2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.6 3微積分學(xué)基本定理定積分計(jì)算教案 新人教A版選修2-2 教學(xué)目的與要求： 1. 理解并掌握微積分基本定理的內(nèi)容及意義. 具有應(yīng)用微積分基本定理證明定積分有關(guān)問題的能力. 2. 熟練應(yīng)用積分第二中值定理證明定積分有關(guān)問題. 教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)： 1. 微積分基本定理的內(nèi)容及意義. 應(yīng)用微積分基本定理證明定積分有關(guān)問題的能力. 2. 應(yīng)用積分第二中值定理證明定積分有關(guān)問題. 教學(xué)內(nèi)容： 當(dāng)函數(shù)的可積性問題告一段落,并對(duì)定積分的性質(zhì)有了足夠的認(rèn)識(shí)之后,接著要來解決一個(gè)以前多次提到過的問題——在定積分形式下證明連續(xù)函數(shù)必定存在原函數(shù). 一 變限積分與原函數(shù)的存在性 設(shè)f在[a,b]上可積,根據(jù)定積分的性質(zhì)4,對(duì)任何x∈(a,b), f在[a, x]上也可積.于是,由 (1) 定義了一個(gè)以積分上限x為自變量的函數(shù),稱為變上限的定積分.類似地,又可定義變下限的定積分: (2) 與ψ統(tǒng)稱為變限積分. 注：在變限積分(1)與(2)中,不可再把積分變量寫成x(例如)以免與積分上、下限的x相混淆. 變限積分所定義的函數(shù)有著重要的性質(zhì).由于 因此下面只討論變上限積分的情形. 定理9.9 若f在[a,b]上可積,則由(1)式所定義的函數(shù)在[a,b]上連續(xù). 證 對(duì)[a,b]上任一確定的點(diǎn)x,只要x+△x∈[a,b],按定義式(1)有 因f在[a,b]上有界,可設(shè)于是,當(dāng)△x＞0時(shí)有 當(dāng)△x＜0時(shí)則有由此得到 即證得在點(diǎn)x連續(xù).由x的任意性, 在[a,b]上處處連續(xù). □ 定理9.10 (原函數(shù)存在定理) 若f在[a,b]上連續(xù),則由(1)式所定義的函數(shù)在[a,b]上處處可導(dǎo),且 (3) 證 對(duì)[a,b]上任一確定的x,當(dāng)△x≠0且x+△x∈[a,b]時(shí),按定義式(1)和積分第一中值定理,有 由于f在點(diǎn)x連續(xù),故有 由x在[a,b]上的任意性,證得是f在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù). □ 注 本定理溝通了導(dǎo)數(shù)和定積分這兩個(gè)從表面看去似不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系;同時(shí)也證明了“連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)”這一基本結(jié)論,并以積分形式(1)給出了f的一個(gè)原函數(shù),正因?yàn)槎ɡ?.10的重要作用而被譽(yù)為微積分學(xué)基本定理. 且可用它可以給出牛頓-萊布尼茨公式的另一證明。 因f的任意兩個(gè)原函數(shù)只能相差一個(gè)常數(shù),所以當(dāng)f為連續(xù)函數(shù)時(shí),它的任一函數(shù)F必滿足 若在此式中令x=a,,得到C=F(a),從而有 再令x= b,即得 (4) 這是牛頓一菜布尼茨公式的又一證明.比照定理9.1,現(xiàn)在只需假設(shè)被積函數(shù)f為連續(xù)函數(shù),其原函數(shù)F 的存在性已為定理9.10所保證,無需另作假設(shè). 利用變限積分又能證明下述積分第二中值定理. 定理9.11 (積分第二中值定理) 設(shè)函數(shù)f在[a,b]上可積. (i)若函數(shù)g在[a,b]上減,且g(x)≥0,則存在ξ∈[a,b]使得 (5) (ii)若函數(shù)g在[a,b]上增,且g(x)≥0,則存在,使得 (6) 證 下面只證(i),類似地可證(ii).設(shè) 由于f在[a,b]上可積,因此F在[a,b]上連續(xù),從而存在最大值M和最小值m. 若g(a)=0,由假設(shè),此時(shí)對(duì)任何式恒成立.下面設(shè)g(a)＞0,這時(shí)(5)式即為 (5’) 所以問題轉(zhuǎn)化為只須證明 (7) 因?yàn)橛纱丝山柚鶩的介值性立刻證得(5’).當(dāng)然(7)式又等同于 (7’) 下面就來證明這個(gè)不等式. 由條件f有界,設(shè)而g必為可積,從而對(duì)任給的ε＞0,必有分割T:a=x0＜x1＜…＜xn=b,使 現(xiàn)把按積分區(qū)間可加性寫成 對(duì)于I1,必有 對(duì)于,由于F(x0)=F(a)=0, 和 可得 再由于是利用I=1,2,…,n估計(jì)得 I2. 同理由F(xi)≥m,i=1,2,…,n又有I2≥mg(a). 綜合得到 由ε為任意小正數(shù),這便證得 即不等式（7’）成立，隨之有（7），（5’）和（5）式成立。 □ 推論 設(shè)函數(shù)f在[a,b]上可積。若g為單調(diào)函數(shù)，則存在ξ∈[a,b]，使得 （8） 證 若g為單調(diào)遞減函數(shù)，令h(x)=g(x)-g(b),則 h為非負(fù)、遞減函數(shù)。由定理9.11(ⅰ),存在 ，使得 =由于 因此證得 若g為單調(diào)遞增函數(shù)，只須令h(x)=g(x)-g(a),并由定理9.11(ii)和(6),同樣可證得(8)式成立.□ 注 積分第二中值定理以及它的推論是今后建立反常積分收斂判別法的工具. 二 換元積分法與分部積分法 對(duì)原函數(shù)的存在性有了正確的認(rèn)識(shí),就能順利地把不定積分的換元積分法和分部積分法移植到定積分計(jì)算中來. 定理9.12 (定積分換元積分法) 若函數(shù)f在[a,b]上連續(xù), 則有定積分換元公式: (9) 證 由于(9)式兩邊的被積分函數(shù)都是連續(xù)函數(shù),因此它們的原函數(shù)都存在.設(shè)F是f在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù),由復(fù)合函數(shù)微分法 可見F是的一個(gè)原函數(shù).根據(jù)牛頓一菜布尼茨公式,證得 =F □ 注1從以上證明看到,在用換元法計(jì)算定積分時(shí),一旦得到了用新變量表示的原函數(shù)后,不作變量還原,而只要用新的積分限代入并求其差值就可以了.這就是定積分換元積分法與不定積分法的區(qū)別,這一區(qū)別的原因在于不定積分所求的是被積函數(shù)的原函數(shù),理應(yīng)保留與原來相同的自變量;而定積分的計(jì) 算結(jié)果是一確定的數(shù),如果(9)式一邊的定積分計(jì)算出來了,那么另一邊的定積分自然也求得了. 注2 如果在定理9.12的條件中只假定f為可積函數(shù),但還要求是單調(diào)的,那么(9)式仍然成立.(本節(jié)習(xí)題第14題.) 例1 計(jì)算 解 令應(yīng)用公式(9),并注意到在第一象限中cos t≥0,則有 = 例2 計(jì)算 解 逆向使用公式(9),令 □ 例3 計(jì)算J 解 令得到 對(duì)最末第二個(gè)定積分作變換有 它與上面第三個(gè)定積分相消.故得 J= □ 事實(shí)上,例3中的被積函數(shù)的原函數(shù)雖然存在,但難以用初等函數(shù)來表示,因此無法直接使用牛頓一菜布尼茨公式.可是像上面那樣,利用定積分的性質(zhì)和換元公式(9),消去了其中無法求出原函數(shù)的部分,最終得出這個(gè)積分的值. 換元積分法還可用來證明一些特殊的積分性質(zhì),如本節(jié)習(xí)題中的第5,6,7等題. 定理9.13 (定積分分部積分法) 若為[a,b]上的連續(xù)可微函數(shù),則有定積分分部積分公式: (10) 證 因?yàn)棣苔褪?在[a,b]上的一原函數(shù),所以有 移項(xiàng)后即為(10)式. □ 為方便起見,公式(10)允許寫成 (10’) 例3 計(jì)算 解 □ 例5 計(jì)算 解 當(dāng)n≥2時(shí),用分部積分求得 Jn= . 移項(xiàng)整理后得到遞推公式: . (11) 由于 重復(fù)應(yīng)用遞推式(11)便得 (12) 令可得 因而這兩個(gè)定積分是等值的。 □ 由例5結(jié)論（12）可導(dǎo)出著名的沃利斯（Wallis）公式： （13） 事實(shí)上，由 把（12）代入，得到 由此又得 因?yàn)? 所以故得 （即（13）式）。 沃利斯公式（13）揭示了π與整數(shù)之間的一種很不尋常的關(guān)系。 三 泰勒公式的積分型余項(xiàng) 若在[a,b]上u(x)、v(x)有n+1階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則有 （14） 這是推廣的分部積分公式，讀者不難用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。下面應(yīng)用公式（14）導(dǎo)出泰勒公式的積分型余項(xiàng)。 設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x0的某一領(lǐng)域U(x0)內(nèi)有n+1階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)。令 利用（14）式得 =， 其中Rn(x)即為泰勒公式的n階余項(xiàng)。由此求得 （15） 這就是泰勒公式的積分型余項(xiàng). 由于f（n+1）（t）連續(xù)，（x-t）n在[x0,x]( [x, x0])上保持同號(hào)，因此由推廣的積分第一中值定理，可將（15）式寫作 =， 其中這就是以前所熟悉的拉格朗日型余項(xiàng)。 如果直接用積分第一中值定理于（15），則得 由于 因此又進(jìn)一步把 改寫為 （16） 特別當(dāng)x0=0時(shí)又有 。 （17） 公式（16）、（17）稱為泰勒公式的柯西型余項(xiàng)。 注: 各種形式的泰勒公式余項(xiàng)，將在第十四章里顯示它們的功用. 課后作業(yè)題：4. 1) 3) 5) 7) 9) 11) 5. 2) 6. 7.