2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1函數(shù)（備課資料） 大綱人教版必修因?yàn)楹瘮?shù)是現(xiàn)實(shí)世界對(duì)應(yīng)關(guān)系的抽象或者說是對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，它重要而且基本，不僅是數(shù)學(xué)研究的重要對(duì)象，也是數(shù)學(xué)中常用的一種數(shù)學(xué)思想，所以全面正確深刻理解函數(shù)概念則是我們教學(xué)的關(guān)鍵.其中函數(shù)的定義域是研究函數(shù)及應(yīng)用函數(shù)解決問題的基礎(chǔ)，即處理函數(shù)問題必須樹立“定義域優(yōu)先”這種數(shù)學(xué)意識(shí).熟練準(zhǔn)確地寫出函數(shù)表達(dá)式是對(duì)函數(shù)概念理解充分體現(xiàn).下面，針對(duì)函數(shù)的定義域及函數(shù)解析式做進(jìn)一步探討.一、函數(shù)的定義域例1求下列函數(shù)的定義域(1)yx21(2)y(3)y(4)y2(5)y(6)y(7)y（a為常數(shù))分析：當(dāng)函數(shù)是用解析法給出，并且沒有指出定義域，則使函數(shù)解析式有意義的自變量的全體所組成的集合就是函數(shù)的定義域.解：(1)xR；(2)要使函數(shù)有意義，必須使x240得原函數(shù)定義域?yàn)閤xR且x2；(3)要使函數(shù)有意義，必須使xx0，得原函數(shù)定義域?yàn)閤x0；(4)要使函數(shù)有意義，必須使得原函數(shù)的定義域?yàn)閤1x4；(5)要使函數(shù)有意義，必須使得原函數(shù)定義域?yàn)閤2x2；(6)要使函數(shù)有意義，必須使得原函數(shù)的定義域?yàn)閤x1或x0或x0；(7)要使函數(shù)有意義，必須使ax30得當(dāng)a0時(shí)，原函數(shù)定義域?yàn)閤x；當(dāng)a0時(shí)，原函數(shù)定義域?yàn)閤x；當(dāng)a0時(shí)，ax30的解集為，故原函數(shù)定義域?yàn)?。評(píng)述：(1)求函數(shù)定義域就是求使函數(shù)解析式有意義的自變量取值的集合，一般可通過解不等式或不等式組完成.(2)對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)定義域常常受參數(shù)變化范圍的制約，受制約時(shí)應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.例1中的(8)小題含有參數(shù)a，須對(duì)它分類討論.例2(1)已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?0，1)，求f（x2）的定義域.(2)已知函數(shù)f（2x1）的定義域?yàn)?0，1)，求f（x）的定義域.(3)已知函數(shù)f（x1）的定義域?yàn)?，3，求f（2x22）的定義域.分析：(1)求函數(shù)定義域就是求自變量x的取值范圍，求f（x2）的定義域就是求x的范圍，而不是求x2的范圍，這里x與x2的地位相同，所滿足的條件一樣.(2)應(yīng)由0x1確定出2x1的范圍，即為函數(shù)f（x）的定義域.(3)應(yīng)由2x3確定出x1的范圍，求出函數(shù)f（x）的定義域進(jìn)而再求f（2x22）的定義域.它是(1)與(2)的綜合應(yīng)用.解：(1)f（x）的定義域?yàn)?0，1)要使f（x2）有意義，須使0x21，即1x0或0x1函數(shù)f（x2）的定義域?yàn)閤1x0或0x1(2)f（2x1）的定義域?yàn)椋?，1），即其中的函數(shù)自變量x的取值范圍是0x1，令t2x1，1t3，f（t）的定義域?yàn)?x3 函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤1x3(3)f（x1）的定義域?yàn)?x3，2x3令tx1，1t4f（t）的定義域?yàn)?t4即f(x)的定義域?yàn)?x4，要使f（2x22）有意義，須使12x224，x或x函數(shù)f（2x22）的定義域?yàn)閤x或x注意：對(duì)于以上(2)(3)中的f（t）與f(x)其實(shí)質(zhì)是相同的.評(píng)述：(1)對(duì)于復(fù)合函數(shù)f （x）而言，如果函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，則f （x）的定義域是使得函數(shù)（x）A的x取值范圍.(2)如果f （x）的定義域?yàn)锳，則函數(shù)f(x)的定義域是函數(shù)(x)的值域.二、函數(shù)的解析式例1(1)已知f（1）x2，求f(x)的解析式.(2)已知f（x）x3，求f(x)的解析式.(3)已知函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，且滿足關(guān)系式3f（x1）2f（x1）2x17，求f(x)的解析式.分析：此題目中的“f”這種對(duì)應(yīng)法則，需要從題給條件中找出來，這就要有整體思想的應(yīng)用，即：求出f及其定義域.