2019-2020年高中數(shù)學 2.5平面向量應用舉例教學設計 新人教A版必修4【教學目標】1.通過應用舉例，讓學生會用平面向量知識解決幾何問題的兩種方法-向量法和坐標法，可以用向量知識研究物理中的相關問題的“四環(huán)節(jié)”和生活中的實際問題；2.通過本節(jié)的學習，讓學生體驗向量在解決幾何和物理問題中的工具作用，增強學生的積極主動的探究意識，培養(yǎng)創(chuàng)新精神. 【導入新課】回顧提問：（1）若O為重心,則+=.（2）水渠橫斷面是四邊形,=,且|=|,則這個四邊形為等腰梯形.類比幾何元素之間的關系,你會想到向量運算之間都有什么關系?(3)兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力.為什么？教師：本節(jié)主要研究了用向量知識解決平面幾何和物理問題；掌握向量法和坐標法，以及用向量解決平面幾何和物理問題的步驟，已經(jīng)布置學生們課前預習了這部分，檢查學生預習情況并讓學生把預習過程中的疑惑說出來.新授課階段探究一：（）向量運算與幾何中的結論若，則，且所在直線平行或重合相類比，你有什么體會？（）由學生舉出幾個具有線性運算的幾何實例教師：平移、全等、相似、長度、夾角等幾何性質(zhì)可以由向量線性運算及數(shù)量積表示出來： 例如，向量數(shù)量積對應著幾何中的長度.如圖： 平行四邊行中，設,，則（平移），（長度）向量，的夾角為.因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問題.通過向量運算研究幾何運算之間的關系，如距離、夾角等把運算結果 “翻譯”成幾何關系本節(jié)課，我們就通過幾個具體實例，來說明向量方法在平面幾何中的運用例1 證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和已知：平行四邊形ABCD求證：分析：用向量方法解決涉及長度、夾角的問題時，我們常常要考慮向量的數(shù)量積注意到， ，我們計算和證明：不妨設a，b，則a+b，a-b，|a|2，|b|2得( a+b)( a+b)= aa+ ab+ba+bb= |a|2+2ab+|b|2 同理,|a|2-2ab+|b|2 +得 2(|a|2+|b|2)=2()所以，平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和師：你能用幾何方法解決這個問題嗎？讓學生體會幾何方法與向量方法的區(qū)別與難易情況.師：由于向量能夠運算，因此它在解決某些幾何問題時具有優(yōu)越性，他把一個思辨過程變成了一個算法過程，可以按照一定的程序進行運算操作，從而降低了思考問題的難度.用向量方法解決平面幾何問題，主要是下面三個步驟：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；把運算結果“翻譯”成幾何關系變式訓練：中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，BF與CD交于點O，設（1）證明A、O、E三點共線；（2）用表示向量.例2 如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的中點，BE、BF分別與AC交于R、T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關系嗎？分析：由于R、T是對角線AC上兩點，所以要判斷AR、RT、TC之間的關系，只需要分別判斷AR、RT、TC與AC之間的關系即可解：設a，b，則a+b因為與共線，因此，存在實數(shù)m，使得=m(a+b)又因為與共線，因此存在實數(shù)n，使得=n= n(b- a)由= n，得m(a+b)= a+ n(b- a)整理得ab0由于向量a、b不共線，所以有解得所以同理 于是 所以 ARRTTC說明：本例通過向量之間的關系闡述了平面幾何中的方法，待定系數(shù)法使用向量方法證明平面幾何問題的常用方法探究二：（1）兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力.為什么？（2）在單杠上做引體向上運動,兩臂夾角越小越省力.為什么？師：向量在物理中的應用，實際上就是把物理問題轉化為向量問題，然后通過向量運算解決向量問題，最后再用所獲得的結果解釋物理現(xiàn)象例3 在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上作引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力你能從數(shù)學的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？分析：上面的問題可以抽象為如右圖所示的數(shù)學模型只要分析清楚F、G、三者之間的關系（其中F為F1、F2的合力）,就得到了問題的數(shù)學解釋解：不妨設|F1|=|F2|， 由向量加法的平行四邊形法則，物理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F1|=通過上面的式子我們發(fā)現(xiàn)，當由逐漸變大時，由逐漸變大，的值由大逐漸變小，因此，|F1|有小逐漸變大，即F1、F2之間的夾角越大越費力，夾角越小越省力師：請同學們結合剛才這個問題，思考下面的問題：為何值時，|F1|最小，最小值是多少？|F1|能等于|G|嗎？為什么？例4 如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度m，一艘船從A處出發(fā)到河對岸已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，問行駛航程最短時，所用的時間是多少(精確到0.1min)？分析：如果水是靜止的，則船只要取垂直于對岸的方向行駛，就能使行駛航程最短，所用時間最短考慮到水的流速，要使船的行駛航程最短，那么船的速度與水流速度的合速度v必須垂直于對岸（用幾何畫板演示水流速度對船的實際航行的影響）解：=(km/h)，所以， (min)答：行駛航程最短時，所用的時間是3.1 min本例關鍵在于對“行駛最短航程”的意義的解釋，即“分析”中給出的船必須垂直于河岸行駛，這是船的速度與水流速度的合速度應當垂直于河岸，分析清楚這種關系后，本例就容易解決了.例5 已知 ,的夾角為60o,當實數(shù)為何值時，？解：若，得；若，得例6 如圖，ABCD為正方形，P是對角線DB上一點，PECF為矩形，求證：PA=EF； PAEF. 解：以D為原點，為x軸正方向建立直角坐標系，則A(0,1), C:(1,0)， B:(1,1). 故例7 如圖，矩形ABCD內(nèi)接于半徑為r的圓O，點P是圓周上任意一點， 求證：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.證明:即例8 已知P為ABC內(nèi)一點，且345延長AP交BC于點D，若，用、表示向量、解：， ，又 345， 34（）5（），化簡，得 設t（tR），則t t 又設 k（kR），由 ，得 k（）而 ， k（）（1k）k. 由，得解得 t 將之代入，有課堂小結利用向量的方法解決平面幾何問題的“三步曲”？（1） 建立平面幾何與向量的聯(lián)系，（2） 通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，（3） 把運算結果“翻譯”成幾何關系.作業(yè)見同步練習拓展提升一、 選擇題1.給出下面四個結論： 若線段AC=AB+BC，則向量； 若向量，則線段AC=AB+BC； 若向量與共線，則線段AC=AB+BC; 若向量與反向共線，則.其中正確的結論有 （ ）A. 0個 B.1個 C.2個 D.3個2.河水的流速為2，一艘小船想以垂直于河岸方向10的速度駛向對岸，則小船的靜止速度大小為 （ ）A.10 B. C. D.123.在中，若=0，則為 ( ）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.無法確定二、填空題4.已知兩邊的向量，則BC邊上的中線向量用、表示為 .參考答案1.B 2.B 3.C 4.