求直線與平面所成的角 要求直線a與平面α所成的角θ，先求這個平面α的法向量與直線a的夾角的余弦，易知θ=或者。 四．典例解析 題型1：異面直線所成的角 例1．（1）直三棱住A1B1C1—ABC，∠BCA=，點D1、F1 分別是A1B1、A1C1的中點，BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（ ） （A ） （B） （C） （D） （2）（06四川）已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為（ ） （A） （B） （C） （D） 解析：（1）連結(jié)D1F1，則D1F1， ∵BC ∴D1F1 設(shè)點E為BC中點，∴D1F1BE，∴BD1∥EF1，∴∠EF1A或其補角即為BD1與AF1所成的角。由余弦定理可求得。故選A。 （2）二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為兩條直線所成的角，∴ θ=，選B。 點評：通過平移將異面直線的夾角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的兩條相交直線的夾角。 A1 B1 C1 D1 A B C D E x y z 例2．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點E為棱AB的中點。 求：D1E與平面BC1D所成角的大小（用余弦值表示） 解析：建立坐標系如圖， 則、，， ，，，，， ，，。 不難證明為平面BC1D的法向量， ∵ 。 ∴ D1E與平面BC1D所成的角的余弦值為。 點評：將異面直線間的夾角轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角。 題型2：直線與平面所成的角 例3．PA、PB、PC是從P點出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 解：構(gòu)造正方體如圖所示，過點C作CO⊥平面PAB，垂足為O，則O為正ΔABPD 的中心，于是∠CPO為PC與平面PAB所成的角。設(shè)PC=a，則PO=，故，即選C。 思維點撥：第（2）題也可利用公式直接求得。 例2．（03年高考試題）如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90，側(cè)棱AA1＝2，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B與平面ABD所成角的大小（結(jié)果用余弦值表示）； G DD A1 C1 B1 C B K x y z A E 解析：如圖所示，建立坐標系，坐標原點為C，設(shè)CA＝2a，則A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)， G() ， ∵ ， ， ， ∴ a＝1，， ∵ 為平面ABD的法向量，且。 ∴ A1B與平面ABD所成角的余弦值是。 點評：先處理平面的法向量，再求直線的方向向量與法向量夾角間的夾角轉(zhuǎn)化為線面角。 題型3：二面角 E F O 例5．在四棱錐P－ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，E為BC中點。 （1）求平面PDE與平面PAB所成二面角的大?。ㄓ谜兄当硎荆?； （2）求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。 解析：（1）延長AB、DE交于點F，則PF為平面PDE與平面PAD所成二面角的棱，∵PA⊥平面ABCD，∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A， 過A作AO⊥PF于O，連結(jié)OD，則∠AOD即為平面PDE與平面PAD所成二面角的平面角。易得，故平面PDE與平PAD所成二面角的正切值為； （2）解法1（面積法）如圖∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A， ∴DA⊥平面BPA于A, 同時，BC⊥平面BPA于B， ∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影, 設(shè)平面PBA與平面PDC所成二面角大小為θ,　cosθ=S△PAB/S△PCD=/2 θ=450。 即平面BAP與平面PDC所成的二面角的大小為45。　　 解法2（補形化為定義法） 如圖：將四棱錐P-ABCD補形得正方體ABCD－PQMN，則PQ⊥PA、PD，于是∠APD是兩面所成二面角的平面角。 在Rt△PAD中，PA=AD，則∠APD=45。