解：(1)設(shè)t11，則t1，x（t1）2f（t）（t1）22（t1）t21（t1）f（x）x21（x1）(2)x3（x）（x21）（x）（x）23f（x）（x）（x）23f（x）x（x23）x33x當(dāng)x0時(shí)，x2或x2，f（x）x33x（x2或x2）(3)設(shè)f（x）axb則3f（x1）2f（x1）3ax3a2b2a2baxb5a2x17a2，b7，f（x）2x7.注意：對(duì)于(1)中f（x）與f(t)本質(zhì)上一樣.評(píng)述：“換元法”“配湊法”及“待定系數(shù)法”是求函數(shù)解析式常用的方法，以上3個(gè)題目分別采用了這三種方法.值得提醒的是在求出函數(shù)解析式時(shí)一定要注明定義域.例2(1)甲地到乙地的高速公路長(zhǎng)1500公里，現(xiàn)有一輛汽車以100公里小時(shí)的速度從甲地到乙地，寫出汽車離開甲地的距離S(公里)表示成時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù).分析：從已知可知這輛汽車是勻速運(yùn)動(dòng)，所以易求得函數(shù)解析式，其定義域由甲乙兩地之間的距離來決定.解：汽車在甲乙兩地勻速行駛，S100t汽車行駛速度為100公里小時(shí)，兩地距離為1500公里，從甲地到乙地所用時(shí)間為t小時(shí)答：所求函數(shù)為：S100t t0，15(2)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食360千克，如果該鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口平均每年增長(zhǎng)1.2，糧食總產(chǎn)量平均每年增長(zhǎng)4%，那么x年后若人均一年占有y千克糧食.求出函數(shù)y關(guān)于x的解析式.分析：此題用到平均增長(zhǎng)率問題的分式，由于學(xué)生尚未學(xué)到，所以還應(yīng)推導(dǎo).解：設(shè)現(xiàn)在某鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口為A，則1年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人口數(shù)為A(11.2)，2年后的此鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口數(shù)為A（11.2）2經(jīng)過x年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口數(shù)為A(11.2)x.再設(shè)現(xiàn)在某鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為B，則1年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)的糧食產(chǎn)量為B(14),2年后的此鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為B（14）2，經(jīng)過x年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為B（14）x，因某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食為360 kg，即360，所以x年后的人均一年占有糧食為y，即y（xN*)評(píng)述：根據(jù)實(shí)際問題求函數(shù)解析式，是應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)，在設(shè)定或選定自變量后去尋求等量關(guān)系，求得函數(shù)解析式后，還要注意函數(shù)定義域要受到實(shí)際問題的限制.三、參考練習(xí)題(1)函數(shù)y的定義域是_.答案：R(2)設(shè)函數(shù)f（2x1）2x1，則函數(shù)f（x）的定義域是_.答案：（1，）(3)已知函數(shù)f（x1）2x1，求f(x)的解析式是_.答案：f（x）2x1(4)已知f（x）是一次函數(shù)，且f f（x）4x1，則f（x）的解析式是_.答案：f（x）2x或f（x）2x1備課資料一、函數(shù)的值域在函數(shù)概念的三要素中，定義域和對(duì)應(yīng)法則是最基本的，值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則所確定，因此，研究值域仍應(yīng)注重函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的作用和定義域?qū)χ涤虻闹萍s，以下試舉例說明常用方法.對(duì)函數(shù)值域的理解例題求下列函數(shù)的值域(1)y12x， （xR）(2)yx1 x2，1，0，1，2(3)yx24x3， （3x1）(4)yx1x2(5)y2x3(6)y(7)y(8)y(9)y32xx2 ， x3，1(10)y分析：求函數(shù)的值域應(yīng)確定相應(yīng)的定義域后再根據(jù)函數(shù)的具體形式及運(yùn)算確定其值域.對(duì)于(1)(2)可用“直接法”根據(jù)它們的定義域及對(duì)應(yīng)法則得到(1)(2)的值域.對(duì)于(3)(4)可借助數(shù)形結(jié)合思想利用它們的圖象得到值域，即“圖象法”.