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2019-2020年高中數(shù)學第一輪總復習 第十章10.5 二項式定理教案 新人教A版 鞏固夯實基礎 一、自主梳理 1.二項式定理 (a+b)n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Crnan-rbr+…+Cn-1nabn-1+Cnnbn. 2.通項公式 Tr+1=Crnan-rbr(r=0,1,2,…,n). 3.展開式的特點:項數(shù)(共有n+1項);系數(shù)(第r+1項的二項式系數(shù)為Crn);指數(shù)(每一項a、b的指數(shù)之和都等于n;a的指數(shù)從n開始依次減1,直到0為止;b的指數(shù)從0開始依次加1,直到n為止). 4.Crn=Cn-rn,Cmn+Cm-1n=Cmn+1,C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n,C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=2n-1. 5.若n是偶數(shù),則中間項第+1項的二項式系數(shù)最大;若n是奇數(shù),則中間兩項第項和第+1項的二項式系數(shù)最大. 二、點擊雙基 1.(+)12的展開式中,含x的正整數(shù)次冪的項共有( ) A.4項 B.3項 C.2項 D.1項 解析:設第r+1項含x的正整數(shù)次冪, ∴Tr+1=Cr12()12-r()r=Cr12,其中0≤r≤12.要使6-r為正整數(shù),必須使r為6的倍數(shù). ∴r=0,6,12. 答案:B 2.在(x-1)(x+1)8的展開式中x5的系數(shù)是( ) A.-14 B.14 C.-28 D.28 解析:由題意知先求出(x+1)8展開式中x4、x5的系數(shù)分別為C48=70,C58=C38=56,注意第一個因式為(x-1),則題中x5的系數(shù)為70-56=14. 答案:B 3.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展開式中,含x3的項的系數(shù)是( ) A.74 B.121 C.-74 D.-121 解析:x3項的系數(shù)為-(C35+C36+C37+C38)=-121. 答案:D 4. (2-)6展開式中的常數(shù)項是______________.(用數(shù)字作答) 解析:設r+1項為常數(shù)項,則Tr+1=Cr6(2)6-r(-x-1)r=Cr626-r(-1)r. 令3-r=0,r=2. ∴常數(shù)項為C2624(-1)2=240. 答案:240 5.在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6展開式中,x2項的系數(shù)是____________________.(用數(shù)字作答) 解析:由題意知有C22+C23+C24+C25+C26=C33+C23+C24+C25+C26=C37==35. 答案:35 誘思實例點撥 【例1】 在(-)8的展開式中常數(shù)項是( ) A.-28 B.-7 C.7 D.28 剖析:利用二項展開式的通項公式,令x的指數(shù)為0,求得r的值. 解:Tr+1=(-1)rCr8()8-r=(-1)rCr82r-8令8-r=0,得r=6. ∴T7=T6+1=C6826-8=C282-2=7. 答案:C 講評:求指定項(常數(shù)項、中間項、最大項、有理項等)的關鍵在于通項變形,列出條件關系式, 像本題在(-)8的展開式中,a=,b=-,通項公式為 Tr+1=Cr8()8-r(-)r,r=0,1,2,…,8.對通項變形、整理為關于x的單項式,從而求解. 【例2】在(x2+3x+2)5的展開式中,x的系數(shù)是…( ) A.160 B.240 C.360 D.800 剖析:將三項式轉(zhuǎn)化為二項式求解,有兩條途徑: (1)x2+3x+2=(x2+3x)+2; (2)(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5. 解:(x2+3x+2)5=［(x2+3x)+2］5,通項為Ck5(x2+3x)5-k2k(0≤k≤5). 該通項的通項為Ck52kCr5-k3rx10-2k-r(0≤r≤5-k). 令10-2k-r=1,即2k+r=9. ∴r=1,k=4. ∴x的系數(shù)為C45243=240. 答案:B 講評:此解法是把三項式轉(zhuǎn)化為二項式求解,這是處理非二項式的一般方法. 鏈接提示 此題也可以從以下兩個角度來思考: 1.也可把三項式轉(zhuǎn)化為兩個二項式乘積來求解:(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,其x的系數(shù)為C4514C5525+C5515C4524. 2.(x2+3x+2)5是五個三項式相乘,從其中1個三項式中取3x,從另外4個三項式中取常數(shù)項,相乘即得x的一次項. 【例3】設(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,求: (1)a0+a1+a2+a3+a4; (2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|; (3)a1+a3+a5; (4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2. 剖析:(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5為關于x的恒等式,求系數(shù)和的問題可用賦值法解決. 解:設f(x)=(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,則f(1)=a0+a1+a2+…+a5=1, f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-3)5=-243. (1)∵a5=25=32, ∴a0+a1+a2+a3+a4=f(1)-32=-31. (2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5=-f(-1)=243. (3)∵f(1)-f(-1)=2(a1+a3+a5), ∴a1+a3+a5==122. (4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 =(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0-a1+a2-a3+a4-a5)=f(1)f(-1)=243. 講評:本題是關于二項展開式各項系數(shù)的常見問題,應掌握f(1)及f(-1)的含義,其中借助f(1)求各項系數(shù)之和是最常用的辦法.