即平面BAP與平面PDC所成二面角的大小為45。 例6．（1）（xx年，北京卷高考題）如圖6，正三棱柱的底面邊長為3，側(cè)棱，D是CB延長線上一點，且。求二面角的大小。（略去了該題的①，③問） （2）（06四川卷）已知球的半徑是1，、、三點都在球面上，、兩點和、兩點的球面距離都是，、兩點的球面距離是，則二面角的大小是（ ） （A） （B） （C） （D） 解析：（1）取BC的中點O，連AO。 由題意：平面平面，，∴平面， 以O(shè)為原點，建立如圖6所示空間直角坐標系， 則 ，，，， ∴ ， ， ， 由題意 平面ABD， ∴ 為平面ABD的法向量。 設(shè) 平面的法向量為 ， 則， ∴ ， ∴ ， 即 ?！?不妨設(shè) ， 由， 得。 故所求二面角的大小為。 評析：（1）用法向量的方法處理二面角的問題時，將傳統(tǒng)求二面角問題時的三步曲：“找——證——求”直接簡化成了一步曲：“計算”，這表面似乎談化了學(xué)生的空間想象能力，但實質(zhì)不然，向量法對學(xué)生的空間想象能力要求更高，也更加注重對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神； （2）此法在處理二面角問題時，可能會遇到二面角的具體大小問題，如本題中若取時，會算得，從而所求二面角為，但依題意只為。因為二面角的大小有時為銳角、直角，有時也為鈍角。所以在計算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計算取“相等角”或取“補角”。 （2）解析：球的半徑是R=，三點都在球面上，兩點和兩點的球面距離都是，則∠AOB，∠AOC都等于，AB=AC，兩點的球面距離是，∠BOC=，BC=1，過B做BD⊥AO，垂足為D，連接CD，則CD⊥AD，則∠BDC是二面角的平面角，BD=CD=，∴∠BDC=，二面角的大小是，選C。 題型4：異面直線間的距離 例7．如圖，已知正方體ＡＢＣＤ－棱長為， 求異面直線ＢＤ與Ｃ的距離． Ｍ Ｏ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｆ Ｅ 解法一：連結(jié)ＡＣ交ＢＤ的中點Ｏ，取的中點Ｍ，連結(jié)ＢＭ交于Ｅ，連，則，過Ｅ作ＥＦ／／ＯＭ交ＯＢ于Ｆ，則。 又斜線的射影為ＡＣ，ＢＤＡＣ，。 同理，為ＢＤ與的公垂線，由于Ｍ為的中點，∽，。 ，ＥＦ／／ＯＭ，，故ＯＢ＝，． 解法二．（轉(zhuǎn)化為線面距） 因為ＢＤ／／平面，平面，故ＢＤ與的距離就是ＢＤ到平面的距離。 由，即，得． 解法三．（轉(zhuǎn)化為面面距）易證平面／／平面，用等體積法易得Ａ到平面的距離為。 同理可知：到平面的距離為，而，故兩平面間距離為． M N Ａ Ｂ Ｃ Ｄ E Ａ Ｂ Ｃ Ｄ O 解法四．（垂面法）如圖，ＢＤ／／平面，，平面，平面平面＝，，故O到平面的距離為斜邊上的高。 解法五。（函數(shù)最小值法）如圖，在上取一點M，作MEBC于E，過E作ENBD交BD于N，易知MN為BD與的公垂線時，MN最小。 設(shè)BE=，CE=ME=，EN=， MN====。 當(dāng)時，時，。 A B C D O S 圖2 例8．如圖2，正四棱錐的高，底邊長。求異面直線和之間的距離？ 分析：建立如圖所示的直角坐標系，則 ， ， ，， 。 ，。 令向量，且， 則，，， ，。 異面直線和之間的距離為： 。 題型5：點面距離 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｇ ＥＥ Ｅ ＦＥ Ｏ Ｈ 例9．如圖，已知ＡＢＣＤ為邊長是４的正方形，Ｅ，Ｆ分別是ＡＢ，ＡＤ的中點，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在的平面，且ＧＣ＝２，求點Ｂ到平面ＥＦＧ的距離。 解法一：連結(jié)ＢＦ，ＢＧ，， 又Ｅ，Ｆ分別是ＡＢ，ＡＤ的中點， 。 ，， ， ． 解法二．Ｅ，Ｆ分別是ＡＢ，ＡＤ的中點，ＥＦ／／ＢＤ，Ｂ到平面ＧＥＦ的距離為ＢＤ上任一點到平面ＧＥＦ的距離，ＢＤＡＣ于Ｏ，ＥＦ／／ＢＤ， 又ＧＣ平面ＡＢＣＤ，ＥＦ平面ＡＢＣＤ，ＥＦＧＣ，ＥＦ平面ＧＥＦ，平面ＧＥＦ平面ＧＣＨ，過Ｏ點作ＨＧ，則平面ＧＥＦ，為Ｏ到平面ＧＣＨ的距離，即Ｂ到平面ＧＥＦ的距離。 由解法一知：，由∽得 。 思維點拔：注意點距，線面距，面面距的轉(zhuǎn)化，利用平面互相垂直作距離也是一種常用的方法。 例10．（1）（06安徽）多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在的同側(cè)，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能是：______（寫出所有正確結(jié)論的編號） ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 （2）平行四邊形的一個頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在的同側(cè)，已知其中有兩個頂點到的距離分別為1和2 ，那么剩下的一個頂點到平面的距離可能是：①1； ②2； ③3； ④4； 以上結(jié)論正確的為______________。