對(duì)于(5)(6)可借用整體思想，利用“換元法”求得值域.對(duì)于(7)可將其分離出一個(gè)常數(shù)，即利用“分離常數(shù)法”求得它的值域.對(duì)于(8)可通過對(duì)“”的分析，即利用“判別式法”求得其值域.對(duì)于(9)(10)可“通過中間函數(shù)的值域去求所求函數(shù)的值域”這一方法，即“中間媒介法”求得其值域.解：(1)yR(2)y1，0，1(3)畫出yx24x3（3x1）的圖象，如圖所示，當(dāng)x3，1時(shí)，得y1，8(4)對(duì)于yx1x2的理解，從幾何意義入手，即利用絕對(duì)值的幾何意義可知，x1表示在數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到點(diǎn)1的距離，x2表示在數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到點(diǎn)2的距離，在數(shù)軸上任取三個(gè)點(diǎn)xA1，1xB2，xCc，如圖所示，可以看出xA1xA233xB1xB23，xC1xC23，由此可知，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有3x1x23，所以函數(shù)yx1x2的值域?yàn)閥3，3(5)對(duì)于沒有給定自變量的函數(shù)，應(yīng)先考查函數(shù)的定義域，再求其值域.4x130 x，)令t則得：xyt2t， y（t1）23x， t0根據(jù)二次函數(shù)圖象可得y，)(6)函數(shù)定義域?yàn)閤R，由原函數(shù)可化得：y，令txR ， t(0，1，y5t2t15（t）2根據(jù)二次函數(shù)的圖象得，當(dāng)t時(shí)，ymin；當(dāng)t1時(shí)，ymax5函數(shù)的值域?yàn)閥，5(7)y，0，y函數(shù)y的值域?yàn)閥（，）（，）(8)由y得xR，且可化為：（2y1）x22（y1）x（y3）0當(dāng)y時(shí)，2（y1）24（2y1）（y3）0y23y404y1且y又當(dāng)y時(shí)，2（1）x（3）0得：x，滿足條件函數(shù)的值域?yàn)閥4，1(9)3x1，2x12x12，即（x1）24y32xx2（x1）240，4函數(shù)值域?yàn)閥0，4(10)由y可知，xR且yx22y3x21即（3y）x22y1若y3時(shí)，則有07，這是不可能的.y3得：x2 x20 0解得：y3函數(shù)值域?yàn)閥，3)評(píng)述：（1）求函數(shù)的值域是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問題，它沒有現(xiàn)成的方法可套用，要結(jié)合函數(shù)表達(dá)式的特征，以及與所學(xué)知識(shí)聯(lián)系，靈活地選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?（2）對(duì)于以上例題也可以采取不同的方法求解每一個(gè)值域，請(qǐng)讀者不妨試一試.（3）除以上介紹的方法求函數(shù)值域外，隨著學(xué)生的繼續(xù)學(xué)習(xí)，我們今后還會(huì)有“反函數(shù)”法、“單調(diào)性”法、“三角換元”法、“不等式”法及“導(dǎo)數(shù)法”等.二、參考練習(xí)題（1）已知集合Aa，b，c，d，Ba，b，c，d，對(duì)應(yīng)法則如圖示，則從A到B為映射的是（ ）答案：C（2）下列哪一個(gè)對(duì)應(yīng)是從集合P到集合S的一個(gè)映射（ ）A.P有理數(shù)，S數(shù)軸上的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)法則f：有理數(shù)數(shù)軸上的點(diǎn)B.P數(shù)軸上的點(diǎn)，S有理數(shù)，對(duì)應(yīng)法則f：數(shù)軸上的點(diǎn)有理數(shù)C.xPR，ySR，對(duì)應(yīng)法則f：xyxD.xPRR，ySR，對(duì)應(yīng)法則f：xyx2答案：A（3）在映射f：AB中，下列判斷正確的是（ ）A.A中的元素a的象可能不只一個(gè)B.A中的兩個(gè)元素a和b的象必不相同C.B中的元素a的原象可能不只一個(gè)D.B中的兩個(gè)不同元素a和b的原象可能相同答案：C（4）關(guān)于從集合A到集合B的映射，下面說法中錯(cuò)誤的是（ ）A.A中每一個(gè)元素在B中都有象B.A中的兩個(gè)不同元素在B中的象不同C.B中的元素在A中可以沒有象D.B中的某元素在A中的原象可能不止一個(gè)答案：B（5）從集合Aa，b到集合B1，2的映射共有（ ）A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)答案：C（6）集合Px0x4，Qx0x2，下列不表示從P到Q的映射的是( )A.f：xyxB.f：xyxC.f：xyxD.f：xy答案：C（7）設(shè)Ma，b，c，N1，0，1，從M到N的映射f滿足f（a）f（b）f（c），試確定這樣的映射f的個(gè)數(shù)（ ）A.1B.2C.3D.4分析：用列舉法，滿足條件f（a）f（b）f（c）的映射可列表如下：f（a）0111f（b）1100f（c）1110故符合條件的映射共有4個(gè).答案：D