（寫出所有正確結(jié)論的編號） A B C D A1 解析：（1）如圖，B、D、A1到平面的距離分別為1、2、4，則D、A1的中點到平面的距離為3，所以D1到平面的距離為6；B、A1的中點到平面的距離為，所以B1到平面的距離為5；則D、B的中點到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；C、A1的中點到平面的距離為，所以C1到平面的距離為7；而P為C、C1、B1、D1中的一點，所以選①③④⑤。 （2）如圖，B、D到平面的距離為1、2，則D、B的中點到平面的距離為，所以C到平面的距離為3； B、C到平面的距離為1、2，D到平面的距離為，則，即，所以D到平面的距離為1； C、D到平面的距離為1、2，同理可得B到平面的距離為1；所以選①③。 題型6：線面距離 B A C D 例11．已知正三棱柱的底面邊長為8，對角線，D是AC的中點。（1）求點到直線AC的距離。（2）求直線到平面的距離。 解析：（1）連結(jié)BD，，由三垂線定理可得： ，所以就是點到直線AC的距離。 在中． 。 （2）因為AC與平面BD交于ＡＣ的中點Ｄ，設(shè)，則//DE，所以//平面，所以到平面BD的距離等于Ａ點到平面BD的距離，等于Ｃ點到平面BD的距離，也就等于三棱錐的高。 ，，所以，直線到平面BD的距離是。 思維點拔：求空間距離多用轉(zhuǎn)化的思想。 例12．A C B P E F 圖7 如圖7，已知邊長為的正三角形中，、分別為和的中點，面，且，設(shè)平面過且與平行。 求與平面間的距離？ 分析：設(shè)、、的單位向量分別為、、，選取{，，}作為空間向量的一組基底。 易知， ===， 設(shè)是平面的一個法向量，則 ， ，即， 直線與平面間的距離= 五．思維總結(jié) 1．這些角是對點、直線、平面所組成空間圖形的位置進行定性分析和定量計算的重要組成部分，學(xué)習(xí)時要深刻理解它們的含義，并能綜合應(yīng)用空間各種角的概念和平面幾何知識（特別是余弦定理）熟練解題。特別注意:空間各種角的計算都要轉(zhuǎn)化為同一平面上來，這里要特別注意平面角的探求； 2．把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從解決平面問題而使空間問題得以解決。求角的三個基本步驟：“作”、“證”、“算”。 3．求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點： ①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置； ②作線面角的方法除平移外，補形也是常用的方法之一；求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理； ③求二面角高考中每年必考，復(fù)習(xí)時必須高度重視.二面角的平角的常用作法有三種： 根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線定理（或其逆定理）作，難點在于找到面的垂線。解決辦法，先找面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可找到面的垂線；作棱的垂面。 作二面角的平面角應(yīng)把握先找后作的原則。此外在解答題中一般不用公式“cosθ＝”求二面角否則要適當(dāng)扣分。 ④求點到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點在面內(nèi)的射影，此時常考慮面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì)。而間接法中常用的是等積法及轉(zhuǎn)移法； ⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個三角形中，通過解三角形最終求得所需的角與距離。 4．注意數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想的運用 （1）常用等角定理或平行移動直線及平面的方法轉(zhuǎn)化所求角的位置； （2）常用平行線間、平行線面間或平行平面間距離相等為依據(jù)轉(zhuǎn)化所求距離的位置； （3）常用割補法或等積（等面積或等體積）變換解決有關(guān)距離及體積問題。